Analiza portfela i wycena aktywów

Zwykle, myśląc o inwestycji mamy do dyspozycji pewien kapitał własny lub pożyczony. W tej części ograniczymy się do inwestycji na rynkach kapitałowych. Przyjmiemy też upraszczające założenie, że pieniądze są inwestowane w chwili początkowej i interesuje nas wartość naszego portfela w pewnej chwili końcowej^[1]. Wartość ta na ogół nie jest zdeterminowana wartością początkową naszego kapitału. Musimy więc podjąć decyzję w warunkach niepewności. Decyzję, z naszego punktu widzenia optymalną to znaczy, będąca kompromisem między poziomem ryzyka, które jesteśmy gotowi zaakceptować a naszą chciwością czyli oczekiwanym zyskiem. Przy konstrukcji portfela papierów wartościowych istotna jest klasa instrumentów, w które chcemy inwestować. W tym miejscu ograniczymy się do przedstawienia klasycznych idei dotyczących portfela złożonego z akcji, bezpiecznych instrumentów (obligacji) oraz pieniędzy (gotówka lub kredyt).

Zarządzanie portfelem instrumentów finansowych

Przypomnijmy, że pomijając podatki i koszty transakcji, zysk (zwrot) $R_z$ i stopę zwrotu $r_z$ z inwestycji możemy zdefiniować następująco:

$R_z= \frac{K_k-K_0}{K_0}=1+r_z,$ gdzie

$K_k$ to wartość końcowa inwestycji, a

$K_0$ jest wartością początkową, czyli kwotą zainwestowaną. Formułę tę łatwo można uogólnić by opisywała portfel inwestycji. Załóżmy, że w chwili początkowej mamy portfel o n składnikach

$K_{0i},\ i= 1,...n,$ takich, że

$\sum_{i}K_{0i}=K_0.$ Tych samych oznaczeń używamy by opisać sytuację końcową - wskaźnik 0 zastępujemy wskaźnikiem k. Możemy zdefiniować tzw. wagi (udziały) poszczególnych składników jako:

$K_{0i}=w_i K_0,\ i=1,...,n,\ \sum _i w_i=1$ i jeśli dopuszczamy krótką sprzedaż, to niektóre z

$w_i$ mogą być ujemne. Jeśli przez

$R_i\ (r_i)$ oznaczymy zwrot (stopę zwrotu) obliczone dla i-tego składnika portfela to mamy

$R_z=\frac{\sum_{i}w_iR_iK_{0}}{K_{0}}=\sum_{i}w_iR_i$ oraz

$r_z=\sum_{i}w_ir_i.$ Załóżmy, że niepewność inwestycji w poszczególne składniki, ma podłoże losowe. W takim przypadku ceny i stopy zwrotu stają się zmiennymi losowymi. Możemy więc zaryzykować probabilistyczny (statystyczny) opis zachowania portfela inwestycji. Przypomnijmy,że oczekiwana stopa zwrotu z portfela

$\overline{r}=E(r)$ i jej wariancja

$\sigma ^2\,$ są dane wzorami:

$\overline{r}=\sum _i w_iE(r_i)=\sum _i w_i\overline{r_i}$

$\sigma ^2=E((r-\overline{r})^2)=E(\sum _{ij} w_iw_j(r_i-\overline{r_i})(r_j-\overline{r_j}))\equiv\sum _i w_iw_j\sigma_{ij}.$

Wniosek (dywersyfikacja)

Załóżmy, że wszystkie składniki portfela mają taką samą oczekiwaną stopę zwrotu a i jej wariancję s. Wtedy dla $w_i=1/n,\ i=1,...n$ mamy

$\overline{r}=\frac{1}{n}\sum_i E(r_i)=m$ oraz

$var(r)=\frac{1}{n^2}\sum_i var(r_i)=\sum _i s^2=\frac{s^2}{n}.$

Oznacza to, że rozkładając inwestycję na n równorzędnych składników możemy zmiejszyć oczekiwane ryzyko z inwestycji (mierzone wariancją portfela).

Jeśli pójdziemy dalej tym tropem i będziemy używać wariancji jako "miary ryzyka", często nazywanej volatility w tym kontekście, to możemy "uprościć" nasz problem i analizować tylko zależność oczekiwanej stopy zwrotu z portfela od parametru ryzyka (czyli wariancji).

Przypisy

↑ Zauważmy, że założenie to trudno uzasadnić w przypadku portfela akcji, ale okazuje się że stosunkowo łatwo można omawiane procedury uogólnić tak by uniknąć tego typu ograniczeń, co również zrobimy w dalszej części.

[0] Zauważmy, że założenie to trudno uzasadnić w przypadku portfela akcji, ale okazuje się że stosunkowo łatwo można omawiane procedury uogólnić tak by uniknąć tego typu ograniczeń, co również zrobimy w dalszej części.

[1]