Z Skrypty dla studentów Ekonofizyki UPGOW

Spis treści 1 Definicja i wykres funkcji dwóch zmiennych 1.1 Przykład 2 Pochodna cząstkowa I-go rzędu funkcji dwóch zmiennych 2.1 Przykład 3 Pochodne cząstkowe II-go rzędu funkcji dwóch zmiennych 4 Ekstremum lokalne funkcji dwóch zmiennych 4.1 Warunek konieczny istnienia lokalnego ekstremum 4.2 Warunek wystarczający istnienia lokalnego ekstremum 5 Zadania

Definicja i wykres funkcji dwóch zmiennych

Zgodnie z definicją funkcją dwóch zmiennych \(z=f(x,y)\) będziemy nazywać przyporządkowanie parze liczb rzeczywistych \((x,y)\) dokładnie jednej liczby rzeczywistej \(z\)Czyli obszarem zmienności funkcji dwóch zmiennych nazywamy zbiór wszystkich par \((x,y)\) dla których dana funkcja może przyjmować wartości. Można go przedstawiać jako pewien obszar na płaszczyźnie \(XY\). Ponadto wykres funkcji dwóch zmiennych jest może być przedstawiony w przestrzeni trójwymiarowej \(XYZ\) (Rys. 1).

Przykład

• Obszar zmienności funkcji (Rys. 2a) i wykres funkcji (Rys. 2b) \(z=\sqrt{9-x^2-y^2}\)

Pochodna cząstkowa I-go rzędu funkcji dwóch zmiennych

Pochodna cząstkowa dla danej funkcji dwóch zmiennych jest to pochodna względem jednej z jej zmiennych przy ustaleniu drugiej.

Symbol pochodnej cząstkowej ∂ to zaokrąglona wersja litery alfabetu greckiego delta. Pochodną cząstkową możemy zapisać w następujący sposób

\(f^\prime_x,\ f_x,\ \partial_x f, \frac{\partial}{\partial x}f, \text{ lub } \frac{\partial f}{\partial x}\)

Niech funkcja \(f\) będzie określona przynajmniej na otoczeniu punktu \((x_0, y_0)\).

Pochodną cząstkową pierwszego rzędu funkcji \(f\) względem zmiennej \(x\) w punkcie \((x_0, y_0)\) określamy wzorem

\[\frac{ \partial }{\partial x }f(x_0,y_0) = \lim_{\Delta x \rightarrow 0}{ f(x_0 + \Delta x,y_0) - f(x_0,y_0) \over{\Delta x} }\]

Pochodną cząstkową pierwszego rzędu funkcji \(f\) względem zmiennej \(y\) w punkcie \((x_0, y_0)\) określamy wzorem

\[\frac{ \partial }{\partial y }f(x_0,y_0) = \lim_{\Delta y \rightarrow 0}{ f(x_0,y_0 + \Delta y) - f(x_0,y_0) \over{\Delta y} }\]

Przykład

Pochodna cząstkowa funkcji \(z=f(x,y)=x^3y^3-2x^2\)

• Pochodna względem zmiennej \(x\),

\(\frac{ \partial }{\partial x }f(x,y) = 3x^2y^3-4x\)

• Pochodna względem zmiennej \(y\),

\(\frac{ \partial }{\partial y }f(x,y) = x^3 3y^2\)

Pochodne cząstkowe II-go rzędu funkcji dwóch zmiennych

Niech funkcja \(f(x,y)\) ma pochodne cząstkowe \(\frac{\partial f}{\partial x}\) i \(\frac{\partial f}{\partial y}\) przynajmniej na otoczeniu punktu \((x_0, y_0)\). To pochodne cząstkowe drugiego rzędu tej funkcji w punkcie \((x_0, y_0)\) określamy wzorami: \[\frac{\partial^2f(x_0,y_0)}{\partial x^2} = \frac{\partial}{\partial x} ( {\partial f(x_0,y_0)\over{\partial x}}) \text{, }\frac{\partial^2f(x_0,y_0)}{\partial x \partial y} = \frac{\partial}{\partial x} ( {\partial f(x_0,y_0)\over{\partial y}})\] \[\frac{\partial^2f(x_0,y_0)}{\partial y^2} = \frac{\partial}{\partial y} ( {\partial f(x_0,y_0)\over{\partial y}})\text{, }\frac{\partial^2f(x_0,y_0)}{\partial y \partial x} = \frac{\partial}{\partial y} ( {\partial f(x_0,y_0)\over{\partial x}})\]

Można je oznaczyć np. następującymi symbolami \(f_{xx}(x_0,y_0),f_{xy}(x_0,y_0),f_{yy}(x_0,y_0),f_{yx}(x_0,y_0)\)

Ekstremum lokalne funkcji dwóch zmiennych

• Funkcja \(f(x,y)\) ma w punkcie \((x_0, y_0)\) minimum lokalne, jeżeli istnieje otoczenie tego punktu takie, że dla dowolnego \((x, y)\) z tego otoczenia zachodzi nierówność \(f(x, y) \ge f(x_0, y_0)\).

• Funkcja \(f(x,y)\) ma w punkcie \((x_0, y_0)\) maksimum lokalne, jeżeli istnieje otoczenie tego punktu takie, że dla dowolnego \((x, y)\) z tego otoczenia zachodzi nierówność \(f(x, y) \le f(x_0, y_0)\).

Warunek konieczny istnienia lokalnego ekstremum

Jeżeli funkcja \(f(x,y)\) ma ekstremum lokalne w punkcie \((x_0, y_0)\) oraz istnieją pochodne cząstkowe \( \frac{\partial f(x_0,y_0)}{\partial x}\) i \(\frac{\partial f(x_0,y_0)}{\partial y}\) to \[\frac{\partial f(x_0,y_0)}{\partial x}=\frac{\partial f(x_0,y_0)}{\partial y}=0\]

Warunek wystarczający istnienia lokalnego ekstremum

Jeżeli spełniony jest warunek konieczny istnienia lokalnego ekstremum oraz \[ W(x_0,y_0) = \begin{vmatrix} \frac{\partial^2f(x_0,y_0)}{\partial x^2} & \frac{\partial^2f(x_0,y_0)}{\partial x \partial y} \\ \frac{\partial^2f(x_0,y_0)}{\partial y \partial x} & \frac{\partial^2f(x_0,y_0)}{\partial y^2} \end{vmatrix} >0 \] Wtedy funkcja \(f(x,y)\) ma w punkcie \((x_0, y_0)\) ekstremum lokalne i jest to minimum, jeżeli \(\frac{\partial^2f(x_0,y_0)}{\partial x^2}>0 \text{ lub } \frac{\partial^2f(x_0,y_0)}{\partial y^2}>0\) albo maksimum, jeżeli \(\frac{\partial^2f(x_0,y_0)}{\partial x^2}<0 \text{ lub } \frac{\partial^2f(x_0,y_0)}{\partial y^2}<0\)

Ponadto

• Jeżeli \( W(x_0,y_0) < 0 \) to funkcja \(f(x,y)\) nie ma ekstremum w punkcie \((x_0, y_0)\),
• Jeżeli \( W(x_0,y_0) = 0 \) to nie można wnioskować o istnieniu bądź nie ekstremum w punkcie \((x_0, y_0)\).

Zadania

1. Wyznacz dziedzinę następujących funkcji:
   1. \(f(x,y)={3x+5 \over{x^2+(y-1)^2}}\)
   2. \(f(x,y)=\ln(x^2+y^2+6x+8y)-10x+\sqrt{3}\)
   3. \(f(x,y)=\sqrt[4]{6-3x^2-3y^2}+{1 \over{2x+y}}\)
2. Wyznaczyć poziomice dla funkcji \(f(x,y)=x+y^2-6\)
3. Obliczyć pochodne cząstkowe funkcji
   1. \(f(x,y)=x^{\frac{2}{y}}-\log_{10}(xy^2) \text{ dla } x>0 \text{ i } y \ne 0 \)
   2. \( f(x,y) = \begin{cases} {\sin(x^2y) \over{x^2+y^2}} & \text{ dla } & (x,y) \ne (0,0) \\ 0 & \text{ dla } & (x,y)=(0,0) \end{cases} \)
   3. \( f(x,y) = \begin{cases} {x^2-y+1) \over{\sqrt{x^2+(y-1)^2}}} & \text{ dla } & (x,y) \ne (0,1) \\ 0 & \text{ dla } & (x,y)=(0,1) \end{cases} \)
4. Wyznaczyć pochodne cząstkowe rzędu drugiego dla:
   1. \(f(x,y)=\sqrt{5x^4+y^8}\)
   2. \(f(x,y)=\arctan{\frac{y^2}{x}} \text{ dla } x \ne 0\)
5. Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji
   1. \(f(x,y)=e^{3x-2y}(3x^2-y^2)\)
   2. \(f(x,y)=-8x^3+y^3-24xy-4\)
   3. \(f(x,y)=3x^8+3y^8+8x^3y^3\)
   4. \(f(x,y)=y^2-3x^2y-x^3y\)
   5. \(f(x,y)=24xy-2x^3y-4xy^2\)