Z Skrypty dla studentów Ekonofizyki UPGOW
Podamy poniżej intuicyjne określenia zbiorów liczbowych, które są w zupełności wystarczające dla celów niniejszego skryptu. Nie są to w żadnym przypadku ścisłe definicje, które są bardzo rozbudowane.
Spis treści |
Liczby naturalne
Zbiór liczb naturalnych \(\mathbb{N}\) tworzą liczby \(1,2,3,\ldots\)
\[\mathbb{N} = \{1,2,3,\ldots \}\]
Nie ma największej liczby naturalnej, czyli innymi słowy dla każdej liczby naturalnej można znaleźć liczbę większą. Matematycy czasami przyjmują, że najmniejszą liczbą naturalną jest 1, a czasami że 0. My przyjmiemy, że 1 jest najmniejszą liczbą naturalną.
Liczby całkowite
Zbiór liczb całkowitych \(\mathbb{C}\) tworzą liczby \(\ldots,-3,-2,-1,0,1,2,3,\ldots\)
\[\mathbb{C} = \{\ldots,-3,-2,-1,0,1,2,3,\ldots \}\]
Nie ma najmniejszej ani największej liczby całkowitej, a zbiór liczb naturalnych zawiera się w zbiorze liczb całkowitych:
\[\mathbb{N} \subset \mathbb{C}\]
Liczby wymierne
Zbiór liczb wymiernych \(\mathbb{W}\) tworzą liczby postaci \(\frac{m}{n}\), gdzie \(m,n \in \mathbb{C} \) oraz \( n \neq 0\)
\[\mathbb{W} = \{\frac{m}{n}: m,n \in \mathbb{C} \wedge n \neq 0\}\]
Nie ma najmniejszej ani największej liczby wymiernej, a zbiór liczb całkowitych zawiera się w zbiorze liczb wymiernych:
\[\mathbb{C} \subset \mathbb{W}\]
Liczby niewymierne
Zbiór liczb niewymiernych \(\mathbb{IW}\) tworzą liczby, których nie można przedstawić w postaci \(\frac{m}{n}\), gdzie \(m,n \in \mathbb{C}\), oraz \(n \neq 0\), czyli nie można przedstawić w postaci ułamka. Przykładami liczb niewymiernych są \(\sqrt{2}\), \(\pi\), \(\sqrt{13}\), liczba \(e\) i nieskończenie wiele innych. Z podanego określenia zbioru \(\mathbb{IW}\) wynika, że zbiory liczb wymiernych i niewymiernych są rozłączne, czyli nie posiadają elementów wspólnych:
\[\mathbb{W} \cap \mathbb{IW} = \emptyset\]
Liczby rzeczywiste
Zbiór liczb rzeczywistych \(\mathbb{R}\) tworzy suma zbioru liczb wymiernych \(\mathbb{W}\) i zbioru liczb niewymiernych \(\mathbb{IW}\) (zbiory \(\mathbb{W}\) i \(\mathbb{IW}\) są rozłączne):
\[\mathbb{R} = \mathbb{W} \cup \mathbb{IW}\]
Oczywiście nie ma najmniejszej ani największej liczby rzeczywistej, a pomiędzy dwie dowolne liczby rzeczywiste można włożyć nieskończenie wiele liczb rzeczywistych.
Liczby zespolone
Zbiór liczb zespolonych \(\mathbb{Z}\) tworzą liczby postaci \( z = a + i\,b \), gdzie \( a,b \in \mathbb{R} \), a \( i \) jest tzw. jednostką urojoną, czyli rozwiązaniem równania \( i^{2} = -1 \).
\[\mathbb{Z} = \{ z = a + i\,b:\ a,b \in \mathbb{R},\ i^{2} = -1\} \]
Liczby zespolone przedstawia się zwykle na tzw. płaszczyźnie zespolonej, która jest podzielona na cztery części dwoma osiami: rzeczywistą i urojoną. Własności i działania na liczbach zespolonych zostaną omówione w dalszej części kursu.
W świetle powyższych określeń, oczywista jest następująca zależność zawierania się zbiorów liczbowych:
\[\mathbb{N} \subset \mathbb{C} \subset \mathbb{W} \subset \mathbb{R} \subset \mathbb{Z}\]
W literaturze można spotkać inne oznaczenia zbiorów liczbowych\(: \mathbb{Z}\) - zbiór liczb całkowitych, \( \mathbb{Q}\) - zbiór liczb wymiernych, \(\mathbb{C}\) - zbiór liczb zespolonych.