Z Skrypty dla studentów Ekonofizyki UPGOW
Spis treści |
Procesy Markowa
Przepiszemy go w uproszczonej postaci, mając nadzieję, że czytelnik będzie pamiętać o jego prawidłowej interpretacji:
\(p(x|y) = \frac{p(x, y)}{p(y)} \)
Jeżeli mamy wektor zmiennych losowych, to możemy wyznaczać wielowymiarowe rozkłady warunkowe. Poniżej podamy kilka przykładów takich rozkładów:
\[p(x|y, z) = \frac{p(x, y, z)}{p(y, z)} \]
\[p(x, y| z) = \frac{p(x, y, z)}{p(z)} \]
\[p(x_1, x_2, x_3|x_4, x_5, x_6, x_7) = \frac{p(x_1, x_2, x_3, x_4, x_5, x_6, x_7)}{p(x_4, x_5, x_6, x_7)} \]
Z powyższych relacji wynika prosta reguła wyznaczania rozkładów warunkowych: gęstość warunkowa to iloraz dwóch gęstości, gęstości łącznej podzielonej przez gęstość zmiennych losowych występujących w warunku. W ogólności
\(p(x_1, \dots, x_k|x_{k+1}, \dots, x_n) = \frac{p(x_1, \dots, x_k, x_{k+1}, \dots, x_n)}{p(x_{k+1}, \dots, x_n)} \)
lub w innym zapisie
\(p(x_n, \dots, x_{k+1}|x_{k}, \dots, x_1) = \frac{p(x_n, \dots, x_{k+1}, x_{k}, \dots, x_1)}{p(x_{k}, \dots, x_1)} \)
W szczególności zachodzi
\(p(x_n|x_{n-1}, \dots, x_1) = \frac{p(x_n, x_{n-1}, \dots, x_1)}{p(x_{n-1}, \dots, x_1)} \)
Stąd
\(p(x_n, x_{n-1}, \dots, x_1) = p(x_n| x_{n-1}, \dots, x_1)\, p(x_{n-1}, \dots, x_1) \)
Możemy teraz \(p( x_{n-1}, \dots, x_1)\) wyrazić przez podobny związek zmieniając \(n \to n-1\). Po wstawieniu do powyższego wzoru otrzymy
\(p(x_n, x_{n-1}, \dots, x_1) = p(x_n| x_{n-1}, \dots, x_1)\, p(x_{n-1}|x_{n-2}, \dots, x_1) \,p(x_{n-2}, \dots, x_1) \)
Kontunuując tą procedurę otrzymamy
\(p(x_n, x_{n-1}, \dots, x_1) = p(x_n| x_{n-1}, \dots, x_1)\, p(x_{n-1}|x_{n-2}, \dots, x_1)\, \dots p(x_3|x_2, x_1)\,p(x_2|x_1)\, p(x_1) \)
Innymi słowy, gęstość wielowymiarową można otrzymać z warunkowych gęstości jednowymiarowych \(p(x_i| x_{i-1}, \dots, x_1)\, \) oraz z jednowymiarowej gęstości \(p(x)\).
Z powyższych relacji oraz wzorów redukcyjnych dla gęstości wielowymiarowych wynikają związki przydatne w teorii procesów stochastycznych. Przytoczymy tu najważniejszy z nich
\(p(x_2|x_0) = \int_{-\infty}^{\infty} p(x_2|x_1, x_0) p(x_1|x_0) dx_1 \)
Dowód tej relacji jest prosty. W pierwszym rzędzie po całką korzystamy z relacji dla gęstości warunkowych :
\[ \int_{-\infty}^{\infty} \frac{p(x_2, x_1, x_0)}{ p(x_1, x_0)} \; \; \frac{ p(x_1, x_0)}{p(x_0)} dx_1 = \int_{-\infty}^{\infty} \frac{p(x_2, x_1, x_0)}{p(x_0)} dx_1 = \frac{1}{p(x_0) }\int_{-\infty}^{\infty} p(x_2, x_1, x_0) dx_1 = \frac{p(x_2, x_0)}{p(x_0) } = p(x_2|x_0) \]
Jeżeli dla gęstości warunkowej zachodzi relacja
\[ p(x_2|x_1, x_0) = p(x_2|x_1)\; \]
wówczas powyższy wzór ma postać
\(p(x_2|x_0) = \int_{-\infty}^{\infty} p(x_2|x_1) p(x_1|x_0) dx_1 \)
Odpowiednik tego równania w teorii procesów stochastycznych nazywa się równaniem Chapmana-Kołmogorowa, które w dalszych rozdziałach wykorzystamy do analizy procesów stochastycznych Markowa.