Z Skrypty dla studentów Ekonofizyki UPGOW

Spis treści 1 Niektóre własności całek podwójnych 2 Zamiana całki podwójnej na całkę iterowaną 3 Zadania

Rozważaliśmy już całkowanie funkcji jednej zmiennej rzeczywistej, a także funkcję dwóch zmiennych jako przykład funkcji wielu zmiennych. Oczywiście można także całkować funkcje wielu zmiennych. Treścią tego wykładu będzie całka podwójna, czyli całka funkcji dwóch zmiennych \(f(x,y)\), przy czym ograniczymy się do całki iterowanej. Z wielu zastosowań całki podwójnej można wymienić obliczanie objętości, obliczanie pola powierzchni w przestrzeni trójwymiarowej czy znajdowanie wartości momentu bezwładności.

Nasze rozważania o całce podwójnej funkcji dwóch zmiennych \(f(x,y)\) będą bardzo skrótowe i uproszczone. Zrezygnujemy bowiem z definiowania obszaru regularnego oraz definiowania całki podwójnej jako granicy pewnego ciągu. Dla naszych zastosowań w zupełności wystarczy stwierdzenie, że funkcja dwóch zmiennych \(f(x,y)\) ciągła i ograniczona w zbiorze \(A\) (zbiór \(A\) znajduje się na płaszczyźnie \(XY\) i będziemy go nazywać obszarem) należącym do dziedziny funkcji jest w tym zbiorze całkowalna, a jej całkę podwójną zapisujemy jako

\[\begin{aligned} \int\!\!\!\int_{A} f(x,y) dx dy \nonumber\end{aligned}\]

Dla funkcji \(f(x,y) \geq 0\) w obszarze \(A\) całka podwójna ma następującą interpretację geometryczną: jest to objętość obszaru ograniczonego powierzchnią \(f(x,y)\) (przypominamy, że wykresem funkcji dwóch zmiennych jest powierzchnia \(z = f(x,y)\)), obszarem \(A\) oraz powierzchnią łącząca te dwa obszary, która powstaje w nastepujący sposob: z każdego punktu brzegu obszaru \(A\) prowadzimy prostą prostopadłą do płaszczyzny \(XY\) aż do przecięcia z wykresem funkcji, czyli powierzchnią \(z=f(x,y)\). Na Rys. 1 zaznaczono objętość \(V\)

\[\begin{aligned} V = \int\!\!\!\int_{A} f(x,y) dx dy \nonumber\end{aligned}\]

dla obszaru \(A\), który jest prostokątem.

Niektóre własności całek podwójnych

Przy obliczaniu całek podwójnych będziemy korzystać z następujących dwóch własności:

• stałą \(c\) można wyłączyć przed całkę podwójną

  \[\begin{aligned} \int\!\!\!\int_{A} cf(x,y) dx dy = c\int\!\!\!\int_{A} f(x,y) dx dy \nonumber\end{aligned}\]

• jeżeli obszary \(A_1\) i \(A_2\) nie mają punktów wewnętrznych wspólnych (mogą mieć wspólny brzeg) to

  \[\begin{aligned} \int\!\!\!\int_{A_1 + A_2} f(x,y) dx dy = \int\!\!\!\int_{A_1} f(x,y) dx dy + \int\!\!\!\int_{A_2} f(x,y) dx dy \nonumber\end{aligned}\]

Zamiana całki podwójnej na całkę iterowaną

Wygodnym sposobem obliczenia całki podwójnej jest jej zamiana na całkę iterowaną. Aby taką zamianę przeprowadzić musimy zdefiniować pojęcie obszaru normalnego względem osi układu współrzędnych \(OX\) i \(OY\). I tak obszar normalny względem osi \(OX\) to zbiór punktów \((x,y)\) spełniających warunek

\[\left\{ \begin{array}{c} a \leq x \leq b\\ g(x) \leq y \leq h(x), \end{array} \right.\]

a obszar normalny względem osi \(OY\) to następujący zbiór punktów

\[\left\{ \begin{array}{c} p(y) \leq x \leq r(y)\\ c \leq y \leq d. \end{array} \right.\]

Oba zdefiniowane obszary normalne są przedstawione na rysunkach Rys 2A, Rys 2B. Jak widać są to obszary ograniczone prostymi prostopadłymi do jednej osi układu współrzędnych, oraz dwoma funkcjami zmiennej \(x\) bądź \(y\). Dla obszaru normalnego można zamienić całkę podwójną na całkę iterowaną. I tak, jeżeli obszar \(A\), po którym całkujemy funkcję dwóch zmiennych \(f(x,y)\) jest normalny względem osi \(OX\) to wtedy:

\[\begin{aligned} \int\!\!\!\int_{A} f(x,y) dx dy = \int_{a}^{b} (\int_{y = g(x)}^{y = h(x)}f(x,y)dy)dx, \nonumber\end{aligned}\]

a całkę po prawej stronie nazywana jest całką iterowną. Widzimy, że po wykonaniu całkowania po zmiennej \(y\) w granicach od \(g(x)\) do \(h(x)\) pozostanie do obliczenia całka pojedyncza po zmiennej \(x\) w granicach od \(a\) do \(b\). Zatem zamiana całki podwójnej na całkę iterowaną prowadzi do obliczenia kolejno dwóch całek pojedynczych. I oczywiście podobnie możemy postąpić w przypadku gdy obszar całkowania jest normalny względem osi \(OY\):

\[\begin{aligned} \int\!\!\!\int_{A} f(x,y) dx dy = \int_{c}^{d} (\int_{x = p(y)}^{x = r(y)}f(x,y)dx)dy. \nonumber\end{aligned}\]

A jeżeli obszar całkowania \(A\) jest normalny zarówno względem \(OX\) jak i \(OY\) to:

\[\begin{aligned} \int\!\!\!\int_{A} f(x,y) dx dy = \int_{c}^{d} (\int_{a}^{b}f(x,y)dx)dy = \int_{a}^{b} (\int_{c}^{d}f(x,y)dy)dx. \nonumber\end{aligned}\]

Jeżeli obszar całkowania \(A\) nie jest obszarem normalnym względem osi układu współrzędnych to można próbować podzielić go na obszary normalne - całka po obszarze \(A\) będzie wtedy sumą całek po obszarach normalnych. Pokażemy to obliczając całkę z funkcji \(f(x,y) = x + y\) po obszarze \(A\) trójkąta o wierzchołkach w punktach \((0,0), (2,2), (0,4)\) (Rys. 3).

Jak widać jest to obszar normalny względem osi \(OY\) ograniczony prostymi \(y = 0\) oraz \(y = 2\), przy czym dla \(y = 2\) obszar normalny jest ograniczony punktem o współrzędnych \((2,2)\). Otrzymujemy do obliczenia nastepującą całkę iterowaną:

\[\begin{aligned} \int\!\!\!\int_{A} (x+y) dx dy = \int_{0}^{2} (\int_{x=y}^{x=-y+4}(x+y)dx)dy, \nonumber\end{aligned}\]

a po wykonaniu całkowania po zmiennej \(x\) w granicach od \(x=y\) do \(x=-y+4\), które są dane przez równania prostych zawierających dwa boki trójkąta, pozostaje do wyliczenia całka po zmiennej \(y\)

\[\begin{aligned} \int\!\!\!\int_{A} (x+y) dx dy = \int_{0}^{2}(8-2y^2)dy = 10\frac{2}{3}. \nonumber\end{aligned}\]

Obszar całkowania nie jest normalny względem osi \(OX\), ale dzieląc go prostą \(x=2\) otrzymamy dwa obszary normalne, a całka będzie sumą dwóch całek

\[\begin{aligned} \int\!\!\!\int_{A} (x+y) dx dy = \int_{0}^{2} (\int_{y=0}^{y=x}(x+y)dy)dx + \int_{2}^{4} (\int_{y=0}^{y=-x+4}(x+y)dy)dx, \nonumber\end{aligned}\]

a wykonaniu całkowania po zmiennej \(y\) otrzymamy

\[\begin{aligned} \int\!\!\!\int_{A} (x+y) dx dy = \int_{0}^{2} \frac{3}{2} x^2dx + \int_{2}^{4} (- \frac{1}{2}x^2 + 8)dx= 10\frac{2}{3}. \nonumber\end{aligned}\]

Oczywiście wynik nie zależy od sposobu podziału obszaru całkowania \(A\) na obszary normalne.

Zadania

Obliczyć całki podwójne:

1. \(\int_{1}^{3} (\int_{0}^{5} xy dy) dx \)

2. \(\int_{3}^{7} (\int_{0}^{2} dy) dx \)

3. \(\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} sinx cosy dy) dx \)

   Obliczyć całki podwójne zamieniając je na całki iterowane:

4. \(\int\!\!\!\int_{A} (x^2+y^2) dx dy\), obszar \(A\) jest trójkątem o wierzchołkach \((0,0), (2,1), (1,3)\)

5. \(\int\!\!\!\int_{A} (2x-y) dx dy\), obszar \(A\) jest równoległobokiem o wierzchołkach \((0,0), (3,1), (3,2), (0,1)\)

6. \(\int\!\!\!\int_{A} (xy-2x^2) dx dy\), obszar \(A\) jest ograniczony prostymi \(y=0, x=2\) oraz parabolą \(y=x^2\)