Z Skrypty dla studentów Ekonofizyki UPGOW
Arytmetyka finansowa
Z wyjątkiem okresów hiperinflacji, w życiu codziennym rzadko musimy uwzględniać zmienność wartości pieniądza w czasie. Jednak planując poważniejsze inwestycje (np kupno domu) musimy już tę zmienność uwzględniać. W matematyce finansowej analiza zjawiska zmiany wartości pieniądza jest jednym z najważniejszych problemów, a przyjęte założenia i ich konsekwencje mają istotny wpływ na wnioski dotyczące szerokiej klasy zagadnień ekonomicznych. Problem ten komplikuje dodatkowo fakt, że większość instytucji finansowych operuje tzw. czasem bankowym, który często różni się od czasu rzeczywistego zwanego również czasem kalendarzowym. Nietrywialne jest też często uwzględnienie okresów, gdy pewne instytucje są nieczynne lub czynności niemożliwe (np w nocy). W tym paragrafie omówimy pojęcie czasu bankowego, które ma istotny wpływ na proces kapitalizacji odsetek. Zgodnie z obowiązującym w Polsce prawem bankowym, rok bankowy ma 360 dni i dzieli się na 12 miesięcy bankowych, o długości 30 dni każdy.
Przykład Obliczmy różnicę między czasem bankowym a rzeczywistym w okresie od 01.03.07 do 31.05.07. Według czasu bankowego upłynęły 3 miesiące, czyli 90 dni. W rzeczywistości upłynęło 31+30+31=92 dni. Bardziej zaskakujący wynik otrzymamy obliczając tę różnicę dla okresu 29.05.07 do 5.06.07. Czas bankowy to (30-29)+5=6 podczas, gdy w rzeczywistości upłynęło 7 dni. Różnica wynosi aż 1/7, czyli około 14,28%!
Różnice obliczone w powyższym przykładzie pokazują, że może ona mieć istotny wpływ na koszty kredytu czy wysokość oprocentowania -- obrazuje to poniższa tabela dla kredytu w wysokości 100000 zł udzielonego na okres od 01.03.07 do 31.05.07 przy rocznej stopie oprocentowania w wysokości 12%. Odsetki I obliczamy według wzoru \(I=100000\cdot 0,12\cdot n_x =12000\cdot n_x,\,\) gdzie \(n_x, x=r \ \text{lub}\ x=b\,\) oznacza współczynnik zamiany dni na lata, \( n_r=\frac{\text{czas w dniach}}{365},\,\) a \(n_b=\frac{\text{czas w dniach}}{360}\,\)
| wysokość odsetek | nr | nb |
|---|---|---|
| czas rzeczywisty | 3024,66 zł | 3066,67 zł |
| czas bankowy | 2958,90 zł | 3000,00 zł |
Banki, których podstawową działalnością jest udzielanie kredytów zainteresowane są naliczaniem odsetek według tak zwanej reguły
bankowej, naliczaniem dni według czasu rzeczywistego i zamieniana dni na lata według czasu bankowego (prawa, górna kratka w powyższej tabeli).
Drugim ważnym zagadnieniem związanym z czasem jest tak zwany czas wzorcowy. Otóż wiele transakcji i umów zawartych na rynkach lub związanych z nimi zawiera w swojej treści lub istocie odniesienie do czasu. Na przykład, dla każdej transakcji giełdowej określony jest czas zrealizowania tej transakcji. W związku z tym w dokumentach (elektronicznych lub papierowych) wymagany jest tak zwany stempel czasowy określający ten czas. Instytucja pośrednicząca lub dokumentująca takie transakcje jest zobowiązana do pobierania wzorca czasu (tzw. Uniwersalny Czas Koordynowany) z legalnego źródła. W Polsce regulowane to jest Ustawą z dnia 10 grudnia 2003 roku o czasie urzędowym na obszarze Rzeczypospolitej Polskiej
Ogólnie rzecz biorąc, przez inwestycję będziemy rozumieli ciąg wydatków i wpływów w rozpatrywanym okresie czasu, które nazywamy przepływami pieniężnymi. Wydatki i wpływy najwygodniej opisuje się w jednostkach pieniężnych to jest w jednostkach wyróżnionego dobra - pieniądza - funkcjonującego na rynku, które jest swobodnie wymieniane na inne dobra
- Definicja (Przepływ pieniężny, strumień przepływów)
Pojedynczy wpływ netto nazywamy przepływem pieniężnym (cash flow). Może on być dodatni lub ujemny. Ciąg przepływów pieniężnych w określonych momentach nazywamy strumieniem przepływów pieniężnych (cash flow stream).
Zauważmy, że przepływy pieniężne mogą być dokładnie określone (np. odsetki od lokat) lub niepewne (najczęściej losowe). Dlatego wyróżniamy przepływy deterministyczne i uogólnione (niedeterministyczne). Za pomocą strumieni pieniężnych możemy w miarę jednolity sposób analizować różne klasy problemów dotyczących opisu, oceny i zarządzania inwestycjami. Strumień przepływów pieniężnych najłatwiej opisuje się, gdy poszczególne wpływy są znane. Wtedy, gdy przyjmiemy pewien okres bazowy (np rok), strumień przepływów będziemy zapisywać następująco \((a_0, a_1,\ldots ,a_{n-1}, a_n)\,\), gdzie \(a_0\,\) jest przepływem w chwili początkowej, a \(a_i\) przepływem po upływie \(i\)-tego okresu bazowego. Gdy przepływy nie następują po jednakowych okresach czasu, wygodnie jest przyjąć za okres bazowy taki okres, by wszystkie przepływy następowały po upływie całkowitych wielokrotności okresu bazowego - wtedy możemy zapis uzupełnić zerami w chwilach, gdy nie ma przepływów.
- Przykład
Kupno trzyletniej obligacji Skarbu Państwa o nominale 100 złotych opisuje następujący strumień: \((-100,a_1,\ldots ,a_{11},100+a_{12}),\,\) gdzie \(a_i\,\) to odsetki wypłacane po \(i\)-tym kwartale. Pierwszy przepływ jest ujemny, bo wydaliśmy 100 zł na kupno obligacji; po upływie ostatniego okresu bazowego następuje zwrot wartości nominalnej i wypłata odsetek za ostatni kwartał.