Z Skrypty dla studentów Ekonofizyki UPGOW

Analiza Szeregów Czasowych

Definicja szeregu czasowego

Możemy spotkać różne definicje szeregu czasowego.

Szereg czasowy to

• ciąg obserwacji pokazujący kształtowanie się badanego zjawiska w kolejnych okresach czasu (sekundach, dniach, latach, itp.).
• realizacja procesu stochastycznego, którego dziedziną jest czas; to ciąg informacji uporządkowanych w czasie, których pomiary wykonywane są z dokładnym krokiem czasowym.
• ciąg obserwacji x_t zapisywanych w ściśle określonym czasie.

Wśród składników szeregu czasowego możemy wyróżnić:

• trend (tendencję rozwojową),
• wahania sezonowe,
• wahania cykliczne (koniunkturalne),
• wahania przypadkowe.

W jakim celu badamy szeregi czasowe?

Analiza tego typu zagadnień ma generalnie dwa podstawowe cele:

1. odgadnięcie natury danego zjawiska losowego, tj. badanie własności szeregu i znalezienie modelu najlepiej opisującego zjawisko,
2. prognozowanie (predykcja), tj. przewidywanie kolejnych wartości szeregu czasowego na podstawie znalezionego modelu.

Przykłady szeregów czasowych

Przykład 1

Prąd płynący przez opornik.

Jeżeli do opornika charakteryzującego się oporem \(r\) przyłożymy zmienne napięcie

\( U(t) = a \cos (\omega t), \! \)

gdzie \(a\) to amplituda zmiennego napięcia przyłożonego do opornika, a okres zmienności to \(T = 2 \pi / \omega\). Wtedy natężenie prądu elektrycznego płynącego przez opornik można wyrazić wzorem

\( I(t) = \frac{a \cos (\omega t)}{r}. \! \)

Jest to oczywiście ciągła funkcja czasu, jednak, kiedy będziemy rejestrować wartości natężenia \(I(t)\) w kolejnych chwilach czasu (np. co \(0.1 T\), 1 milisekundę czy 1 godzinę), dostaniemy dyskretny szereg czasowy \(I_i\) indeksowany kolejnymi pomiarami \( i = 0, 1, 2, \dots \). Przykładowe szeregi czasowe opisane powyższym wzorem można znaleźć na rysunku 1.

Ćwiczenie W1.1

Wygeneruj w programie Matlab/Octave rysunek 1 (legenda jest opcjonalna).

1. Zbierz do tablic indeksy \(i\) oraz wartości natężenia prądu w punktach \(t_i = i \cdot ( 6 \pi / 100 ), i \in [0,100]\).
2. Wyplotuj do pliku (np: rysW11.png) wykres \(I_i = a \cos(\omega t_i + \phi) / r \).

Przykład 2

Proces dwustanowy (proces binarny, zerojedynkowy).

Niech \(\{X_t, t = 1,2,3,\dots\}\) będzie uporządkowanym zbiorem niezależnych zmiennych losowych (sekwencją losową), dla których prawdopodobieństwo

\( P (X_t = 0) = P (X_t = 1) = 1/2. \)

(dowód istnienia potrzebnej przestrzeni probabilistycznej na razie sobie darujemy). Seria pomiarowa składać się będzie z losowo ułożonych w czasie zer i jedynek {0,0,0,1,0,1,1,1,1,0,...}. Przykładem jest rzut monetą.

Ćwiczenie W1.2

Każda osoba ma za zadanie wykonać N (w zależności od liczebności grupy, w sumie około 100 na wszystkich studentów) rzutów monetą. W arkuszu kalkulacyjnym na [docs.google.com] wpisujemy wartości:

• 0 jeżeli wyrzuciliśmy Orła
• 1 jeżeli wyrzuciliśmy Reszkę

każdy w oddzielnej kolumnie. Stwórz prosty wykres danych w arkuszu kalkulacyjnym Google. Następnie za pomocą programu Matlab/Octave stwórz rysunek przedstawiający tak utworzony szereg czasowy. Szereg ma uwzględniać pomiary wszystkich.

• wyeksportuj dane z arkusza Google do pliku CSV
• zaimportuj dane do tabeli w Matlab'ie
• Wyplotuj do pliku (np: rysW12.png) wykres \(X_t\).

Przykład 3

Populacja Polski

Przykład 4

Liczba wypadków samochodowych

Przykład 5

Giełda 1

Przykład 6

Giełda 2

Przykład 7

Giełda 3