Z Skrypty dla studentów Ekonofizyki UPGOW
Spis treści |
Liczby naturalne
Zbiór liczb naturalnych N tworzą liczby 0,1,2,3,...
\[N = \{0,1,2,3,\ldots \}\]
Nie ma największej liczby naturalnej, czyli innymi słowy dla każdej liczby naturalnej można znaleźć liczbę większą. Najmniejszą liczbą naturalną jest 0, przy czym uwaga - niektóre podręczniki definiują zbiór liczb naturalnych jako zbiór {1,2,3,...}. W tym przypadku 0 nie jest liczbą naturalną.
Liczby całkowite
Zbiór liczb całkowitych C tworzą liczby ...,-3,-2,-1,0,1,2,3,...
\[C = \{\ldots,-3,-2,-1,0,1,2,3,\ldots \}\]
Nie ma najmniejszej ani największej liczby całkowitej, a zbiór liczb naturalnych zawiera się w zbiorze liczb całkowitych
\[N \subset C\]
Liczby wymierne
Zbiór liczb wymiernych W tworzą liczby postaci \(\frac{m}{n}\), gdzie \(m,n \in C \) oraz \( n \neq 0\)
\[W = \{\frac{m}{n}, m,n \in C \wedge n \neq 0\}\]
Nie ma najmniejszej ani największej liczby wymiernej, a zbiór liczb całkowitych zawiera się w zbiorze liczb wymiernych
\[C \subset W\]
Liczby niewymierne
Zbiór liczb niewymiernych IW tworzą liczby, których nie można przedstawić w postaci \(\frac{m}{n}\), gdzie \(m,n \in C\), oraz \(n \neq 0\), czyli nie można przedstawić w postaci ułamka. Przykładami liczb niewymiernych są \(\sqrt{2}\), \(\pi\), \(\sqrt{13}\), liczba \(e\) i nieskończenie wiele innych. Z podanej definicji zbioru IW wynika, że zbiory liczb wymiernych i niewymiernych są rozłączne, czyli nie posiadają elementów wspólnych
\[W \cap IW = \emptyset\]
Liczby rzeczywiste
Zbiór liczb rzeczywistych R tworzy suma zbioru liczb wymiernych W i zbioru liczb niewymiernych IW (zbiory W i IW są rozłączne)
\[R = W \cup IW\]
Oczywiście nie ma najmniejszej ani największej liczby rzeczywistej, a pomiędzy dwie dowolne liczby rzeczywiste można włożyć nieskończenie wiele liczb rzeczywistych. Mówiąc obrazowo liczby rzeczywiste to \(\it wszystkie\) liczby i tymi liczbami będziemy się posługiwać na zajęciach z analizy matematycznej.
Liczby zespolone
Zbiór liczb zespolonych Z tworzą liczby postaci \(\it z = a + ib\), gdzie \(\it a,b \in R\), a \( \it i\) jest tzw. jednostką urojoną, czyli rozwiązaniem równania \(\it i^{2} = -1\).
\[Z = \{ \it z = a + ib, \it a,b \in R, \it i^{2} = -1\}\]
Liczby zespolone przedstawia się zwykle na tzw. płaszczyźnie zespolonej, która jest podzielona na cztery części dwoma osiami: rzeczywistą \(\Re\) i urojoną \(\Im\). Własności i działania na liczbach zespolonych zostaną omówione w dalszej części kursu.
W świetle powyższych definicji, oczywista jest następująca zależność zawierania się zbiorów liczbowych:
\[N \subset C \subset W \subset R \subset Z\]