Z Skrypty dla studentów Ekonofizyki UPGOW
Spis treści |
Wstęp
Niniejszy skrypt jest przeznaczony w pierwszej kolejności dla studentów autorkiego kierunku studiów "Ekonofizyka" opracowanego przez niektórych pracowników Instytutu Fizyki Uniwersytetu Śląskiego. Autor niniejszego opracowania prowadził przez wiele lat wykłady z procesów stochastycznych. Pierwszy tego typu wykład był przeznaczony dla dyplomantów i doktorantów Uniwersytetu w Augsburgu. Przez lata słuchaczami byli studenci ekonofizyki w ośrodku zamiejscowym w Rybniku. Był on też prowadzony w ramach wykładu monograficznego dla studentów fizyki teoretycznej. Niektóre zagadnienia były częścią wykładu z metod matematycznych dla studentów fizyki medycznej.
Od Autora
Wielki sukces fizyki, a ogólniej mówiąc nauk przyrodniczych, polega na tym, że jej odkrycia przyczyniły się do rozwoju cywilizacyjnego naszej planety. Sukces ten jest związany z tym, że podstawowe równania fizyki opisujące dynamikę układów cechuje własność determinizmu. Co to oznacza? Ogólnie mówiąc oznacza to możliwość przewidywania i to jednoznacznego przewidywania. Jest to konsekwencją twierdzeń matematycznych o jednoznaczności rozwiązań równań różniczkowych. Na tym opiera się determinizm mechaniki klasycznej i elektrodynamiki. Determinizm mechaniki kwantowej należy nieco inaczej interpretować. Niezależnie od interpretacji, zarówno przewidywania mechaniki kwantowej jak i kwantowej teorii cząstek elementarnych znakomicie potwierdzone są przez liczne doświadczenia. My możemy przewidzieć tor cząstki, określić precyzyjnie ruch rakiety, generować fale elektromagnetyczne o określonej długości, wyznaczyć różnice między poziomami energetycznymi w atomie wodoru, zbudować tranzystor, układ scalony, komputer, telefon komórkowy, itd, itp. Jeżeli podstawowe prawa fizyki opisują procesy deterministyczne to dlaczego pojawia się losowość wielu zjawisk obserwowanych każdego dnia? Skąd jest ta losowść i ten brak przewidywalności różnych procesów zachodzących na naszej planecie, w naszym kraju, w naszej rodzinie, w naszym organizmie? Odpowiedź nie jest prosta. Ogólnie mówiąc źródłem losowości jest złożoność. Ale złożoność nie jest wystarczająca. Wszelkie formułowane odpowiedzi nie są i nigdy nie będą pełne. Ja przytoczę dwa podstawowe źródła losowości:
A. Własność chaotyczności
B. Makroskopowość układów (kolosalna liczba stopni swobody)
Własność chaotyczności uzmysławia nam złudność pojmowania determinizmu w mechanice klasycznej. Układy makroskopowe składają się z niesłychanie wielkiej liczby składników (cząstek, molekuł, makromolekuł. Ich opis metodami mechaniki (klasycznej lun kwantowej) jest nieefektywny. Co mam na myśli? Czy jestem w stanie analizowac układ równań różniczkowych zwyczajnych drugiego rzędu dla 1023 cząstek. Czy jestem w stanie podać \(2\times 10^{23}\) położeń początkowych i prędkości początkowych wszystkich cząstek? Czy jestem w stanie śledzić trajektorie wszystkich cząstek? Odpowiedź jest oczywista: NIE! Dlatego powstała inna efektywna metoda oparta na teorii nazywanej fizyką statystyczną. W tej teorii nie podajemy wszystkich położeń i prędkości cząstek, ale wielkość którą nazywamy rozkładem prawdopodobieństwa położeń i prędkości. Teoria ta jest efektywna. Ale nie tkwi w niej determinizm mechaniki Newtona. Tkwi w niej losowość.
Uwagi
Uwaga 1:
W książce tej systematycznie i konsekwentnie używam oznaczeń: \(\xi, \; \xi_1, \; \xi_k, \; \eta, ...\) dla zmiennych losowych oraz \(\xi(t), \; \xi_1(t), \; \xi_k(t), \; \eta(t), ...\) dla procesów stochastycznych. Unikam stosowanego przez fizyków zapisu \(x(t), \; y(t), ...\) czy zapisu \(X_t, \; Y_t, ...\) stosowanego przez matematyków dla oznaczenia procesów stochastycznych. Głównym powodem jest poziom opanowania i zrozumienia pojęcia funkcji. Moja wieloletnia praktyka pokazuje, że to co dla matematyków i lepiej wykształconych matematycznie fizyków jest oczywiste, dla studentów - niekoniecznie. Wieloletni brak matury z matematyki zrobił swoje. Spustoszenie jest ogromne. Oto "krajobraz po bitwie": dla przeciętnego studenta \(f(x) =2 x^2\) jest inną funkcją niż \(h(a) = 2 a^2\). Dlatego wolę konsekwentnie pisać
\(<\xi(t)> = \int_{-\infty}^{\infty} x \; p(x, t) \;dx\)
Często zapis
\(<x(t)> = \int_{-\infty}^{\infty} x \; p(x, t) \;dx\)
prowadzi wśród studentów do nieporozumień.
Uwaga 2:
Równanie (1) jest prawdziwe, a rys 1
Równanie (3) jest z duzym przyblizeniem nieprawdziwe.
Zbiory
PODSTAWOWE POJĘCIA NA TEMAT ZBIORÓW
Często będziemy posługiwali się pojęciem zbiorów i będziemy dokonywać różnych operacji na zbiorach. Dlatego też przypomnimy podstawowe pojęcia i wprowadzimy oznaczenia, które będziemy stosować w dalszej części książki.
Oznaczmy przez \(\Omega\) zbiór, który nazwiemy przestrzenią. Niech \(A, B, ...\) będa podzbiorami zbioru \(\Omega\).
Sumą zbiorów nazywamy zbiór złożony ze wszystkich elementów należących do któregokolwiek z sumowanych zbiorów. Suma zbiorów \(A \) i \( B \) jest oznaczana przez \(A\cup B\). Tak więc:
- \(A\cup B=\{x:x\in A\vee x\in B\}\)
Zapis ten odczytujemy następująco: jest to zbiór tych elementów x które należą do zbioru \(A\) lub należą do zbioru \(B\).
Iloczyn (lub część wspólna, przekrój, przecięcie) zbiorów \( A \) i \( B \) to zbiór, do którego należą te elementy zbioru \( A \), które należą również do \( B \). Część wspólna zbiorów \( A \) i \( B \) jest oznaczana przez \(A\cap B\). Tak więc:
- \(A\cap B=\{x:x\in A\wedge x\in B\}\).
Zapis ten odczytujemy następująco: jest to zbiór tych elementów x które należą do zbioru \(A\) i jednocześnie należą do zbioru \(B\).
Różnica zbiorów A\B - to zbiór złożony z tych elementów zbioru A, które nie należą do B:
- \(A \setminus B = \{ x : x\in A \and x \notin B\}\).
Zapis ten odczytujemy następująco: jest to zbiór tych elementów x które należą do zbioru \(A\) lecz nie należą do zbioru \(B\).
Dopełnieniem \(A'\) zbioru \(A\) (w przestrzeni \(\Omega\)) nazywa się różnica zbiorów
- \(A'=\Omega \setminus A = \{x \in \Omega\colon x \notin A\}\),
Zapis ten odczytujemy następująco: jest to zbiór tych elementów x z przestrzeni \(\Omega\), które nie należą do zbioru \(A\).
Zbiór pusty jest to taki "dziwny" zbiór, który nie zawiera żadnych elementów. Oznaczany jest symbolem \(\empty\) lub \(\varnothing\).
Zbiory rozłączne – dwa zbiory \(A\) i \(B \) są rozłączne jeżeli ich część wspólna jest zbiorem pustym:
- \(A\cap B=\empty\).
Inaczej mówiąc, zbiory te nie mają wspólnych elementów.
Na przykład, zbiory {1 ,2, 5, 8, 9} i {4, 6} są rozłączne, natomiast zbiory {2, 3, 5, 7, 8} i {2, 5, 6} – nie.
Rodzinę zbiorów| \((A_i)_{i\in I}\) nazywa się rodziną zbiorów parami rozłącznych, jeśli każde dwa różne zbiory tej rodziny są rozłączne: \[i\ne j \implies A_i\cap A_j = \emptyset\]