Z Skrypty dla studentów Ekonofizyki UPGOW
Całkowanie funkcji, podobnie jak różniczkowanie, jest jednym z podstawowych narzędzi wykorzystywanych w naukach przyrodniczych, a także w ekonomii. Do pewnego stopnia możemy uważać, że całkowanie jest operacją odwrotną do różniczkowania. Np. wzory na znajdowanie całek funkcji elementarnych można łatwo sprawdzić korzystając ze wzorów na pochodne tych funkcji. Niestety, ze względu na brak wzorów na całkę iloczynu i ilorazu dwóch funkcji całkowanie jest trudniejsze niż różniczkowanie. W trakcie tego wykładu, oprócz podania definicji i interpretacji całki oznaczonej i nieoznaczonej, omówione zostaną dwie podstawowe metody całkowania: przez podstawienie i przez części, a zakończymy obliczaniem całek niewłaściwych. Całki niewłaściwe to całki oznaczone z funkcji nieograniczonych, a także całki oznaczone w przedziale nieskończonym.
Spis treści |
Funkcja pierwotna i całka nieoznaczona
Funkcja \(F(x)\) jest funkcją pierwotną funkcji \(f(x), x \in (a,b)\) wtedy i tylko wtedy gdy
\(\begin{aligned} \bigwedge_{x \in (a,b)} F'(x) = f(x). \nonumber\end{aligned}\)
Natomiast całka nieoznaczona funkcji \(\int f(x)\) to funkcja pierwotna \(F(x)\) funkcji \(f(x)\) do której dodajemy dowolną stałą \(C\)
\(\begin{aligned} \int f(x) = F(x) + C. \nonumber\end{aligned}\)
Oczywiście zachodzi
\(\begin{aligned} (F(x) + C)' = f(x), \nonumber\end{aligned}\)
ponieważ pochodna stałej \(C\) jest równa zero. Zauważmy, że funkcja \(f(x)\) może mieć tylko jedną funkcję pierowtną \(F(x)\), natomiast liczba całek nieoznaczonych jest nieskończona, przy czym całki nieoznaczone różnią się stałą. Dopisanie do funkcji pierwotnej stałej \(C\) jest pewnym zabiegiem formalnym, który okaże się zbyteczny gdy całka nieoznaczona stanie się całką oznaczoną.
Jak już wspomnieliśmy całkowanie jest operacją odwrotną do różniczkowania i dlatego wzory na całki funkcji elementarnych możemy otrzymać ze wzorów na pochodne tych funkcji. I tak:
\(\begin{aligned} \int x^a dx & = & \frac{x^{a+1}}{a+1} + C, \qquad a \neq -1, \qquad x > 0 \nonumber \\ \int sin x dx & = & -\cos x + C, \nonumber \\ \int cos x dx & = & \sin x + C, \nonumber \\ \int \frac{1}{cos^2x} dx & = & tg x, \qquad \cos x \neq 0 \nonumber \\ \int \frac{1}{sin^2x} dx & = & -ctg x, \qquad sinx \neq 0 \nonumber \\ \int e^x dx & = & e^x + C, \nonumber \\ \int a^x dx & = & \frac{a^x}{lna} + C, \qquad a>0, \qquad a \neq 1, \nonumber \\ \int \frac{dx}{x} dx & = & ln \vert x \vert + C, \qquad x \neq 0 \nonumber \\ \int \frac{dx}{\sqrt{1-x^2}} dx & = & arcsinx + C, \qquad x \in (-1,1) \nonumber \\ \int \frac{dx}{x^2 + 1} dx & = & arctgx + C, \nonumber \end{aligned}\)
przy czym dla pierwszego z powyższych wzorów zastrzeżenie \(x>0\) nie jest potrzebne gdy \(a \in N\), a ponadto jeżeli \(a \in C\) i \(a<0\) to wystarczy aby \(x \neq 0\).
Następujące dwie własności całek nieoznaczonych pomagają w obliczeniach:
\(\begin{aligned} \int (f(x) + g(x)) dx = \int f(x) dx + \int g(x) dx, \nonumber \\ \int cf(x) dx = c \int f(x) dx, \nonumber\end{aligned}\)
tzn. całka sumy funkcji jest równa sumie całek, a stałą można wyłączyć przed całkę. Jak już wspomniano podobnych wzorów nie ma na całkę iloczynu bądź ilorazu dwóch funkcji, co wynika ze wzorów na pochodną iloczynu i ilorazu dwóch funkcji - np. pochodna iloczynu dwóch funkcji nie jest równa iloczynowni pochodnych. Przedstawimy teraz dwie metody całkowania.
Całkowanie przez podstawienie, czyli zamianę zmiennej
Jeżeli dla \(x \in [a,b]\) funkcja \(g(x)\) ma pochodną ciągłą, a funkcja \(f(u)\) jest ciągła w zbiorze wartości funkcji \(g(x)\) to
\(\begin{aligned} \int f(g(x))g'(x) dx = \int f(u) du, \qquad u = g(x) \nonumber.\end{aligned}\)
Obliczymy \(\int sin4x dx\) aby zilustrować całkowanie przez podstawienie. Funkcja podcałkowa \(sin4x\) jest funkcją złożoną, a \(u = 4x\). Obliczmy różniczkę obu stron wyrażania \(u = 4x\). Dla przypomnienia różniczka \(df\) funkcji \(f(x)\) jest równa iloczynowi pochodnej \(f'(x)\) funkcji i \(dx\): \(df = f'(x)dx\). Otrzymujemy \(du = 4dx\), gdzie 4 jest pochodną \(4x\), czyli \(dx = \frac{du}{4}\). Musimy wyrazić \(dx\) przez \(du\) aby móc naszą całkę wyrazić w zmiennej \(u\):
\(\begin{aligned} \int sin4x dx = \int sinu \frac{du}{4} = \frac{1}{4} \int sinu du = -\frac{1}{4} cosu + C = -\frac{1}{4}cos4x + C, \end{aligned}\)
gdzie najpierw wyłączyliśmy stałą \(\frac{1}{4}\) przed całkę, następnie obliczyliśmy całkę funkcji elementarnej \(sinu\), a na koniec wyraziliśmy wynik w zmiennej \(x\). Oczywiście łatwo sprawdzimy, że pochodna funkcji pierwotnej \(-\frac{1}{4}cos4x\) jest równa funkcji podcałkowej \(sin4x\). Metodą całkowania przez podstawienie można obliczyć wiele całek, chociaż czasami podstawienie nie jest oczywiste. Jak widać z obliczonego przykładu całkowanie przez podstawienie zawsze działa dla podstawień \(liniowych\), czyli wtedy gdy \(u\) jest liniową funkcją \(x\).
Całkowanie przez części
Jeżeli funkcje zmiennej \(x\), \(u(x)\) i \(v(x)\) mają pochodne ciągłe to
\(\begin{aligned} \int u(x)v'(x) dx & = & u(x)v(x) - \int v(x)u'(x) dx, \nonumber \\ \int udv & = & uv - \int vdu, \nonumber \end{aligned}\)
przy czym drugi z powyższych wzorów na całkowanie przez części jest skróconym zapisem pierwszego - pamiętamy czemu jest równa różniczka funkcji: \(dv = v'(x)dx\) oraz \(du = u'(x)dx\). Obliczymy teraz \(\int xsinx dx\). Wybór \(u\) i \(dv\) jest dowolny. My wybierzemy \(u = x\) i stąd \(dv = sinxdx\). Aby skorzystać ze wzoru na całkowanie przez części musimy obliczyć \(du\) oraz \(v\). I tak \(du = dx\), ponieważ \(u' = 1\). Natomiast znalezienie \(dv\) wymaga scałkowania obu stron równania \(dv = xsinx dx\). Otrzymujemy: \(\int dv = v\), oraz \(\int sinx dx = -cosx\), i stąd \(v = -cosx\). Teraz można zastosować wzór na całkowanie przez części:
\(\begin{aligned} \int xsinx dx = -xcosx -\int (-cosx) dx = -xcosx + sinx + C, \nonumber \\ (-xcosx + sinx + c)' = -cosx + xsinx + cosx + 0 = xsinx, \nonumber\end{aligned}\)
gdzie obliczając pochodną sprawdziliśmy poprawność wyznaczenia całki. Wybór \(u\) i \(dv\) jest dowolny. Zauważmy jednak, że gdybyśmy wybrali na odwrót: \(u = sinx\), oraz \(dv = xdx\), to otrzymalibyśmy \(du = d(sinx) = cosxdx\) oraz \(v = \int dv = \int xdx = \frac{x^2}{2}\). A korzystając ze wzoru na całkowanie przez części
\(\begin{aligned} \int xsinx dx = sinx\frac{x^2}{2} - \int \frac{x^2}{2}cosx dx.\end{aligned}\)
Jak widać całka, którą mamy obliczyć jest bardziej skomplikowana niż \(\int xsinx dx\). I dlatego wybór \(u\) i \(dv\) powinnien prowadzić do obliczenia prostszych całek. Metoda całkowania przez części jest skuteczna wtedy, gdy np. różniczka jednej funkcji jest prostsza (np. pochodna funkcji potęgowej obniża potęgę o jeden), a całka drugiej funkcji się nie komplikuje (np. całki funkcji \(sinx\), \(cosx\) czy \(e^x\)).
Całka oznaczona - interpretacja geometryczna
Jeżeli dla \(x \in [a,b]\) wartości funkcji \(f(x) \geq 0\) to wtedy pole \(P\) obszaru ograniczonego prostymi \(x = a\), \(x = b\), odcinkiem \([a,b]\) na osi \(OX\) oraz wykresem funkcji \(y = f(x)\)
(Rys. 1) jest równe całce oznaczonej
\[\begin{aligned} P = \int_{a}^{b} f(x) dx, \nonumber\end{aligned}\]
przy czym zachodzi następujący związek pomiędzy całką oznaczoną i nieoznaczoną:
\[\begin{aligned} \int_{a}^{b} f(x) dx = F(x)\vert_{a}^{b} = F(b) - F(a), \nonumber\end{aligned}\]
gdzie \(F(x)\) jest funkcją pierwotną funkcji \(f(x)\), tzn. zachodzi \(F'(x) = f(x)\), a różnicę \(F(a)-F(b)\) zapisalismy w skrócie jako \(F(x)\vert_{a}^{b}\). Jak widać gdy znamy całkę nieoznaczoną to obliczenie polą pod funkcją podcałkową \(f(x)\) sprowadza się do odjęcia od wartości funkcji pierwotnej w górnej granicy całkowania \(b\), jej wartości w dolnej granicy całkowania \(a\).
Dla całek oznaczonych mamy dwie własności takie jak dla całek nieoznaczonych. A mianowice: stałą \(c\) można wyłączyć przed całkę oznaczoną
\[\begin{aligned} \int_{a}^{b} cf(x) dx = c\int_{a}^{b} f(x) dx, \nonumber\end{aligned}\]
a także całka oznaczona sumy funkcji jest równa sumie całęk oznaczonych
\[\begin{aligned} \int_{a}^{b} (f(x) + g(x)) dx = \int_{a}^{b} f(x) dx + \int_{a}^{b} g(x) dx. \nonumber\end{aligned}\]
Uważny czytelnik zapewne zauważył, że w przypadku całki oznaczonej nie pojawia się stała \(C\), którą dodawaliśmy do funkcji pierwotnej przy obliczaniu całek nieoznaczonych. Dzieje się tak dlatego, ponieważ różnica \(F(b) - F(a)\) nie zależy od stałej całkowania \(C\). Pole jak miara powierzchni musi być liczbą nieujemną i tak będzie gdy wartości funkcji \(f(x)\) (funkcja podcałkowa w całce oznaczonej) będą dodatnie. Jeżeli wartości funkcji \(f(x)\) dla \(x \in [a,b]\) są mniejsze lub równe zero to wtedy
\[\begin{aligned} P = -\int_{a}^{b} f(x) dx. \nonumber\end{aligned}\]
Widzimy, że aby obliczyć całkę oznaczoną należy najpierw znaleźć całkę nieoznaczoną, a następnie odjąć od siebie wartośći funkcji pierwotnej obliczone dla końców przedziały całkowania.
Można podzielić przedział całkowania \([a,b]\) np. ma dwa przedziały \([a,c]\) oraz \([c,b]\), (\(a \leq c \leq b\)). Zachodzi wtedy addytywność całek oznaczonych względem przedziału całkowania
\[\begin{aligned} \int_{a}^{b} f(x) dx = \int_{a}^{c} f(x) dx + \int_{c}^{b} f(x) dx. \nonumber\end{aligned}\]
Całka oznaczona znajduje szerokie zastosowanie w obliczeniach fizycznych, technicznych i ekonomicznych. Można tutaj wymienić obliczanie długości łuku, pola powierzchni, objętości brył, momentu bezwładności, środka ciężkości czy też zysku w pewnym czasie gdy znana jest funkcja opisującą zależność zysku od czasu.
Jako przykład obliczymy \(\int_{0}^{4} x dx\). Jest to pole trójkąta pokazane na Rys. 2.
Otrzymujemy:
\[\begin{aligned} P = \int_{0}^{4} x dx = \frac{x^2}{2}\vert_{0}^{4} = \frac{4^2}{2} - \frac{0^2}{2} = 8. \nonumber\end{aligned}\]
Wynik ten można łatwo sprawdzić korzystając ze znanego wzoru na pole trójkąta (długość podstawy = 4, wysokość = 4). Można również zsumować pola elementarne o boku 1 zawarte w trójkącie (niektóre z nich to oczywiście połówki pól elementarnych). Gdy funkcją podcałkową nie jest funkcja liniowa to wtedy jedynym sposobem obliczania pola jest zastosowanie całki oznaczonej.
Całki funkcji nieograniczonych
Okazuje się, że możemy obliczyć całkę oznaczoną z funkcji, która jest nieokreślona w pewnym punkcie. Całka taka istnieje, czyli jest zbieżna, jeżeli odpowiednie granice (bądź jedna granica) są skończone. Gdy są nieskończone to wtedy taka całka jest rozbieżna.
I tak, jeżeli funkcja \(f(x)\) jest nieograniczona dla \(x = c, c \in [a,b]\), jest natomiast ograniczona i całkowalna w następujących przedziałach: \(x \in [a,c-\alpha], \alpha>0\), \(x \in [c+\beta,b], \beta>0\), oraz jeżeli istnieją granice
\[\begin{aligned} \lim_{\alpha \rightarrow 0} \int_{a}^{c-\alpha} f(x) dx, \qquad \lim_{\beta \rightarrow 0} \int_{c+\beta}^{b} f(x) dx,\nonumber\end{aligned}\]
to wtedy
\[\begin{aligned} \int_{a}^{b} f(x) dx = \lim_{\alpha \rightarrow 0} \int_{a}^{c-\alpha} f(x) dx + \lim_{\beta \rightarrow 0} \int_{c+\beta}^{b} f(x) dx.\nonumber\end{aligned}\]
Jeżeli funkcja \(f(x)\) jest ograniczona i całkowalna dla \(x \in [a,b]\) to powyższa równość staje się zwykłym podziałem przedziału całkowania \([a,b]\) na sumę dwóch przedziałów \([a,c]+[c,b]\), a całka oznaczona liczona w przedziale całkowania \([a,b]\) jest zwykłą sumą dwóch całek liczonych w przedziałach \([a,c]\) i \([c,b]\).
Czasami obliczając całkę oznaczoną z funkcji nieograniczonej trzeba obliczyć tylko jedną z granic. Tak jest np. w przykładzie: obliczyć \(\int_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt{x}} dx\), który teraz rozwiążemy. Funkcja podcałkowa \(f(x)=\frac{1}{\sqrt{x}}\) jest nieokreślona dla \(x=0\), a jej granica w tym punkcie wynosi \(+\infty\).
\[\begin{aligned} \int_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt{x}} dx = \lim_{\alpha \rightarrow 0} \int_{\alpha}^{1} \frac{1}{\sqrt{x}} dx = 2\sqrt{x}\vert_{1}^{0} = 2\sqrt{1} - \lim_{\alpha \rightarrow 0} 2\sqrt{\alpha} = 2 - 0 = 2.\nonumber \end{aligned}\]
Jak widać jest to całka zbieżna, a graficzna ilustracja tego przykładu jest zamieszczona na Rys 3.
Całki oznaczone w przedziałach nieskończonych
Podobnie, czyli w sensie granicy, będziemy rozpatrywać niewłaściwe całki oznaczone gdy jedna (lub obie) granice całkowania są równe \(\pm\infty\). I tak, jeżeli funkcja \(f(x)\) jest ograniczona i całkowalna w każdym przedziale \([a,b]\) oraz istnieje granica
\[\begin{aligned} \lim_{b \rightarrow +\infty} \int_{a}^{b} f(x) dx,\nonumber\end{aligned}\]
to nazywamy ją całką niewłaściwą funkcji \(f(x)\) w przedziale \([a,+\infty)\). Czyli możemy napisać, że
\[\begin{aligned} \int_{a}^{+\infty} f(x)dx = \lim_{b \rightarrow +\infty} \int_{a}^{b} f(x) dx.\nonumber\end{aligned}\]
Analogicznie określamy całkę niewłaściwą w przedziale \((-\infty,b]\)
\[\begin{aligned} \int_{-\infty}^{b} f(x)dx = \lim_{a \rightarrow -\infty} \int_{a}^{b} f(x) dx,\nonumber\end{aligned}\]
oraz całkę niewłaściwą w przedziale \((-\infty,+\infty)\)
\[\begin{aligned} \int_{-\infty}^{+\infty} f(x)dx = \lim_{a \rightarrow -\infty} \lim_{b \rightarrow +\infty}\int_{a}^{b} f(x) dx.\nonumber\end{aligned}\]
I podobnie jak w przypadku całki z funkcji nieograniczonej, jeżeli któraś z powyższych granic nie istnieje to całka oznaczona w przedziale nieskończonym nie istnieje, czyli jest rozbieżna. I jak zawsze zakończymy ten rozdział rozwiązaniem przykładu: \[\int_{1}^{+\infty} \frac{1}{x^2}dx\]
\[\begin{aligned} \int_{1}^{+\infty} \frac{1}{x^2}dx = \frac{-1}{x}\vert_{1}^{+\infty} = \lim_{b \rightarrow +\infty} \frac{-1}{x} - \frac{-1}{1} = 0 + 1 = 1,\nonumber\end{aligned}\]
którego ilustracją jest poniższy Rys 4.
Widzimy, że pole ma skończoną wartość pomimo tego, że jedna z granic całkowania jest nieskończona. Całki w granicach nieskończonych będziemy bardzo często stosować w statystyce.
Zadania
- Oblicz następujące całki
- \(\int (x^2-2)^{2}\, dx\)
- \(\int 8x^3\, dx\)
- \(\int (4x^2+11x^3)\, dx\)
- \(\int (31x^{32}+4x^3-9x^4) \,dx\)
- \(\int 5x^{-2}\, dx\)
- \(\int (\cos x+\sin x)\, dx\)
- \(\int 3\sin x\, dx \)
- \(\int (1+\tan^2 x)\, dx\)
- \(\int (3x-\sec^2 x)\, dx\)
- \(\int -e^x\, dx\)
- \(\int 8e^x\, dx\)
- \(\int \frac1{7x}\, dx\)
- \(\int \frac1{x^2+a^2}\, dx\)
- Oblicz - stosując metodę całkowania przez części
- \(\int xsin(x)\,dx\)
- \(\int xe^{3x}\, dx\)
- \(\int x^3lnx\,dx\)
- \(\int e^{-2x}sin(3x)\,dx\)
- \(\int \limits_{0}^{1}lnx\,dx\)
- \(\int \limits_{0}^{\infty}xe^{-4x}\,dx\)
- Pokaż, że \(\int \limits_{0}^{\infty}e^{-st}\,dt=\frac{1}{s}\) dla \(s>0\) i oblicz \(\int \limits_{0}^{\infty}t^{n}e^{-st}\,dt\) dla \(n=1,2,\ldots\)
- Oblicz \(\int \limits_{0}^{3}f(x)\, dx\) gdzie \( f(x) = \begin{cases} x \text{ } dla \text{ } 0\le x <1 \\ 2(1+x) \text{ } dla\text{ } 1\le x <2 \\ x-1 \text{ } dla\text{ } 2 \le x \le 3 \end{cases}\)
- Oblicz całki przed metodą przez podstawienie wykorzystując podane podstawienia
- \(\int \frac{x}{(1+x^2)^2} \, dx\) podstaw \(y=1+x^2\)
- \(\int sin^3(x)cos^5(x) \, dx\) podstaw \(t=sin(x)\)
- \(\int \frac{1}{(3+\sqrt{x})} \, dx\) podstaw \(t=\sqrt{x}\)
- Obliczyć całki funkcji elementarnych
- \(\int \frac{1-x+x^2}{x^4}dx\)
- \(\int (\sqrt{x}-1)xdx\)
- \(\int (x-2)(x-3)dx\)
- \(\int \frac{2x^2-x-1}{\sqrt{x}}dx\)
- \(\int \frac{(x-\sqrt{x})(1+\sqrt{x})}{\sqrt{x}}dx\)
- Metodą podstawienia obliczyć całki
- \(\int cos\frac{x}{2}dx\)
- \(\int e^{-3x}dx\)
- \(\int \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x^2}dx\)
- \(\int xe^{-x^2}dx\)
- \(\int \frac{x}{x^4+1}dx\)
- \(\int x(2-x^2)^{12}dx\)
- Metodą przez części obliczyć całki
- \(\int xe^xdx\)
- \(\int x^2e^xdx\)
- \(\int x^2sinxdx\)
- \(\int x^2e^{-x}dx\)
- \(\int e^xcosxdx\)
- Obliczyć całki oznaczone
- \(\int_{0}^{\pi} cos2xdx\)
- \(\int_{-1}^{+1} (x^2+1)dx\)
- \(\int_{1}^{4} \frac{4x-2\sqrt{x}}{x}dx\)
- \(\int_{-1}^{1} \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}dx\)
- \(\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} xsinxdx\)
- \(\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} sin^2xcosxdx\)
- \(\int_{0}^{1} xe^xdx\)
- Obliczyć pola ograniczone krzywymi
- prostą \(y=x\), parabolą \(y=x^2\)
- prostą \(y=4x\), funkcją \(y=x^3\)
- hiperbolą \(y=\frac{1}{x}\), prostą \(y=-x+2\)
- Obliczyć całki niewłaściwe
- \(\int_{0}^{+\infty} xe^{-x^2}dx\)
- \(\int_{0}^{5} \frac{dx}{x}\)
- \(\int_{0}^{1} lnxdx\)
- \(\int_{0}^{+\infty} e^{-x}dx\)
- \(\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{1+x}{1+x^2}dx\)
- \(\int_{0}^{+\infty} xe^{-x^2}dx\)