Z Skrypty dla studentów Ekonofizyki UPGOW

Obligacja ze stałym kuponem

Mamy obligację, której emitent zobowiązuje się do płacenia odsetek regularnie raz do roku i zamierza zwrócić zaciągnięte zobowiązanie (wartość nominalną) w chwili wykupu, na koniec życia zobowiązania. Wartość takie obligacji dane jest wzorem

\(\ P_o=\sum\limits_{i=1}^n\frac{C}{(1+r)^i} +\frac{P_N}{(1+r)^n},\)

który możemy zaimplementować jako funkcję w matlabie:

function P0=Bond_Fair_Price(PN,r,C,n)
  P0 = sum ( C./(1+r).^[1:(n-1)] ) + PN/(1+r)^n;
endfunction

Proszę zwrócić uwagę na frangment:

   C./(1+r).^[1:(n-1)]

który tworzy wektor o elementach będących funkcją wskaźnika \(\frac{C}{(1+r)^i} \) dla \(i=1..(n-1)\).

Dysponując tą funkcją przykład ze skryptu Instrumenty Rynku można przeliczyć wywołując:

octave:157>P0=1
octave:157>PN=106
octave:157>r=0.07 
octave:157>C=6
octave:157>Bond_Fair_Price(PN,r,C,2)
ans =  98.192

W przypadku m wypłat kuponu w jednym roku mamy

function P0=Bond_Fair_Price_multi(PN,r,C,n,m)
  P0 = sum ( (C/m)./(1+r/n).^[1:n] ) + PN/(1+r/m)^n;
endfunction

a w przypadku kapitalizacji ciągłej mamy:

function P0=Bond_Fair_Price_cont(PN,r,C,t)
  P0 = sum ( (C)*exp(-r*t) ) + PN*exp(-r*t(length(x))
endfunction

Stopa zwrotu w terminie do wykupu (Yield to maturity)

Mamy równanie na wartość obligacji po n latach z m okresami wypłaty kupona:

\(\ P_o=\sum\limits_{i=1}^n\frac{C_i/m}{(1+r/m)^i} +\frac{P_N}{(1+r/m)^n}\)

i chcemy rozwiązać je na stopę r.

W tym celu przepiszmy do postaci:

\( P_0 (1+r/m)^n -\sum\limits_{i=1}^{n-1} \frac{C_{n-i}}{m}(1+r/m)^i + (-\frac{C_n}{m}-P_N) =0 \)

Czyli mamy wielomian stopnia n-tego na \((1+r/m)\) o współczynnikach:

\[ \displaystyle a_n=P_0\] \[ a_i=-\frac{C_{n-i}}{m}\] dla i=2,3,...,n-1 \[ a_0=-\frac{C_n}{m}-P_N\]

Analitycznie nie ma ogólnych wzorów na pierwiastki wielomianu dowolnego stopnia, ale instnieją procedury numeryczne, które bardzo dobrze wykonują to zadanie.

Ryzyko

Duration według Macaulay’a - Duration obligacji przy kapitalizacji dyskretnej