Z Skrypty dla studentów Ekonofizyki UPGOW

Funkcje trygonometryczne dla miar kątów ostrych można zdefiniować jako stosunki długości odpowiednich dwóch boków trójkąta prostokątnego

• sinus – oznaczany \(\sin\;\) – stosunek długości przyprostokątnej \(a\;\) leżącej naprzeciw tego kąta \(\alpha\;\) i długości przeciwprostokątnej \(c\;\);
• cosinus – oznaczany \(\cos\;\) – stosunek długości przyprostokątnej przyległej \(b\;\) do tego kąta \(\alpha\;\) i przeciwprostokątnej \(c\;\);
• tangens – oznaczany \(\operatorname{tg}\;\) – stosunek długości przyprostokątnej \(a\;\) leżącej naprzeciw tego kąta \(\alpha\;\) i długości przyprostokątnej \(b\;\) przyległej do tego kąta;
• cotangens (kotangens) – \(\operatorname{ctg}\;\) – stosunek długości przyprostokątnej \(b\;\) przyległej do tego kąta \(\alpha\;\) i długości przyprostokątnej \(a\;\) leżącej naprzeciw tego kąta

Wzory

\(\sin \alpha = \frac{a}{c}\)

\(\cos \alpha = \frac{b}{c}\)

\(\operatorname{tg} \alpha = \frac{a}{b}\)

\(\operatorname{ctg} \alpha = \frac{b}{a}\)

Spis treści 1 Miara łukowa kąta 2 Wartości dla typowych kątów 3 Podstawowe tożsamości trygonometryczne

Miara łukowa kąta

Miara kąta wyrażona przez stosunek długości łuku okręgu opartego na tym kącie do długości promienia okręgu

\(\alpha =\frac{l}{r}\)

gdzie

α – rozpatrywany kąt,

l – długość łuku,

r – promień okręgu, którego wycinkiem jest łuk.

Jednostką tak zapisanego kąta jest radian (1 rad). Wymiarem radiana jest jedność

\(\left[ \operatorname{rad} \right]=1\)

Wartości dla typowych kątów

radiany	\(0\;\)	\(\frac{\pi}{12}\)	\(\frac{\pi}{6}\)	\(\frac{\pi}{4}\)	\(\frac{\pi}{3}\)	\(\frac{5\pi}{12}\)	\(\frac{\pi}{2}\)
stopnie	\(0^\circ\;\)	\(15^\circ\;\)	\(30^\circ\;\)	\(45^\circ\;\)	\(60^\circ\;\)	\(75^\circ\;\)	\(90^\circ\;\)
\(\sin\;\)	\(0\;\)	\( \tfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4} \)	\( \tfrac{1}{2} \)	\( \tfrac{\sqrt{2}}{2} \)	\( \tfrac{\sqrt{3}}{2} \)	\( \tfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4} \)	\(1\;\)
\(\cos\;\)	\(1\;\)	\( \tfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4} \)	\( \tfrac{\sqrt{3}}{2} \)	\( \tfrac{\sqrt{2}}{2} \)	\( \tfrac{1}{2} \)	\( \tfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4} \)	\(0\;\)
\(\operatorname{tg}\;\)	\(0\;\)	\( 2-\sqrt{3} \)	\( \tfrac{\sqrt{3}}{3} \)	\(1\;\)	\( \sqrt{3} \)	\( 2+\sqrt{3} \)	nieokreślony
\(\operatorname{ctg}\;\)	nieokreślony	\( 2+\sqrt{3} \)	\( \sqrt{3} \)	\(1\;\)	\( \tfrac{\sqrt{3}}{3} \)	\( 2-\sqrt{3} \)	\(0\;\)

Podstawowe tożsamości trygonometryczne

Związki między funkcjami trygonometrycznymi spełnione dla dowolnego argumentu ich dziedziny to tzw. tożsamości trygonometryczne. Są one prawdziwe zarówno w dziedzinie rzeczywistej, jak i zespolonej. Często używane są:

• jedynka trygonometryczna:

\(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \,\)

• definicja tangensa i kotangensa za pomocą sinusa i cosinusa:

\(\begin{align} \operatorname{tg}\ \alpha & =\tfrac{\sin \alpha}{\cos \alpha},\ \alpha\neq \tfrac{\pi}{2}+k\pi \\ \operatorname{ctg}\ \alpha & =\tfrac{\cos \alpha}{\sin \alpha},\ \alpha\neq k\pi \end{align},\quad k\in\mathbb{Z}\)

• wzory na sinus i cosinus sumy i różnicy kątów:

\(\sin (\alpha \pm \beta) = \sin \alpha \cdot \cos \beta \pm \cos \alpha \cdot \sin \beta \,\)

\(\cos (\alpha \pm \beta) = \cos \alpha \cdot \cos \beta \mp \sin \alpha \cdot \sin \beta \,\)

• wzory na sumę i różnicę sinusów i cosinusów:

\(\sin \alpha \pm \sin \beta = 2 \sin \tfrac {\alpha \pm \beta} 2 \cdot \cos \tfrac {\alpha \mp \beta } 2 \)

\(\cos \alpha + \cos \beta = 2 \cos \tfrac {\alpha + \beta} 2 \cdot \cos \tfrac {\alpha - \beta } 2\)

\(\cos \alpha - \cos \beta = -2 \sin \tfrac {\alpha + \beta} 2 \cdot \sin \tfrac {\alpha - \beta } 2\)

• wzory na sinus i cosinus podwojonego argumentu:

\(\sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cdot \cos \alpha \,\)

\(\cos 2\alpha = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha= 2\cos^2\alpha - 1 = 1 -2\sin^2\alpha \)

• wzory na sinus i cosinus połowy argumentu:

\(\left| \sin\tfrac{1}{2}\alpha \right|=\scriptstyle{\sqrt{\frac{1-cos \alpha}{2}}}\)

\(\left| \cos\tfrac{1}{2}\alpha \right|=\scriptstyle{\sqrt{\frac{1+cos \alpha}{2}}}\)

• iloczyn w postaci sumy:

\(\cos \alpha \cdot \cos \beta = \tfrac{\cos (\alpha - \beta) + \cos (\alpha + \beta)} 2\)

\(\sin \alpha \cdot \sin \beta = \tfrac{\cos (\alpha - \beta) - \cos (\alpha + \beta)} 2\)

\(\sin \alpha \cdot \cos \beta = \tfrac{\sin (\alpha - \beta) + \sin (\alpha + \beta)} 2\)

• wzory na wyrażanie jednych funkcji trygonometrycznych przez inne:

\(\sin \alpha = \cos \left(\tfrac{\pi}{2} - \alpha \right)\)

\(\cos \alpha = \sin \left(\tfrac{\pi}{2} - \alpha \right)\)

\(\operatorname{tg} \alpha = \tfrac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \operatorname{ctg} \left(\tfrac{\pi}{2} - \alpha \right) = \tfrac{1}{\operatorname{ctg} \alpha} \,\)

\(\operatorname{ctg} \alpha = \tfrac{\cos \alpha}{\sin \alpha} = \operatorname{tg} \left(\tfrac{\pi}{2} - \alpha \right) = \tfrac{1}{\operatorname{tg} \alpha} \,\)

\(\sec \alpha= \tfrac{1}{\cos \alpha} = \csc \left(\tfrac{\pi}{2} - \alpha \right) \,\)

\(\csc \alpha=\tfrac{1}{\sin \alpha} = \sec \left(\tfrac{\pi}{2} - \alpha \right) \,\)

\(\begin{matrix} \color{green}{\sin^2 \alpha}= & 1-\cos^2 \alpha= & \tfrac{\operatorname{tg}^2\ \alpha}{1+\operatorname{tg}^2\ \alpha}= & \tfrac{1}{1+\operatorname{ctg}^2\ \alpha} \\ 1-\sin^2 \alpha= & \color{green}{\cos^2 \alpha}= & \tfrac{1}{1+\operatorname{tg}^2\ \alpha}= & \tfrac{\operatorname{ctg}^2\ \alpha}{1+\operatorname{ctg}^2\ \alpha} \\ \tfrac{\sin^2 \alpha}{1-\sin^2 \alpha}= & \tfrac{1-\cos^2 \alpha}{\cos^2 \alpha}= & \color{green}{\operatorname{tg}^2\ \alpha}= & \tfrac{1}{\operatorname{ctg}^2\ \alpha} \\ \tfrac{1-\sin^2 \alpha}{\sin^2 \alpha}= & \tfrac{\cos^2 \alpha}{1-\cos^2 \alpha}= & \tfrac{1}{\operatorname{tg}^2\ \alpha}= & \color{green}{\operatorname{ctg}^2\ \alpha} \end{matrix}\)