Z Skrypty dla studentów Ekonofizyki UPGOW
Analiza Szeregów Czasowych <<< Modelowanie szeregów czasowych | Matlab / GNU Octave >>>
Spis treści |
Estymacja parametrów modeli
Szacowanie parametrów modeli rządzących szeregami czasowymi to niełatwe zagadnienie. Jest to również przedostatni krok w analizie szeregów czasowych. Ostatnim krokiem jest predykcja przyszłych wartości szeregu w oparciu o dane posiadane. ,
Aby oszacować jaki to model ARMA(p,q) stoi za analizowanym szeregiem czasowym musimy wykonać kilka kroków
- jakie p i q należy wybrać
- oszacować średnią oraz współczynniki AR \( \varphi_i \ \) oraz MA \( \theta_j \ \), i=1,...,p, j=1,...,q,
- oszacować wariancję szumu \(\sigma^2 \ \) dla wybranych parametrów,
- sprawdzić poprawność wybranego modelu (najlepiej dla różnych zestawów parametrów p i q).
Ostateczna decyzja, czy dany model dobrze reprezentuje dane zależy od kilku możliwych testów.
Zakładamy obecnie, że fitować będziemy model ARMA do danych których średnia wynosi 0
- \( \langle X_t \rangle = EX_t = 0. \)
Jeżeli \( \{ Y_t \} \) oznacza oryginalne dane, to \( X_t = Y_t - EY_t \).
Będziemy dopasowywać dane do modelu
- \( X_t - \varphi_1X_{t-1} - \dots - \varphi_p X_{t-p} = Z_t + \theta_1Z_{t-1} - \dots - \varphi_q Z_{t-q}, \{ Z_t \} = BS(0,\sigma^2) \ \)
Czyli dla wybranych przez na p i q celem będzie znalezienie wektorów \( \bar{\varphi} = (\varphi_1, \dots, \varphi_p) \) oraz \( \bar{\theta} = (\theta_1, \dots, \theta_q) \).
AR
W przypadku, gdy posiadane dane mogą być przybliżone poprzez model autoregresji rzędu p (tj: q = 0), dość dobrym estymatorem wektora \( \bar{\varphi} \) okazuje się być prosty algorytm porównujący autokowariancję próby oraz teoretyczną wyliczoną z modelu AR(p). Metoda ta nosi nazwę Yule-Walkera.
Metoda Yule-Walkera
Niech \( \{ X_t \} \ \) będzie procesem AR(p) o średniej zerowej
- \( X_t - \varphi_1 X_{t-1} - \dots - \varphi_p X_{t-p} = Z_t, ~~Z_t \sim BS(0, \sigma^2). \)
Postaramy się teraz oszacować \( \bar{\varphi} \) oraz \( \sigma^2 \).
Korzystając z założenia, że \( \{ X_t \} \ \) jest losowy \( \big( X_t = \sum \Psi_j Z_{t-j} \ \big),\) otrzymujemy równania Yole - Walkera
- \( \begin{align} \Gamma_p \bar{\varphi} &= \gamma_p \\ \sigma^2 &= \gamma(0) - \bar{\varphi}' \gamma_p \end{align} \)
gdzie
- \( \Gamma_p = [\gamma(i-j)]_{i,j=1}^p \) - macierz kowariancji,
- \( \gamma_p = (\gamma(1), \gamma(2), \dots, \gamma(p) )'. \)
Z równań tych możemy łatwo oszacować \( \gamma(0), \dots, \gamma(p) \) znając \( \sigma^2, \bar{\varphi} \). Z drugiej strony, jeżeli zamienimy występujące tutaj funkcje autokowariancji na odpowiednie funkcje autokowariancji próby otrzymamy estymatory Yule-Walkera
- \( \begin{align} \hat{\Gamma}_p \hat{\varphi} &= \hat{\gamma}_p, \\ \hat{\sigma}^2 &= \hat{\gamma}(0) - \hat{\varphi}' \hat{\gamma}_p, \end{align} \)
gdzie odpowiednie
- \( \hat{\Gamma}_p = [\hat{\gamma}(i-j)]_{i,j=1}^p \) - macierz kowariancji próby,
- \( \hat{\gamma}_p = (\hat{\gamma}(1), \hat{\gamma}(2), \dots, \hat{\gamma}(p) )' \) - wektor kowariancji próby.
Jeżeli tylko \( \hat{\gamma}(0) > 0 \) to możemy podzielić obie strony przez \( \hat{\gamma}(0) \) i otrzymamy wtedy
- \( \begin{align} \hat{\bar{\varphi}} &= \hat{R}^{-1}_p \hat{\rho}_p, \\ \hat{\sigma}^2 &= \hat{\gamma}(0) [1 - \hat{\rho'}_p \hat{R}^{-1}_p \hat{\rho}_p], \end{align} \)
gdzie
- \( \hat{\rho}_p = (\hat{\rho}(1), \hat{\rho}(2), \dots, \hat{\rho}(p) )' = \hat{\gamma}_p/\hat{\gamma}(0)\) - wektor autokorelacji próby.
Z tak określonym \( \hat{\bar{\varphi}} \) można pokazać, że powyższy model jest losowy. Autokowariancje \( \gamma_F(h) \) fitowanego modelu powinny spełniać \[ \gamma_F(h) - \hat{\varphi}_1 \gamma_F(h-1) - \dots - \hat{\varphi}_p \gamma_F(h-p) = \left \{ {{\sigma^2, h = 0} \atop {0, h = 1,\dots, p}} \right. \] Każdej niesingularnej macierzy \( \Gamma_p \) odpowiada proces AR(p). Niestety nie możemy stwierdzić w ogólności tego samego dla procesu MA(q).
Generalnie (czyli teoretycznie) rząd p nie jest nam znany, gdy zaczynamy dopasowywać dane do modelu AR(p). Jeżeli założymy, że prawdziwym rzędem modelu jest rząd p a zamierzamy dopasować model rzędu m to powinniśmy oczekiwać, że oszacowany estymator \( \bar{\varphi}_m = \bar{\varphi}_{m1}, \bar{\varphi}_{m2}, \dots, \bar{\varphi}_{mm}) \) wykaże dla indeksów większych od p niskie wartości \( \bar{\varphi}_{mm}. \)
Algorytm Durbina - Levinsona
Wiemy jak wstępnie oszacować parametry metodą Yule-Walkera
- \( X_t - \varphi_{m1} X_{t-1} - \dots - \varphi_{mp} X_{t-m} = Z_t, ~~Z_t \sim BS(0, \sigma^2). \)
z odpowiednimi
- \( \hat{\varphi}_m = (\hat{\varphi}_{m1}, \dots, \hat{\varphi}_{mm}) = \hat{R}^{-1}_m \hat{\rho}_m \) - predyktory \( \varphi_i, \)
- \( \hat{v}_m = \hat{\gamma}(0) [1 - \hat{\rho'}_p \hat{R}^{-1}_p \hat{\rho}_p]\) - predyktor \( \sigma^2. \)
- Algorytm Durbina - Levinsona
- pozwala na sukcesywne obliczanie kolejnych rzędów procesu AR.
Jeżeli \( \hat{\gamma}(0) > 0 \) to dla m = 1, 2, ..., n-1 możemy rekursywnie dopasować model AR
- \( \hat{\varphi}_{11} = \hat{\rho}(1),\ \)
- \( \hat{v}_1 = \hat{\gamma}(0) [1 - \hat{\rho}^2(1)], \ \)
- \( \hat{\varphi}_{mm} = [\hat{\gamma}(m) - \sum_{j=1}^{m-1} \hat{\varphi}_{m-1,j} \hat{\gamma}(m-j)] / \hat{v}_{m-1}, \)
- \( \begin{bmatrix} \hat{\varphi}_{m1} \\ \vdots \\ \hat{\varphi}_{m,m-1}\end{bmatrix} = \hat{\bar{\varphi}}_{m-1} - \hat{\varphi}_{m,m} \begin{bmatrix} \hat{\varphi}_{m-1,m-1} \\ \vdots \\ \hat{\varphi}_{m-1,1}\end{bmatrix}, \)
- \( \hat{v}_m = \hat{v}_{m-1} (1 - \hat{\varphi}^2_{mm}). \)
| Kod MS3 (Matlab / Octave) |
|---|
function [phi, v] = asc_durbin_levinson(x, p) if ( isempty (x) || (!isvector(x)) ) error ("DL: pierwszy agrument musi byc niepustym wektorem"); return; endif %dlugosc wektora lx = length(x); if ( !isnumeric(p) || p < 1) error ("DL: drugi argument musi byc liczba naturalna 0 < |h| <= dim(wektor)\n"); return; endif %%% % algorytm Durbina - Levinsona fi = []; v = []; % krok 0 if (p == 1) p; phi = asc_kor(x,1); v = asc_kow(x,0) * (1.0 - power(phi,2.0)); else [fi, w] = asc_durbin_levinson(x, p - 1); p; suma = 0.0; for j=1:p-1 suma += fi(p-1,j) * asc_kow(x,p-j); endfor fi(p, p) = (asc_kow(x,p) - suma) / w(p-1); for m=1:p-1 fi(p,m) = fi(p-1,m) - fi(p,p)*fi(p-1,p-m); endfor w(p) = w(p-1) * (1.0 - power(fi(p,p),2.0)); phi = fi; v = w; end endfunction |
Przy okazji, korzystając z powyższego algorytmu dostajemy funkcję autokorelacji częściowej próby \( \hat{\alpha}(m) = \hat{\varphi}_{mm} \).
Algorytm Burga
MA
Dla przypadków, gdy q > 0 metoda zaprezentowana wcześniej nie do końca zdaje egzamin. W tym przypadku posługujemy się algorytmem innowacyjnym.