Z Skrypty dla studentów Ekonofizyki UPGOW

Przez wzory skróconego mnożenia rozumiemy wzory pozwalające na rozwijanie wyrażeń postaci \((a \pm b)^n\), a także \(a^n \pm b^n\), gdzie \(a, b \in \mathbb{R}\), a \(n \in \mathbb{N}\). Wzory te są użyteczne w przekształceniach wyrażeń, w których występują wielomiany. Przypomnimy teraz wzory skróconego mnożenia dla \(n = 2\) oraz \(n = 3\).

Kwadrat sumy i różnicy obliczamy następująco:
\[(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2,\]

\[(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2.\]

Sześciany sumy i różnicy:
\[(a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3,\]

\[(a - b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3.\]

Wzory na różnicę kwadratów oraz sumę i różnicę sześcianów:
\[a^2 - b^2 = (a + b)(a - b),\]

\[a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2),\]

\[a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2).\]

Wzory te są używane w rozwiązywaniu równań i nierówności wielomianowych. Zauważmy, że suma kwadratów \(a^2 + b^2\) nie rozkłada się na iloczyn wielomianów rzeczywistych. Jedyną możliwością jest rozłożenie na iloczyn wielomianów zespolonych, co wymaga znajomości liczb zespolonych, które będą wprowadzone w dalszej części wykładu.

Ponadto istnieje wzór na kwadrat sumy trzech składników, który wynika ze wzoru na kwadrat sumy.

\[(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc.\]

Przykłady

\((x + 2)^2=x^2+2x+4\)

\((3x - 2)^2=9x^2-6x+4\)

\((2x + y)(2x - y)=4x^2-2xy+y2x-y^2=4x^2-y^2\)

Zadania

1. Obliczyć stosując wzory skróconego mnożenia:
   1. \((x + 5)^3\)
   2. \((2a - 3x)^2\)
   3. \(\sqrt{6-2\sqrt{5}}\cdot\sqrt{6+2\sqrt{5}}\)
   4. \((2\sqrt{3}-\sqrt{5})\cdot(2\sqrt{3}+\sqrt{5})\)
   5. \(-4\cdot(3-x)^2+(3x-2)(3x+2)\)
   6. \(4(3x-4)(2x+5)-(x-y)^2+3y(2-5x\)) dla \(x=2, y=3\)
   7. \((\sqrt{3}+\sqrt{2})(\sqrt{3}-\sqrt{2})-(\sqrt{2}+3)^2\)
   8. \((2a^2-z^3)^3-(a^3-2)(a^3+2)\)
2. Pokazać, że kwadrat sumy trzech składników wynika ze wzoru na kwadrat sumy.