Z Skrypty dla studentów Ekonofizyki UPGOW

Wyrażeniem wymiernym nazywamy wyrażenie algebraiczne zapisane w postaci \(W \over V\) (ilorazu dwóch wielomianów), gdzie \(V\) nie jest wielomianem zerowym.

Spis treści 1 Działania na wyrażeniach wymiernych 1.1 Rozszerzanie 1.2 Skracanie 1.3 Dodawanie i odejmowanie wyrażeń wymiernych 2 Zadania

Działania na wyrażeniach wymiernych

Rozszerzanie

Jeżeli w liczbie wymiernej zapisanej w postaci ułamka zwykłego pomnożymy licznik i mianownik przez tę samą liczbę, wartość liczby wymiernej nie ulegnie zmianie:

\(\frac{2}{5}=\frac{2 \cdot {\color{green}3}}{5 \cdot {\color{green}3}}=\frac{6}{15}\)

Jest to rozszerzanie ułamka. To samo możemy zrobić z wyrażeniem wymiernym - pomnożyć licznik i mianownik przez ten sam wielomian.

\[\frac{x-1}{x+1}=\frac{(x-1)\cdot {\color{green}{(x+1)}}}{(x+1)\cdot {\color{green}{(x+1)}}}=\frac{x^2-1}{x^2+x+x+2}=\frac{x^2-1}{x^2+2x+4}\]

Skracanie

Odwrotnością rozszerzania jest skracanie: jeżeli w liczniku i mianowniku wyrażenia wymiernego występuje ten sam czynnik, możemy przez niego skrócić wyrażenie. Dla ułamków przykładem może być \[\frac{9}{15}=\frac{3 \cdot {\color{green}3}}{5 \cdot {\color{green}3}}=\frac{3}{5}\] a dla wyrażeń \[\frac{(x^2+2){\color{green}{(x^2-5x+3)}}}{(x-1){\color{green}{(x^2-5x+3)}}}=\frac{x^2+2}{x-1}\] \[\frac{(x^3+x-5){\color{green}{(x+2)x^2}}}{{\color{green}{(x+2)}}(x^3-1) {\color{green}{x^2}}}=\frac{x^3+x-5}{x^3-1}\] \[\frac{x^3(x+4)}{x^4}=\frac{{\color{green}{x^3}}(x+4)}{{\color{green}{x^3}} \cdot x}=\frac{x+4}{x}\]

W skracaniu wyrażeń czasami pomaga rozłożenie wielomianów na czynniki \[\frac{x^2-4}{x^2+x-6}=\frac{(x+2)(x-2)}{(x+3)(x-2)}=\frac{x+2}{x+3}\]

Dodawanie i odejmowanie wyrażeń wymiernych

Wynikiem dodawania lub odejmowania wyrażeń wymiernych jest także wyrażenie wymierne. Gdy obydwa wyrażenia wymierne mają równe mianowniki, postępujemy analogicznie jak w przypadku zwykłych ułamków:

• Wielomian w mianowniku pozostawiamy bez zmian
• Dodajemy (odejmujemy) wielomiany w liczniku

Pokażemy to na przykładach, najpierw dla ułamków

\[\frac{1}{8}+\frac{2}{8}=\frac{1+2}{8}=\frac{3}{8}\]

dla wyrażeń wymiernych o jednakowych mianownikach:

\[\frac{x^2-x}{x+2}+\frac{2x-6}{x+2}=\frac{x^2-x+2x-6}{x+2}= \frac{x^2+x-6}{x+2}\]

Jeżeli wielomiany w mianowniku nie są równe to należy sprowadzić wyrażenia wymierne do jednego, wspólnego mianownika:

\[\frac{x+1}{\color{Blue}{x-1}} + \frac{x+2}{\color{green}{x-2}} = \frac{(x+1)\color{green}{(x-2)}}{{\color{Blue}{(x-1)}}\color{green}{(x-2)}} + \frac{{\color{Blue} {(x-1)}}(x+2)}{{\color{Blue}{(x-1)}}\color{green}{(x-2)}}=\]

\[=\frac{(x+1)(x-2)+(x-1)(x+2)}{(x-1)(x-2)}=\]

\[=\frac{x^2-2x+x-2+x^2+2x-x-2}{(x-1)(x-2)} = \frac{2x^2-4}{(x-1)(x-2)}=\frac{2(x^2-2)}{(x-1)(x-2)}\]

Zadania

1. Oblicz:
   1. \(\frac{x-3}{x+2}+\frac{2x-1}{2x+2}\)
   2. \(\frac{(x-1)^2}{4x+1}-\frac{x+1}{x-1}\)
   3. \(\frac{(x-1)}{x+1}+\frac{x+1}{x-1}\)
   4. \(\frac{(x-1)^2}{(x-1)^3}-\frac{3x+3}{3x-3}\)
   5. \(\frac{5x+4}{{x+2}^2}+\frac{2x-3}{x+2}\)