Z Skrypty dla studentów Ekonofizyki UPGOW

Obligacja ze stałym kuponem

Mamy obligację, której emitent zobowiązuje się do płacenia odsetek regularnie raz do roku i zamierza zwrócić zaciągnięte zobowiązanie (wartość nominalną) w chwili wykupu, na koniec życia zobowiązania. Wartość takie obligacji dane jest wzorem

\(\ P_o=\sum\limits_{i=1}^n\frac{C}{(1+r)^i} +\frac{P_N}{(1+r)^n},\)

który możemy zaimplementować jako funkcję w matlabie:

function P0=Bond_Fair_Price(PN,r,C,n)
  P0 = sum ( C./(1+r).^[1:n] ) + PN/(1+r)^n;
endfunction

Wykres zależności wartości obligacji od stopy procentowej

 r=linspace(0.01,0.5,25)
 for i=1:length(r)
  p(i)=Bond_Fair_Price(100,r(i),7,25); 
 endfor
 plot(r,p)

Proszę zwrócić uwagę na frangment:

   C./(1+r).^[1:(n-1)]

który tworzy wektor o elementach będących funkcją wskaźnika \(\frac{C}{(1+r)^i} \) dla \(i=1..(n-1)\).

Dysponując tą funkcją przykład ze skryptu Instrumenty Rynku można przeliczyć wywołując:

octave:157>P0=1
octave:157>PN=100
octave:157>r=0.07 
octave:157>C=6
octave:157>Bond_Fair_Price(PN,r,C,2)
ans =  98.192

W przypadku m wypłat kuponu w jednym roku mamy

function P0=Bond_Fair_Price_multi(PN,r,C,n,m)
  P0 = sum ( (C/m)./(1+r/m).^[1:n] ) + PN/(1+r/m)^n;
endfunction

a w przypadku kapitalizacji ciągłej mamy:

function P0=Bond_Fair_Price_cont(PN,r,C,t)
  P0 = sum ( (C)*exp(-r*t) ) + PN*exp(-r*t(length(x))
endfunction

Stopa zwrotu w terminie do wykupu (Yield to maturity)

Mamy równanie na wartość obligacji po n latach z m okresami wypłaty kupona:

\(\ P_o=\sum\limits_{i=1}^n\frac{C_i/m}{(1+r/m)^i} +\frac{P_N}{(1+r/m)^n}\)

i chcemy rozwiązać je na stopę r.

W tym celu przepiszmy do postaci:

\( P_0 (1+r/m)^n -\sum\limits_{i=1}^{n-1} \frac{C_{n-i}}{m}(1+r/m)^i + (-\frac{C_n}{m}-P_N) =0 \)

Czyli mamy wielomian stopnia n-tego na \((1+r/m)\) o współczynnikach:

\[ \displaystyle a_n=P_0\] \[ a_i=-\frac{C_{n-i}}{m}\] dla i=2,3,...,n-1 \[ a_0=-\frac{C_n}{m}-P_N\]

Analitycznie nie ma ogólnych wzorów na pierwiastki wielomianu dowolnego stopnia, ale instnieją procedury numeryczne, które bardzo dobrze wykonują to zadanie.

function r=YTM(P0,PN,m,n,C)
 
  a = [P0, -1/m*fliplr(C)(2:length(C)), -C(n)/m-PN ];
  myroots=roots(a);
  r= ( max( myroots(find( imag(myroots)==0 )) ) - 1)*m;
 
endfunction

Proszę zwrócić uwagę na dwie techniki:

1. wektor współczynników wielomianu jest generowany stosując kod wektorowy a w tym między innymi funkcję fliplr odwracającą wektor (x(i)=x(-i))
2. roots(a) wylicza pierwiastki wielomianu. Jest ich więcej niż potrzeba i część z nich jest zepspolona. Chodzi nam o największy pierwiastek rzeczywisty. W celu jego wybrania używamy funkcji find i max.

Dla przykładu policzmy stope 'r' dla pewnych zadanych wartości cen obligacji przy założeniu stałości kuponu (stąd C=5*ones(4)):

octave:211> r=YTM(100,186,1,4,5*ones(4))
r =  0.20831

Duration według Macaulay’a

Duration obligacji przy kapitalizacji dyskretnej jest średnią ważoną czasów transakcji z wagami proporcjonalnymi ich zdyskontowanej wielkości (PV). Mamy więc wzór na wartość obligacji (fair price):

\(P_0=\sum\limits_{i=1}^n\frac{C_i}{(1+r)^i} +\frac{P_N}{(1+r)^n}\)

\(D=(\sum\limits_{i=1}^n i\frac{C_i}{(1+r)^i} +n\frac{P_N}{(1+r)^n})/P_0\)

Wzór ten można zaimplementować w następujący sposób jako funkcję w matlab/GNU Octave:

function [Duration,P0]=Duration(PN,r,C,n)
 
  P0 = sum ( C./(1+r).^[1:n] ) + PN/(1+r)^n;
  Duration = (sum ( C./(1+r).^[1:n].*[1:n] ) + n*PN/(1+r)^n )/P0;
 
endfunction

Dla przykładu zbadajmy kilka podstawowych własności Duration:

Wiemy, że dla obligacji bezkuponowych duration jest równe czasowi wykupu. I rzeczywiście:

Duration(100,0.1,0,7)
ans =  7

Wykres zależności Duration od terminu lokaty (w latach) przy wyplatach kuponu raz do roku. Pięć krzywych odpowiada różnym wartościom stopy procentowej r=0.1,0.2,0.3,0.4,0.5

Zobaczmy jak zachowuje się Duration przy różnych wartościach stopy procentowej w zależności od terminu lokaty.

r=linspace(0.1,0.5,5)
for j=1:length(r)
  for i=1:20 
    d(i,j)=Duration(100,r(j),6,i); 
  endfor
endfor
plot(1:20,d)