Z Skrypty dla studentów Ekonofizyki UPGOW
Generowanie liczb losowych
Symulacje procesów losowych dyskretnych i ciągłych
Szum dychotomiczny
Proces Poissona
Ruchy Browna to chaotyczne ruchy cząstek w płynie (cieczy lub gazie), wywołane zderzeniami zawiesiny z cząsteczkami płynu.
W 1827 roku brytyjski biolog Robert Brown obserwując przez mikroskop pyłki kwiatowe w zawiesinie wodnej dostrzegł, iż znajdują się one w nieustannym, chaotycznym ruchu.
Ruchy Browna obserwuje się dla mikroskopijnych, mniejszych niż mikrometr, cząstek zawiesiny bez względu na ich rodzaj. Cząsteczki poruszają się ciągle a ich ruch nie słabnie. Prędkość ruchu jest większa dla mniejszych cząstek i wyższej temperatury.
Opis ruchów Browna
Autorami teorii ruchów Browna byli niezależnie Albert Einstein (w 1905 roku) i Marian Smoluchowski
Matematycznym modelem fizycznego zjawiska ruchów Browna jest proces Wienera, który może być zastosowany do modelowania również w innych dziedzinach wiedzy, np. ekonomii.
Przykłady ruchów Browna
- cząsteczki tłuszczu na mleku
- pyłek kwiatowy na wodzie
- mgła
- rozpylone w powietrzu perfumy
- krople tuszu na wodzie
Zobacz też
Szablon:Fizyka stubar:حركة براونية bg:Брауново движение ca:Moviment brownià cs:Brownův pohyb da:Brownske bevægelser de:Brownsche Bewegung et:Browni liikumine el:Κίνηση Μπράουν en:Brownian motion es:Movimiento browniano eu:Mugimendu Browndarra fr:Mouvement brownien hr:Brownovo gibanje id:Gerak Brown it:Moto browniano he:תנועה בראונית lv:Brauna kustība lt:Brauno judėjimas hu:Brown-mozgás ms:Pergerakan Brown nl:Brownse beweging ja:ブラウン運動 no:Brownsk bevegelse nn:Brownsk rørsle pt:Movimento browniano ro:Mişcare browniană ru:Броуновское движение sk:Brownov pohyb sl:Brownovo gibanje sr:Брауново кретање sh:Braunovo kretanje su:Gerak Brown fi:Brownin liike sv:Brownsk rörelse ta:பிரௌனியன் இயக்கம் tr:Brown hareketi uk:Броунівський рух zh:布朗运动
Proces Wienera
Proces Wienera jest procesem stochastycznym nazwanym dla uhonorowania osiągnięć matematyka amerykańskiego Norberta Wienera. Jest też często nazywanym ruchem Browna, gdyż jest modelem matematycznym procesu fizycznego o tej nazwie. Proces Wienera jest najbardziej znanym przykładem procesu gaussowskiego, a ponadto jest szczególnym przypadkiem ogólniejszego procesu procesu Lévy'ego.
Definicja
Proces stochastyczny \(\left\{W_{t}\right\}_{t \geqslant 0}\) nazywamy procesem Wienera (standardowym procesem Wienera), gdy spełnia następujące warunki:
- \(W_{0}=0\) z prawdopodobieństwem równym jeden,
- \(W\) ma przyrosty niezależne,
- \(\forall_{0 \leqslant s \leqslant t} ~ W_{t}-W_{s} \sim \mathcal{N}(0,t-s)\),
- trajektorie procesu \(W\) są ciągłe prawie na pewno (z prawdopodobieństwem 1).
Własności
Proces Wienera jest jednym z najlepiej zbadanych procesów stochastycznych. Oto niektóre z jego własności:
- Cechy trajektorii - pomimo że zgodnie z założeniem definicji trajektorie procesu Wienera są ciągłe, to nie przejawiają innych regularności. Dowodzi się, że prawie każda trajektoria ma wahanie nieskończone, co implikuje, że jest nieróżniczkowalna (w każdym punkcie czasu).
- Proces Wienera posiada mocną własność Markowa.
- Prawo odbicia - po dojściu do pewnego poziomu trajektoria procesu Wienera z równym prawdopodobieństwem może pójść w dół, jak i do góry. Ściśle, prawo odbicia wyraża się wzorem \(\mathbb{P}(\sup_{0\leqslant s \leqslant t}W_s >a) = 2 \mathbb{P}(W_t >a) \)
- Inwersja - jeśli \(W_t\) jest procesem Wienera, to proces \(V_t = tW_{1/t} \forall_{t>0}\) i \(V_0=0\) też jest procesem Wienera.
- Prawo iterowanego logarytmu - opisuje asymptotyczne zachowanie się trajektorii (dzięki zastosowaniu inwersji możemy też badać trajektorie w otoczeniu 0). \(\mathbb{P}(\lim_{t\rightarrow +\infty}\sup\frac{W_t}{\sqrt{2t \log \log t}}=1)=1\)
Konstrukcja procesu Wienera
Nie jest rzeczą oczywistą, że istnieje proces spełniający warunki podane w definicji. Istnieje kilka dowodów tego faktu. Przedstawiony poniżej najbardziej odpowiada intuicyjnemu rozumieniu procesu jako modelu ruchu Browna. Rozpatrzmy cząstkę poruszającą się w jednym wymiarze. W każdej jednostce czasu cząstka przemieszcza się o jednostkę odległości albo w lewo albo w prawo z prawdopodobieństwem 1/2. Kierunek poruszania nie zależy od poprzedniego przebiegu ruchu. Odpowiada to sytuacji patrzenia na cząsteczkę w wielkim zbliżeniu i przy zwolnionym czasie. Zmniejszając odpowiednio jednostkę odległości i przyspieszając czas uzyskujemy obraz cząstki wykonującej ruch chaotyczny. Innymi słowy proces Wienera jest "procesem granicznym" dla błądzenia losowego, przy zmniejszaniu skali czasowej i przestrzennej. W sposób ścisły powyższe rozumowanie ujmuje twierdzenie Donskera.
Proces wielowymiarowy
Standardowy proces Wienera opisany powyżej opisuje błądzenie cząstki, której ruch ograniczony jest do prostej. Proces n-wymiarowy definiujemy następująco: \(W=(W_1,W_2,\ldots,W_n)\), gdzie \(W_i\) to niezależne od siebie jednowymiarowe procesy Wienera. Warto wspomnieć, że w przypadku jednowymiarowym prawie każda trajektoria przechodzi przez każdy punkt prostej. Dla procesu dwuwymiarowego prawie każda trajektoria jest gęsta na płaszczyźnie, natomiast dla procesów w przestrzeniach o większej liczbie wymiarów, każda trajektoria jest zbiorem nigdzie gęstym.
Zobacz też
Szablon:Stubcs:Wienerův proces de:Wiener-Prozess en:Wiener process fa:فرآیند وینر fr:Processus de Wiener it:Processo di Wiener nl:Brownse beweging (wiskunde) ja:ウィーナー過程 ru:Винеровский процесс sv:Wienerprocess uk:Вінерівський процес
Ruchy Browna
Procesy stabilne
Symulacje skończenie wymiarowych układów dynamicznych
Symulacje równań i układów równań stochastycznych
dyskretyzacja czasu
stochastyczne rozwinięcie Taylora
aproksymacja słaba i mocna
metody bezpośrednie
pośrednie.
Numeryczne badanie równań „Master”
Zastosowania
w modelowaniu zjawisk fizyki
w modelowaniu zjawisk biofizyki
w modelowaniu zjawisk socjofizyki
Przykładowe zastosowania w modelowaniu dynamiki instrumentów pochodnych stóp procentowych.
Wizualizacja rozwiązań.
Literatura
- A. Janicki, A. Izydorczyk “Komputerowe metody w modelowaniu stochastycznym” WNT
- P.L. Kloeden, E. Platen “Numerical solutions of stochastic differential equations” Springer
Modelowanie Komputerowe Zjawisk Rynkowych
tutaj procesy losowe
Procesy losowe
tutaj procesy losowe
Metody numeryczne
\(\sin x \) sdf afs
asf \(\sin x \)
\(\displaystyle\int_0^\infty \sin x dx = 2 \cos x\)
Marcin 18:30, 28 wrz 2009 (UTC)
Błąd rozszerzenia cite: Istnieje znacznik
<ref>
, ale nie odnaleziono znacznika <references/>