Z Skrypty dla studentów Ekonofizyki UPGOW

Procesy i zjawiska losowe

Skrypt dla studentów ekonofizyki

\( Pr \{ \xi \in (a, b)\} = \int_a^b p_{\xi}(x)dx \)

PODSTAWOWE POJĘCIA NA TEMAT ZBIORÓW

Oznaczmy przez \(\Omega\) zbiór, który nazwiemy przestrzenią. Niech \(A, B, ...\) będa podzbiorami zbioru \(\Omega\).

Sumą zbiorów nazywamy zbiór złożony ze wszystkich elementów należących do któregokolwiek z sumowanych zbiorów. Suma zbiorów \(A \) i \( B \) jest oznaczana przez \(A\cup B\). Tak więc:

\(A\cup B=\{x:x\in A\vee x\in B\}\)

Iloczyn (lub część wspólna, przekrój, przecięcie) zbiorów \( A \) i \( B \) to zbiór, do którego należą te elementy zbioru \( A \), które należą również do \( B \). Część wspólna zbiorów \( A \) i \( B \) jest oznaczana przez \(A\cap B\). Tak więc:

\(A\cap B=\{x:x\in A\wedge x\in B\}\).

Różnica zbiorów A\B - to zbiór złożony z tych elementów zbioru A, które nie należą do B:

\(A \setminus B = \{ x : x\in A \and x \notin B\}\)

Dopełnieniem \(A'\) zbioru \(A\) (w przestrzeni \(\Omega\)) nazywa się różnica zbiorów

\(A'=\Omega \setminus A = \{x \in \Omega\colon x \notin A\}\),

Zbiór pusty to zbiór, który nie zawiera żadnych elementów. Oznaczany jest symbolem \(\empty\) lub \(\varnothing\).

Zbiory rozłączne – dwa zbiory \(A\) i \(B \)są rozłączne jeżeli ich część wspólna jest zbiorem pustym:

\(A\cap B=\empty\).

Inaczej mówiąc, zbiory te nie mające wspólnego elementu.

Na przykład, zbiory {1 ,2, 5, 8, 9} i {4, 6} są rozłączne, natomiast zbiory {2, 3, 5, 7, 8} i {2, 5, 6} – nie.

Rodzinę zbiorów| \((A_i)_{i\in I}\) nazywa się rodziną zbiorów parami rozłącznych, jeśli każde dwa różne zbiory tej rodziny są rozłączne: \[i\ne j \implies A_i\cap A_j = \emptyset\]

Spis teści

1. Wprowadzenie
2. Zbiory
3. tata
4. Zbiory
5. Elementy teorii prawdopodobieństa
   1. Przestrzeń probabilistyczna
   2. Zmienna losowa
   3. Rozkłady prawdopodobieństwa zmiennej losowej
   4. Wiele zmiennych losowych-Wektor zmiennych losowych
   5. Rozkłady prawdobodobieństwa wielu zmiennych losowych
6. Próby Bernouliego
7. Twierdzenie Poissona i rozklad Poissona
8. Procesy stochastyczne
9. Proces Poissona
   1. Proces urodzin i śmierci
   2. Poissonowski ciąg impulsów: biały szum Poissona
   3. Uogólnienia procesu Poissona
   4. Równania ewolucji dla procesów Poissona; funkcja tworząca
10. Błądzenie przypadkowe
11. Proces Wienera -proces dyfuzji
12. Biały szum gaussowski
13. Stochastyczne równania różniczkowe
14. Równanie Kramersa-Moyala
15. Proste i odwrotne równanie Kołmogorowa. Równanie Fokkera-Plancka
16. Równanie Ito a proces dyfuzji
17. Równanie Ito i równanie Stratonowicza
18. Twierdzenie Ito o różniczce funkcji procesu stochastycznego
19. Przykłady zastosowań równań stochastycznych w ekonomii
    1. Geometryczny proces Wienera