Z Skrypty dla studentów Ekonofizyki UPGOW

Negocjacje wielostronne

Wieloosobowy dylemat więźnia

Negocjacje wielostronne to to sytuacja w której mamy więcej niż dwu negocjatorów. Podstawowe zasady negocjacji dotyczą w równy stopniu negocjacji dwustronnych jak i wielostronnych. Powstaje jednak zasadnicza różnica, którą najlepiej można opisać stosując formalizm teorii gier, chodzi o możliwość tworzenia koalicji. W negocjacjach dwustronnych każdy negocjator odpowiadał za swój wynik a możliwe akty kooperacji czy współpracy miały służyć wspólnemu dobru negocjatorów. Już dla trzech negocjatorów sytuacja ta się diametralnie zmienia, powstaje możliwość koalicji dwojga przeciw trzeciemu, możliwość pozyskania jednego z negocjatorów i przeciągnięcia go na swoją stronę czy w końcu zgodna kooperacja trojga.

Rozważmy najpierw przykład tworzenia koalicji w grach o schemacie wielostronnego dylematu więźnia. Wielostronnym dylematem więźnia nazywamy taką grę, w której każdy z n graczy ma dwie strategie: współpracy (kooperant) - W oraz odmowy (oszust) – O, takie, że:

• Strategia O jest dla każdego bardziej opłacalna (dominująca) niż W
• Jeżeli wszyscy zagrają O to wszyscy uzyskają niższe wypłaty niż gdyby zagrali W.

A zatem sytuacja jest dokładnie taka sama jak w dwustronnym dylemacie, tyle że więcej graczy. Podamy teraz za Shapleym i Shubikiem (1969) przykład takiej sytuacji. Wyobraźmy sobie jezioro nad którym leży kilka wsi. Mieszkańcy tych wsi korzystają z jeziora czerpiąc z niego wodę pitną oraz wypuszczając do niego swoje ścieki, decydując czy oczyszczać te ścieki przed spuszczeniem, do jeziora czy nie. Koszty ponoszone przez wsie na uzdatnianie wody są ta takie same i zależą od ilości wsi nad jeziorem, które nie oczyszczają swoich ścieków:

• Koszty oczyszczania ścieków to 50 tys. zł rocznie dla każdej wsi
• Koszty uzdatniania wody pitnej to 20 tys. zł razy liczba N wsi, które nie oczyszczają ścieków

Podajmy dla przykładu koszty ponoszone przez jedną z wsi w zależności od tego ile innych wsi nie oczyszcza swoich ścieków dla 5 wsi nad jeziorem:

W tabeli podano koszty ponoszone co roku przez każdą wieś w tys. zł.:

• jeśli wieś oczyszcza ścieki to jej koszty = 50 000 + 20 000 x N
• jeśli wieś nie oczyszcza ścieków to jej koszty = 20 000 + 20 000 x N

Ponieważ koszty dla danej wsi są zawsze niższe kiedy nie oczyszcza wody to bez porozumienia, wszystkie będą zanieczyszczały jezioro i poniosą koszty po 100 tys. zł. Najkorzystniejszy rozwiązaniem dla wszystkich byłoby oczyszczanie jeziora przez wszystkie wsie, wtedy ich roczne wydatki spadłyby do 50 tys. zł. Załóżmy jednak, że taka współpraca jest z jakiś powodów niemożliwa, jedna lub dwie wsie nie chcą przystąpić do porozumienia. Czy opłaca się wówczas pozostałym wsiom kooperować? Okazuje się że odpowiedź jest pozytywna! Jeżeli 3 wsie zdecydują się na oczyszczanie to im się opłaca bo płacąc po 50 tys. zł za oczyszczanie ścieków zaoszczędzą 3 x 20 tys. = 60 tys. na uzdatnianiu wody pitnej – w sumie ich wydatki roczne spadną ze 100 tys. zł do 90 tys. zł. Zauważmy jednak, że wsie nie oczyszczające też zaoszczędzą po 60 tys. zł płacąc rocznie tylko po 40 tys zł. Przykład prowadzi do następujących wniosków w wielostronnego dylematu więźnia:

• Strategia Współpracy jest strategią optymalną dla partnerów
• Każdy z graczy widzi, że korzystniej jest odmówić współpracy
• Jeśli jednak wszyscy będą oszustami społecznymi to stracą

A zatem

Najkorzystniej jest być oszustem społecznym w grupie, która próbuje kooperować

Wobec tego jednak:

Należy skłaniać wszystkich do kooperacji i nie tolerować oszustów

Łatwo powiedzieć trudniej wykonać. Zauważmy jednak, że wiele problemów współczesnego świata ma charakter wielostronnego dylematu więźniów. Podamy przykłady na trzech poziomach:

• Globalnie:
  • wyczerpywanie się zasobów naturalnych (np. oszuści społeczni trzebią zagrożone wyczerpaniem zasoby ryb)
  • zanieczyszczania środowiska (oszuści emitują do atmosfery dwutlenek węgla)
  • demografia (przeludnienie w biednych społeczeństwach)
• Państwo:
  • system podatkowy a edukacja, opieka zdrowotna, etc (oszuści nie płaca podatków a korzystają z opieki Państwa)
  • reguły ruchu drogowego, komunikacja miejska (oszuści nie przestrzegają przepisów, jeżdżą po alkoholu etc.)
  • ubezpieczenia społeczne (oszuści unikają płacenia ubezpieczeń a chcą z nich korzystać)
• Firmy, biznes:
  • system bankowy (oszuści żyją ponad stan kosztem innych)
  • współpraca firm (np. oszuści postępując wbrew umowom np. korzystając z nielegalnego oprogramowania, zyskują przewagę nad solidnymi firmami)
  • współpraca w obrębie firmy (oszuści nie pracując wydajnie zarabiają tyle co wartościowi pracownicy).

Poszukiwanie sprawiedliwego podziału

Na szczęście nie wszystkie gry wieloosobowe maja charakter dylematy więźnia. Podamy teraz przykład negocjacji wieloosobowych kiedy współpraca jest korzystna dla kooperantów a partnerzy nie współpracujący na tym tracą. Wielostronną grą kooperacyjną nazywamy

• grę w której uczestniczy \( n>2 \ \) osób, które mogą tworzyć koalicje, np.: \( A=\{1\} \ \) koalicja jednoosobowa, \( B=\{2,3\} \ \) koalicja dwuosobowa, suma tych dwu koalicji jest też koalicją \( C=A \oplus B=\{1,2,3\} \ \) (trzyosobową).
• Wypłaty takiej gry określa funkcja charakterystyczna \( V(A)=V_A \ \) czyli wartość wypłaty dowolnej koalicji A
• Dla rozłącznych koalicji A i B wypłata ich łącznej koalicji \( V(A \oplus B) \geq V(A) + V(B)\).

Jest to warunek superaddytywności – w koalicji nasza wypłata jest większa lub co najmniej równa sumie wypłat każdego z osobna. Dla przykłady takiej gry rozważmy za H. Raiffą negocjacje pomiędzy trzema firmami A, B i C, które działając na jednym rynku rozważają fuzję, dzięki której mogłyby ograniczyć koszty administracji i reklamy swoich wyrobów osiągając z tego korzyści. Do fuzj mogą przystąpić wszystkie trzy firmy ale możliwe są również fuzje parami. Gdyby jednak połączyły się tylko dwie firmy trzecia, pozostawiona na uboczu, na fuzji by straciła. Przedmiotem negocjacji pozostaje podział zysków pomiędzy partnerami po fuzji. Zyski poszczególnych koalicjantów (w mln. zł) oraz spodziewane zyski partnerów we wszystkich możliwych koalicjach przedstawia tabela

Zauważmy, że koalicja zawsze zyskuje a strony poza koalicja tracą. Rzeczywiście, suma zysku A i zysku B jest mniejsza od spodziewanego zysku ich koalicji \(A \oplus B \) \[V(A) + V(B) = 32 + 23 = 55 < 59 = V(A \oplus B).\ \] Firma C traci na tej koalicji, gdyż jej zysk spada z 6 mln. to 5 mln. zł. Podobnie rzecz się ma w przypadku pozostałych koalicji: \[V(A) + V(C) \leq V(A \oplus C)\] \[V(B) + V(C) \leq V(B \oplus C)\] \[V(A) + V(B \oplus C) \leq V(A \oplus B \oplus C)\] \[V(B) + V(A \oplus C) \leq V(A \oplus B \oplus C)\] \[V(C) + V(A \oplus B) \leq V(A \oplus B \oplus C).:\]

A zatem gra jest kooperacyjna. Załóżmy, że firmy zdecydują się na wielką koalicję A©B©C, jak maja podzielić pomiędzy siebie spodziewane zyski w wysokości 77 mln zł? Jedną z możliwości jest podzielenie wartości dodanej, uzyskanej w wyniku wielkiej koalicji t.j. 16 mln zł (= 77 – 61) pomiędzy koalicjantów proporcjonalnie do ich zysków sprzed fuzji. Uzyskamy wtedy podział: 40,39 mln. zł, 29,03 mln. zł i 7,57 mln. zł. Na rysunku obok przedstawiono w trójkącie ten podział wraz z informacjami dotyczącymi zysków sprzed fuzji i spodziewanych zysków w przypadku koalicji każdych dwu i trzech partnerów.

Firma C może mieć jednak wątpliwości co do przedstawionego podziału. Wszak gdyby weszła w koalicję tylko z B to uzyskane 39 mln zł mogliby podzielić między siebie np. w stosunku 30 mln., 9 mln. uzyskując więcej niż z wielkiej koalicji. Jest to niewątpliwa wada rozwiązania proporcjonalnego. Tę wadę zobaczymy jeszcze wyraźniej, kiedy możliwe wyniki negocjacji naniesiemy na dwuwymiarowy wykres, na którym podział zysków w przypadku wielkiej koalicji uwzględnia nierówności:

\[V_A\geq 30; V_B\geq 22; V_C\geq 5; \; \] \[V_A + V_B \geq 59; V_A + V_C \geq 45; V_B + V_C \geq 39; \; \]

oraz

\[V_A + V_B + V_C = 77 \;\]

to znaczy, że żaden z partnerów wielkiej koalicji nie uzyska mniej niż gdyby występował samodzielnie ani gdyby tworzył podwójna koalicję z którymkolwiek partnerem. Sześć linii prostych na rysunku odpowiada wartościom granicznym powyższych warunków a zacieniony obszar pomiędzy nimi to tzw. jadro negocjacji, czyli obszar wyników negocjacji spełniających te warunki. Jak widać z rysunku wynik podziału proporcjonalnego leży poza tym jądrem.

Jednym z możliwych sposobów rozwiązania problemu podziału zysków wielkiej koalicji jest tzw. Wartość Shapleya. Aby ją określić zakładamy hipotetyczną sytuacją, według której koalicja tworzy się poprzez kolejne dochodzenie do niej graczy we wszystkich możliwych kolejnościach. W przypadku trzech graczy mamy sześć takich możliwości. Następnie obliczamy jaką wartość dodaną każdy gracz wnosi wchodząc do aktualnej koalicji. Na przykład dla pierwszej możliwej kolejności \(A \oplus B \oplus C \; \) gracz A wchodzi najpierw sam wnosząc 30 - tyle, ile dostałby pozostając poza koalicją pozostałych partnerów, następnie dochodzi gracz B, który dokłada 29, gdyż w koalicji z A mogą razem liczyć na 59, w końcu dochodzi C dodając 17 do wyniku wielkiej koalicji 77. Tak samo obliczamy wartości dodane z pięciu pozostałych kolejności aby w końcu policzyć średnią wszystkich wartości dodanych każdego gracza. Tą średnią nazywamy wartością Shapleya.

Jak widać z rysunku, wartość Shapleya leży w jądrze i to w jego środkowej części. Można zatem powiedzieć, że spełnia warunku „sprawiedliwego podziału” zysków trzech koalicjantów. Oczywiście podany powyżej sposób podziału nie jest jedynym możliwym. Przedmiotem negocjacji mogą jednak być jedynie te sposoby podziału, które leżą w jądrze. Rolą negocjatorów jest znalezienie tego najwłaściwszego.