Z Skrypty dla studentów Ekonofizyki UPGOW

Wycena opcji: modele z czasem dyskretnym

Binomial options pricing model h

rozdział 7 P.B.

http://gillesdaniel.com/natlab/

Wycena opcji: modele z czasem ciągłym

Model Blacka-Scholesa dla europejskiej opcji kupna

Model Blacka-Scholesa zakłada że, że cena akcji $\displaystyle S(t)$ ewoluuje zgodnie z geometrycznym ruchem Browna przy ciągłej kapitalizacji z roczną stopą procentową r:

$dS(t) = r S(t) dt + \sigma S(t) d W(t)\,$.

W chwili $t_0$ instument bazowy ma wartość $S0$ a cena wykupu (lub sprzedaży) w chwili T wynosi S(T). Pytamy się o wartość instrumentu pochodnego w dowonej chwili $t<T$. Zakładając, że chcemy utrzymać portfel bez ryzyka (delta neutralny) można pokazać, że wartość taka jest dana przez równanie Blacka-Scholesa

$\frac{\partial V}{\partial t} + \frac{1}{2}\sigma^2 S^2\frac{\partial^2 V}{\partial S^2} + rS\frac{\partial V}{\partial S} - rV = 0.$

gdzie r jest stopą procentową wolną od ryzyka.

Równanie to posiada analityczne rozwiązanie i jest to słynny wzór Blacka-Scholesa dla ceny opcji kupna na europejska akcję bez dywidend:

$$C(S,t) = SN(d_1) - Ke^{-r(T - t)}N(d_2) \,$$

i ceny opcji sprzedaży na europejska akcję bez dywidend:

$$P(S,t) = Ke^{-r(T-t)} - S + C(S,t). \ $$

gdzie:

$$d_1 = \frac{\ln(\frac{S}{K}) + (r + \frac{\sigma^2}{2})(T - t)}{\sigma\sqrt{T - t}}$$

$$d_2 = d_1 - \sigma\sqrt{T - t}.$$

Powyższe wzory można zaimplementować jako funkcje w matlab/GNU Octave w następujący sposób:

function [C,P] = BlackScholes(S0,K,r,T,sigma)
  d1=(log(S0./K)+(r+sigma^2/2)*T)/(sigma*sqrt(T));
  d2=d1-sigma*sqrt(T);
  C = S0.*normcdf(d1)-K*exp(-r*T)*normcdf(d2);
  P = K*exp(-r*T)*normcdf(-d2)-S0.*normcdf(-d1);
end

Wykres ceny europejskiej opcji sprzedaży dla K=51.11,r=0.1,T=5.0 oraz $\sigma$=0.2 od ceny aktualnej S (linia ciągła). Kropkami zaznaczono funkcje $S-K e^{-r T}$

Program ten zwraca dla zadanych wartości ceny aktualnej ("spot") S0, cena rozliczenia opcji K w czasie T oraz wysokość rocznej stopy procentowej wolnej od ryzyka dla terminu wygaśnięcia opcji r i volatility $\sigma$ dwie ceny - opcji kupna C oraz sprzedaży P. Są one zwracane jako dwa argumenty, więc poprawne wywołanie takiej funkcji powinno być np.:

octave:8> [call,put]=BlackScholes(31 ,51.1 ,0.1 ,5 , 0.2)
call =  5.4876
put =  5.4813

Wzór ten ma kilka ciekawych własności. Po pierwsze zauważmy, że gdyby fluktuacje ceny akcji znikły w chwili obserwacji to wartość opcji była by równa różnicy między ceną aktualną a zdyskontowaną ceną wykupu $S-K e^{-r T}$, gdy tylko taka różnica była by większa od zera. W innym przypadku wartość takiej opcji jest równa zeru. Na rysunku jest umieszczona zależności ceny wykupu od wartości aktualnej opcji wygenerowany następującym skryptem:

clear all
close all
T=5.
S0=31
sigma=0.2
r = 0.1
K = S0*exp(r*T)
S0_tab = 1:1:60;
plot(S0_tab,BlackScholes(S0_tab,K,r,T,sigma), S0_tab, max(S0_tab-K*exp(-r*T),0),'o' );
exact=BlackScholes(S0,K,r,T,sigma)
line([S0,S0],[0,exact])
grid on

Można przypuszczać, że wykres wzoru Blacka Scholes-a będzie dążył do kropkownej zależności dla $\sigma \to 0$. Rzeczywiście, można się o tym przekonać rysując kilka zależności C(S) dla malejących wartości $\sigma$.

Wykres ceny europejskiej opcji sprzedaży dla K=51.11,r=0.1,T=5.0 od ceny aktualnej S dla kilku wartości $\sigma$=0.01,0.1,0.2 i 0.3

clear all
close all
N=303;
M=32313;
T=13.1;
h=T/N;
x=zeros(M,1);
 
S0=11;
sigma=0.4;
K = 50;
r = 0.1;
 
x=S0*ones(M,1); 
 
% integrate in one step  
y = x .* exp(  (r-0.5*sigma^2)*T + sigma.*sqrt(T).*normrnd (0,1,M,1) ) ;
 
% integrate in N  steps mu=>r
for i=2:N
  x =x + r*x*h + sigma*sqrt(h)*x.*normrnd (0,1,M,1);
endfor
 
 
%exp(-r*T)*mean( max(K-x,0) )
 
% Call option value
Nsteps=exp(-r*T)*mean( max(x-K,0) )
onestep=exp(-r*T)*mean( max(y-K,0) )
exact=BlackScholes(S0,K,r,T,sigma)

% Black Scholes, własności
S0 = 1:1:80;
K = 55;
r = 0.08;
sigma = 0.1;
T=5.01
plot(S0,BlackScholes(S0,K,r,T,sigma), S0, S0-K*exp(-r*T),'o' );
axis([0 80 -5 35]);
grid on