Z Skrypty dla studentów Ekonofizyki UPGOW

Teoria prawdopodobieństwa bazuje, jak każda teoria matematyczna, na odpowiedniej przestrzeni.

Dla przykładu, dla teorii funkcji taka przestrzenią jest przestrzeń metryczna. Przestrzeń metryczna jest takim zbiorem $X$, w którym można zdefiniować odległość $d(x, y)$ między dwoma jej elementami $x \in X$ i $y \in X$. Odleglość jest funkcją dwóch zmiennych $x$ i $y$ oraz posiada kilka charakterystycznych cech, np. odległość nie może byc ujemna. Jeżeli zdefiniujemy odległość w zbiorze $X$, wówczas możemy w tym zbiorze określić zbieżność ciągów i wprowadzić pojęcie ciągłości funkcji. Możemy też zdefiniować pojęcie pochodnej funkcji i całki oznaczonej. Możemy dokonywać wielu innych operacji na funkcjach. Widać z tego przykładu, że pojęcie metryki jest bardzo użyteczne i zdefiniowanie metryki w jakimś zbiorze niesłychanie wzbogaca ten zbiór. Matematycy lubią definiować przestrzeń metryczna jako parę $(X, d)$, tzn. jest to zbiór X wraz z określoną w niej odległościa, czyli metryką $d=d(x, y)$.

Podobnie jest w teorii prawdopodobieństwa. Przestrzenią, którą bada teoria prawdopodobieństwa, jest zbiór, w którym określone są dodatkowe elementy, analogiczne do metryki. Przestrzeń ta nazywa się przestrzenią probabilistyczną. Dokładniej mówiąc przestrzeń ta to nie para jak w przypadku przestrzeni metrycznej, ale trójka $(\Omega, {\mathcal F}, P)$. Rozszyfrujmy poszczególne elementy tej trójki.

(i) $\Omega$ jest zbiorem elementów $\omega$. Element $\omega$ jest zdarzeniem elementarnym lub inaczej mówiąc możliwym wynikiem doświadczenia. Przykłady:

1. Doświadczenie polega na jednokrotnym rzucie monetą. Są dwa możliwe wyniki: orzeł lub reszka. Wynikowi "orzeł" możemy przyporządkować oznaczenie $\omega_1$, natomiast wynikowi "reszka" - $\omega_2$. Tak więc zbiór $\Omega =\{\omega_1, \omega_2\}$.

2. Doświadczenie polega na dwukrotnym rzucie monetą. Teraz możliwe są cztery wyniki: $\omega_1 =$(orzeł, orzeł), (orzeł, reszka), (reszka, orzeł) i (reszka, reszka). Jeden wynik to p: orzeł lub reszka. Wynikowi "orzeł" możemy przyporządkować oznaczenie $\omega_1$, natomiast wynikowi "reszka" - $\omega_2$. Tak więc zbiór $\Omega =\{\omega_1,\omega_2,\omega_3, \omega_4\}$.

3. Doświadczenie polega na jednokrotnym rzucie kostką do gry w popularnego "chińczyka". Wynikiem może być jedno oczko, albo dwa oczka, albo trzy oczka, albo cztery oczka, albo pięć oczek, albo sześć oczek. Przyporządkowując liczbie oczek oznaczenie $\omega_n, n=1,2,3,4,5,6$ otrzymamy zbiór $\Omega =\{\omega_1, \omega_2, \omega_3, \omega_4, \omega_5, \omega_6 \}$.