Z Skrypty dla studentów Ekonofizyki UPGOW
Wyrażeniem wymiernym nazywamy wyrażenie algebraiczne zapisane w postaci \(W \over V\) (ilorazu dwóch wielomianów), gdzie \(V\) nie jest wielomianem zerowym.
Spis treści |
Działania na wyrażeniach wymiernych
Rozszerzanie
Jeżeli w liczbie wymiernej zapisanej w postaci ułamka zwykłego pomnożymy licznik i mianownik przez tę samą liczbę, wartość liczby wymiernej nie ulegnie zmianie:
\[\frac{3}{5}=\frac{3 \cdot {\color{green}3}}{5 \cdot {\color{green}3}}=\frac{9}{15}\]
Jest to rozszerzanie ułamka. To samo możemy zrobić z wyrażeniem wymiernym - pomnożyć licznik i mianownik przez ten sam wielomian.
Przykład
- \[\frac{x-1}{x+1}=\frac{(x-1)\cdot {\color{green}{(x+1)}}}{(x+1)\cdot {\color{green}{(x+1)}}}=\frac{x^2-1}{x^2+x+x+2}=\frac{x^2-1}{x^2+2x+4}\]
Skracanie
Odwrotnością rozszerzania jest skracanie: jeżeli w liczniku i mianowniku wyrażenia wymiernego występuje ten sam czynnik, możemy przez niego skrócić wyrażenie
Dla ułamków \[\frac{9}{15}=\frac{3 \cdot {\color{green}3}}{5 \cdot {\color{green}3}}=\frac{3}{5}\]
Przykład
\[\frac{(x^2+2){\color{green}{(x^2-5x+3)}}}{(x-1){\color{green}{(x^2-5x+3)}}}=\frac{x^2+2}{x-1}\] \[\frac{(x^3+x-5){\color{green}{(x+2)x^2}}}{{\color{green}{(x+2)}}(x^3-1) {\color{green}{x^2}}}=\frac{x^3+x-5}{x^3-1}\] \[\frac{x^3(x+4)}{x^4}=\frac{{\color{green}{x^3}}(x+4)}{{\color{green}{x^3}} \cdot x}=\frac{x+4}{x}\]
W skracaniu wyrażeń zwykle pomaga rozłożenie wielomianów na czynniki \[\frac{x^2-4}{x^2+x-6}=\frac{(x+2)(x-2)}{(x+3)(x-2)}=\frac{x+2}{x+3}\]
Dodawanie i odejmowanie wyrażeń wymiernych
Wynikiem dodawania lub odejmowania wyrażeń wymiernych jest także wyrażenie wymierne. Kiedy obydwa mają równe mianowniki, postępujemy analogicznie jak w przypadku zwykłych ułamków:
- Wielomian w mianowniku pozostawiamy bez zmian
- Dodajemy (odejmujemy) wielomiany w liczniku
Pokażemy to na przykładach, najpierw dla ułamków
- \[\frac{3}{7}+\frac{2}{7}=\frac{3+2}{7}=\frac{5}{7}\]
- a teraz dla wyrażeń wymiernych o jednakowych mianownikach:
- \[\frac{x^2-3x}{x-4}+\frac{2x-5}{x-4}=\frac{x^2-3x+2x-5}{x-4}= \frac{x^2-x-5}{x-4}\]
Jeżeli wielomiany w mianowniku nie są równe to należy sprowadzić wyrażenia wymierne do jednego, wspólnego mianownika:
- \[\frac{x+2}{\color{Blue}{x-1}} + \frac{x+5}{\color{green}{x+3}}=\frac{(x+2)\color{green}{(x+3)}}{{\color{Blue}{(x-1)}}\color{green}{(x+3)}} + \frac{{\color{Blue} {(x-1)}}(x+5)}{{\color{Blue}{(x-1)}}\color{green}{(x+3)}}=\]
- \[=\frac{(x+2)(x+3)+(x-1)(x+5)}{(x-1)(x+3)}=\]
- \[=\frac{x^2+2x+3x+6+x^2-x+5x-5}{(x-1)(x+3)}=\frac{2x^2+9x+1}{(x-1)(x+3)}\]