Z Skrypty dla studentów Ekonofizyki UPGOW

Wprowadzimy teraz pojęcie macierzy, wyznacznika i wektora jako macierzy jednokolumnowej. Rozdział ten zakończymy równaniem charakterystycznym macierzy, dyskusją problemu własnego macierzy oraz omówieniem rozwiązania układu n równań liniowych z n niewiadomymi. Macierze znajdują szerokie zastosowanie w naukach przyrodniczych, technicznych, a także w ekonomii. Nasze rozważania ograniczymy do macierzy o elementach rzeczywistych.

Spis treści 1 Macierze 1.1 Dodawanie/odejmowanie macierzy 1.1.1 Przykład 1.2 Mnożenie macierzy przez liczbę \(k\) 1.2.1 Przykład 1.3 Mnożenie macierzy 1.3.1 Przykład 1.4 Własności działań na macierzach 1.5 Transpozycja macierzy 1.5.1 Przykład 2 Wyznacznik macierzy 2.1 Schemat Sarrusa 2.2 Minor i dopełnienie algebraiczne 3 Macierz odwrotna 3.1 Własności macierzy odwrotnej 3.2 Znajdowanie macierzy odwrotnej 3.3 Przykład 4 Równanie charakterystyczne (wiekowe) macierzy 5 Układ n równań liniowych z n niewiadomymi 5.1 Przykład 6 Zadania

Macierze

W wielu przypadkach wygodne jest użycie tablic liczb, w których poszczególne pozycje w tablicy są określone przez dwa wskaźniki (indeksy), które jednoznacznie definiują położenie danego elementu w tablicy. Takie tablice nazywamy macierzami. Poniższa macierz \(\mathbf{A}\) ma \(n\) wierszy i \(m\) kolumn

\[\mathbf{A} = \left( \begin{array}{cccccc} a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1j} & \ldots & a_{1m} \\ a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2j} & \ldots & a_{2m} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ a_{i1} & a_{i2} & \ldots & a_{ij} & \ldots & a_{im} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \ldots & a_{nj} & \ldots & a_{nm} \end{array} \right)\]

Macierz \(\mathbf{A}\) ma \(n \times m\) elementów, a każdy z nich \(a_{ij}\) jest opisywany przez dwa wskaźniki, z których pierwszy podaje numer wiersza, a drugi numer kolumny. Element \(a_{ij}\) leży na przecięciu \(i-tego\) wiersza i \(j-tej\) kolumny. Jeżeli \(n = m\) to wtedy macierz \(\mathbf{A}\) jest macierzą kwadratową (równa liczba wierszy i kolumn), a jeżeli \(n \neq m\) to jest macierzą prostokątną.

Wektor jest szczególnym przypadkiem macierzy jednokolumnowej lub jednowierszowej. Wektor jednokolumnowy \(\mathbf{x}\)

\[\mathbf{x} = \left( \begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \\ \vdots \\ x_{i} \\ \vdots \\ x_{n} \end{array} \right)\]

ma \(n\) składowych.

Ważną macierzą jest macierz jednostkowa \(\mathbf{I}\), która jest macierzą kwadratową zawierającą na głównej przekątnej jedynki, a poza główną przekątną zera.

\[\mathbf{I} = \left( \begin{array}{cccccc} 1 & 0 & \ldots & 0 & \ldots & 0 \\ 0 & 1 & \ldots & 0 & \ldots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & \ldots & 1 & \ldots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & \ldots & 0 & \ldots & 1 \end{array} \right)\]

Macierz jednostkowa może być także zapisana przy pomocy delty Kroneckera \(\delta_{ij}\), która jest definiowana w następujący sposób

\[\delta_{ij}= \begin{cases} 1 & \quad dla \quad \textrm{i}=\textrm{j} \\ 0 & \quad dla \quad \textrm{i} \neq \textrm{j} \end{cases}\]

Niektóre działania algebraiczne mogą być wykonywane na macierzach, a ponadto definiuje się działania na macierzach, które nie mają odpowiedników w działaniach na liczbach. Omówimy je teraz pokrótce.

Dodawanie/odejmowanie macierzy

Aby można wykonać dodawanie/odejmowanie dwóch macierzy \(\mathbf{A}\) i \(\mathbf{B}\) muszą one mieć takie same wymiary \(n \times m\), a elementy macierzy \(\mathbf{C} = \mathbf{A} \pm \mathbf{B}\) są równe

\[\begin{aligned} c_{ij} = a_{ij} \pm b_{ij}, \qquad i = 1,\ldots,n, \quad j = 1,\ldots,m. \nonumber\end{aligned}\]

Przykład

\[ \left( \begin{array}{ccc} 1 & 2& 3 \\ 2 & 3 & 4 \\ 3& 4 & 5 \\ 4 & 5 & 6 \end{array} \right) + \left( \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ 2 & 2 & 2 \\ 3& 3 & 3 \\ 4 & 4 & 4 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{ccc} 1+1 & 2+1 & 3+1 \\ 2+2 & 3+2 & 4+2 \\ 3+3 & 4+3 & 5+3 \\ 4+4 & 5+4 & 6+4 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{ccc} 2 & 3 & 4 \\ 4 & 5 & 6 \\ 6 & 7 & 8 \\ 8 & 9 & 10 \end{array} \right) \]

Mnożenie macierzy przez liczbę \(k\)

Polega na mnożeniu każdego elementu macierzy \(\mathbf{A}\) przez liczbę \(k\). Dlatego element \(ij\) macierzy \(k\mathbf{A}\) jest równy

\[\begin{aligned} k a_{ij}, \qquad i = 1,\ldots,n, \quad j = 1,\ldots,m. \nonumber\end{aligned}\]

Przykład

\[10 \left( \begin{array}{ccc} 1 & 2& 3 \\ 2 & 3 & 4 \\ 3& 4 & 5 \\ 4 & 5 & 6 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{ccc} 10\cdot1 & 10\cdot2 & 10\cdot3 \\ 10\cdot2 & 10\cdot3 & 10\cdot4 \\ 10\cdot3 & 10\cdot4 & 10\cdot5 \\ 10\cdot4 & 10\cdot5 & 10\cdot6 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{ccc} 10 & 20& 30 \\ 20 & 30 & 40 \\ 30& 40 & 50 \\ 40 & 50 & 60 \end{array} \right) \]

Mnożenie macierzy

Ta operacja dla macierzy różni się od mnożenia liczb. Po pierwsze nie każde dwie macierze można pomnożyć. Mnożenie macierzy \(\mathbf{A} \cdot \mathbf{B}\) można wykonać jedynie gdy liczba kolumn macierzy \(\mathbf{A}\) jest równa liczbie wierszy macierzy \(\mathbf{B}\). Po drugie elementy macierzy \(\mathbf{C} = \mathbf{A} \cdot \mathbf{B}\) nie są prostym iloczynem elementów mnożonych macierzy. W wyniku mnożenia macierzy \(\mathbf{A}\) o wymiarach \(n \times m\) przez macierz \(\mathbf{B}\) o wymiarach \(m \times l\) otrzymujemy macierz \(\mathbf{C}\) o wymiarze \(n \times l\), której element \(c_{ik}\) wyraża się przez następującą sumę

\[\begin{aligned} c_{ik} = \sum_{j=1}^{m} a_{ij} b_{jk}. \nonumber\end{aligned}\]

Widzimy, że element \(c_{ik}\) powstaje przez pomnożenie wiersza \(i\) macierzy \(\mathbf{A}\) przez kolumnę \(k\) macierzy \(\mathbf{B}\), przy czym \(\it pomnożenie\) oznacza sumowanie iloczynów odpowiednich elementów.

Przykład

\[ \left( \begin{array}{ccc} \color{green}1 & \color{green}2 & \color{green}3 \\ \color{green}3 & \color{green}2 & \color{green}1 \end{array} \right) \left( \begin{array}{cc} \color{red}1 & \color{red}{-2} \\ \color{red}{-1} & \color{red}2 \\ \color{red}1 & \color{red}{-2} \end{array} \right) = \left( \begin{array}{cc} \color{green}1\cdot\color{red}1+\color{green}2\cdot(\color{red}{-1})+\color{green}3\cdot\color{red}1 & \color{green}1\cdot(\color{red}{-2})+\color{green}2\cdot\color{red}2+\color{green}3\cdot(\color{red}{-2})\\ \color{green}3\cdot\color{red}1+\color{green}2\cdot(\color{red}{-1})+\color{green}1\cdot\color{red}1 & \color{green}3\cdot(\color{red}{-2})+\color{green}2\cdot\color{red}2+\color{green}1\cdot(\color{red}{-2}) \end{array} \right) = \left( \begin{array}{cc} 2 & -4 \\ 2 & -4 \\ \end{array} \right) \]

Własności działań na macierzach

Podamy teraz najważniejsze własności działań na macierzach (\(\mathbf{A}, \mathbf{B}, \mathbf{C}\) oznaczają macierze):

• dodawanie macierzy jest przemienne

\[\begin{aligned} \mathbf{A} + \mathbf{B} = \mathbf{B} + \mathbf{A}, \nonumber\end{aligned}\]

• dodawanie macierzy jest łączne

\[\begin{aligned} (\mathbf{A} + \mathbf{B}) + \mathbf{C} = \mathbf{A} + (\mathbf{B} + \mathbf{C}), \nonumber\end{aligned}\]

• mnożenie macierzy nie jest przemienne,
• mnożenie macierzy jest łączne

\[\begin{aligned} (\mathbf{A} \mathbf{B}) \mathbf{C} = \mathbf{A} (\mathbf{B} \mathbf{C}), \nonumber\end{aligned}\]

• zachodzi rozdzielność mnożenia względem dodawania macierzy

\[\begin{aligned} \mathbf{A} (\mathbf{B} + \mathbf{C}) = \mathbf{A} \mathbf{B} + \mathbf{A} \mathbf{C}, \nonumber\end{aligned}\] \[\begin{aligned} (\mathbf{A} + \mathbf{B}) \mathbf{C} = \mathbf{A} \mathbf{C} + \mathbf{B} \mathbf{C}. \nonumber\end{aligned}\]

Korzystając z tych własności musimy oczywiście pamiętać o tym, że dodawać możemy macierze tych samych wymiarów, a w przypadku mnożenia dwóch macierzy liczba kolumn pierwszej macierzy musi być równa liczbie wierszy drugiej macierzy.

Transpozycja macierzy

Operacja ta, nie mająca odpowiednika w działaniach na liczbach, polega na zamianie miejscami wierszy i kolumn macierzy. Macierz transponowana \(\mathbf{A^T}\) do macierzy \(\mathbf{A}\), która ma \(n\) wierszy i \(m\) kolumn, będzie miała \(n\) kolumn i \(m\) wierszy, przy czym element \(i,j\) macierzy transponowanej jest równy

\[\begin{aligned} a_{ij}^T = a_{ji}. \nonumber\end{aligned}\]

Przykład

\[\textbf{A}= \left( \begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 2 & 1 \end{array} \right) \quad \textbf{A}^T= \left( \begin{array}{cc} 1 & 3 \\ 2 & 2 \\ 3 & 1 \end{array} \right) \]

Wyznacznik macierzy

Wyznacznik macierzy kwadratowej jest to liczba przyporządkowana tej macierzy. Wyznaczniki oblicza się jedynie dla macierzy kwadratowych. Stosuje się następujące oznaczenia wyznacznika macierzy \(\mathbf{A}\):

\[\begin{aligned} \det{\mathbf{A}} = |\mathbf{A}|. \nonumber\end{aligned}\]

Ograniczymy się do obliczania wyznaczników macierzy kwadratowych o liczbie wierszy/kolumn \(n \leq 3\). Dla \(n = 1\) (macierz ma wtedy tylko jeden element \(a_{11}\)) wyznacznik macierzy jest równy wartości elementu \(a_{11}\)

\[\left| \mathbf{A} \right| = a_{11}\]

Dla \(n = 2\) wyznacznik macierzy obliczamy następująco

\[\left| \begin{array}{cc} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \\ \end{array} \right| = a_{11}a_{22} - a_{12}a_{21}\]

a dla \(n = 3\) w taki sposób

\[\left| \begin{array}{ccc} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33}\\ \end{array} \right| = a_{11}a_{22}a_{33} + a_{21}a_{32}a_{13} + a_{31}a_{12}a_{23}- a_{13}a_{22}a_{31} - a_{23}a_{32}a_{11} - a_{33}a_{12}a_{21}\]

W wielu zastosowaniach wykorzystujemy własności wyznaczników, z których najważniejsze to (uwaga: wyznacznik macierzy jest liczbą i dlatego mówiąc o kolumnie/wierszu wyznacznika mamy na myśli, kolumnę/wiersz macierzy, dla której obliczamy wyznacznik):

• wartość wyznacznika nie zmienia się gdy do dowolnego wiersza/kolumny dodamy (bądź odejmiemy) inny wiersz/kolumnę,
• wartość wyznacznika jest równa zero gdy jego dwa wiersze, bądź dwie kolumny są identyczne,
• wartość wyznacznika jest równa zero jeżeli jeden jego wiersz (lub jedna kolumna) zawiera same zera,
• przestawienie dwóch wierszy/kolumn wyznacznika powoduje pomnożenie jego wartości przez -1.

Schemat Sarrusa

Wzór pozwalający na obliczenie wyznacznika macierzy \(3 \times 3\) (przedstawiony powyżej) jest dość trudny do zapamiętania. Istnieje praktyczny sposób obliczania tego wyznacznika nazywany schematem Sarrusa.

Aby obliczyć wyznacznik \[\left| \begin{array}{ccc} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33}\\ \end{array} \right|\]

dopisuje się z jego prawej strony dwie pierwsze kolumny, \[\begin{array}{|ccc|cc} a_{11} & a_{12} & a_{13} &a_{11} &a_{12}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23} &a_{21} &a_{22}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33} &a_{31} &a_{32}\\ \end{array}\]

Następnie wymnażamy wyrazy zaznaczone kolorem (zielonym, niebieskim i czerwonym) i dodajemy do siebie. \[\begin{array}{|ccc|cc} \color{green}{a_{11}} & \color{blue}{a_{12}} & \color{red}{a_{13}} &a_{11} &a_{12}\\ a_{21} & \color{green}{a_{22}} & \color{blue}{a_{23}} &\color{red}{a_{21}} &a_{22}\\ a_{31} & a_{32} & \color{green}{a_{33}} & \color{blue}{a_{31}} &\color{red}{a_{32}}\\ \end{array}\]

po czym odejmujemy sumę iloczynów znaczonych kolorami. \[\begin{array}{|ccc|cc} a_{11} & a_{12} & \color{red}{a_{13}} & \color{blue}{a_{11}} & \color{green}{a_{12}}\\ a_{21} & \color{red}{a_{22}} & \color{blue}{a_{23}} &\color{green}{a_{21}} &a_{22}\\ \color{red}{a_{31}} & \color{blue}{a_{32}} & \color{green}{a_{33}} & a_{31} &a_{32}\\ \end{array}\]

Czyli: \[\left| \begin{array}{ccc} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33}\\ \end{array} \right|= \color{green}{a_{11}a_{22}a_{33}} + \color{red}{a_{12}a_{23}a_{31}} + \color{blue}{a_{13}a_{21}a_{32}} -(\color{red}{a_{13}a_{22}a_{31}} + \color{blue}{a_{11}a_{23}a_{32}} + \color{green}{a_{12}a_{21}a_{33}})\]

Minor i dopełnienie algebraiczne

Wprowadzimy teraz dwa pojęcia: minor \(M_{ij}\), czyli podwyznacznik oraz dopełnienie algebraiczne macierzy \(A_{ij}\). Będą one wykorzystane w znajdowaniu macierzy odwrotnej. Minorem \(M_{ij}\) nazywamy wyznacznik macierzy, która powstaje z macierzy \(\mathbf{A}\) po wykreśleniu \(i-tego\) wiersza i \(j-tej\) kolumny (otrzymamy wtedy macierz o wymiarach \(n-1 \times n-1\)):

\[M_{i,j} = \left| \begin{array}{cccccc} a_{1,1} & \ldots & a_{1,j-1} & a_{1,j+1} & \ldots & a_{1,n} \\ a_{2,1} & \ldots & a_{2,j-1} & a_{2,j+1} & \ldots & a_{2,n} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ a_{i-1,1} & \ldots & a_{i-1,j-1} & a_{i-1,j+1} & \ldots & a_{i-1,n} \\ a_{i+1,1} & \ldots & a_{i+1,j-1} & a_{i+1,j+1} & \ldots & a_{i+1,n} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ a_{n,1} & \ldots & a_{n,j-1} & a_{n,j+1} & \ldots & a_{n,n} \\ \end{array} \right|\]

Natomiast dopełnienie algebraiczne \(A_{ij}\) elementu \(a_{ij}\) to minor \(M_{ij}\) pomnożony przez czynnik \((-1)^{i+j}\), czyli

\[\begin{aligned} A_{ij} = (-1)^{i+j} M_{ij} \nonumber\end{aligned}\]

Podobnie jak minor dopełnienie algebraiczne jest liczbą. Wyznacznik macierzy \(\mathbf{A}\) o wymiarach \(n \times n\) wyraża się przez dopelnienie algebraiczne jej elementów następująco

• \(\begin{aligned} \det{\mathbf{A}} = \sum_{j=1}^{n} a_{ij} A_{ij}. \nonumber\end{aligned}\) (rozwinięcie względem \(i\)-tego wiersza, \(i=1,2,\ldots,n\)).

• \(\begin{aligned} \det{\mathbf{A}} = \sum_{i=1}^{n} a_{ij} A_{ij} \end{aligned}\) (rozwinięcie względem \(j\)-tej kolumny, \(j=1,2,\ldots,n\)),

Ten sposób obliczania wyznacznika macierzy nazywa się rozwinięciem Laplace'a.

Można pokazać, że wartość takiego wyrażenia (czyli wartość wyznacznika) nie zależy od tego względem którego wiersza/kolumny dokonamy rozwinięcia. Jak widać wyznacznik otrzymujemy sumując iloczyny elementów macierzy \(a_{ij}\) i dopełnień algebraicznych \(A_{ij}\). Jako przykład podamy obliczanie wyznacznika macierzy \(4 \times 4\) przez rozwinięcie względem pierwszego wiersza

\[\left| \begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{24}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{34}\\ a_{41} & a_{42} & a_{43} & a_{44},\\ \end{array} \right| = a_{11}A_{11} + a_{12}A_{12} + a_{13}A_{13} + a_{14}A_{14}\]

gdzie np. dopełnienie algebraiczne \(A_{11}\), którego minor \(M_{11}\) powstał z wykreślenia pierwszego wiersza i pierwszej kolumny macierzy \(\mathbf{A}\)

\[A_{11} = \left| \begin{array}{ccc} a_{22} & a_{23} & a_{24}\\ a_{32} & a_{33} & a_{34}\\ a_{42} & a_{43} & a_{44}\\ \end{array} \right| (-1)^{1+1}\]

Macierz odwrotna

Jeżeli dana jest macierz kwadratowa \(\mathbf{A}\) to mówimy, że jest ona odwracalna jeżeli istnieje macierz \(\mathbf{B}\) spełniająca warunek

\(\mathbf{AB} = \mathbf{BA} = \mathbf{I}\)

gdzie \(\mathbf{I}\) jest macierzą jednostkową. Macierz \(\mathbf{B}\) nazywa się macierzą odwrotną do macierzy \(\mathbf{A}\) i oznacza się ją wówczas przez \(\mathbf{A^{-1}}\), natomiast jeżeli taka macierz \(\mathbf{B}\) nie istnieje, to macierz \(\mathbf{A}\) nazywamy nieodwracalną.

Własności macierzy odwrotnej

Podamy teraz kilka własności macierzy odwrotnej:

• jeżeli macierz \(\mathbf{A}\) ma macierz odwrotną to tylko jedną,
• macierz odwrotna do macierzy odwracalnej jest odwracalna i zachodzi

\[\left(\mathbf{A}^{-1}\right)^{-1} = \mathbf{A}\].

• iloczyn macierzy odwracalnych jest macierzą odwracalną i zachodzi,

\(\left(\mathbf{AB}\right)^{-1} = \mathbf{B}^{-1}\mathbf{A}^{-1}\)

przy czym należy zwrócić uwagę na kolejność macierzy, gdyż mnożenie macierzy nie jest przemienne.

Znajdowanie macierzy odwrotnej

Macierz odwrotną można wyznaczyć stosując jedną z kilku metod. My skorzystamy z metody dopełnień algebraicznych. Musimy jednak wcześniej wprowadzić pojęcie macierzy dołączonej \(\mathbf{A}^D\) do macierzy \(\mathbf{A}\). Macierz dołączona do macierzy \(\mathbf{A}\) jest transponowaną macierzą dopełnień algebraicznych

\[\mathbf{A^D} = \left( \begin{array}{cccc} A_{11} & A_{21} & \ldots & A_{n1} \\ A_{12} & A_{22} & \ldots & A_{n2} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ A_{1n} & A_{2n} & \ldots & A_{nn} \end{array} \right)\]

Jeżeli wyznacznik macierzy \(\mathbf{A}\) jest różny od zera (wtedy macierz \(\mathbf{A}\) nazywamy nieosobliwą) to wtedy istnieje dokładnie jedna macierz odwrotna do macierzy \(\mathbf{A}\), której postać wyznaczamy w oparciu o metodę dopełnień algebraicznych w następujący sposób:

\(\mathbf{A^{-1}} = {\mathbf{A^D} \over \det{\mathbf{A}}},\)

czyli każdy element macierzy dołączonej \(\mathbf{A^D}\) dzielimy przez wartość wyznacznika macierzy \(\mathbf{A}\) otrzymując element macierzy odwrotnej.

Przykład

Wyznacz macierz odwrotną do macierzy \[\mathbf{A} = \left( \begin{array}{ccc} 2 &5 &7 \\ 6 &3 &4 \\ 5 &−2 &−3 \end{array} \right)\]

Obliczamy najpierw wyznacznik macierzy A

\[\det{\mathbf{A}} = \left| \begin{array}{ccc} 2 &5 &7\\ 6 &3 &4 \\ 5 &−2 &−3 \end{array} \right| =−18 + 100 − 84 − 105 + 16 + 90 = −1 \]

czyli \(\det{\mathbf{A}} \ne 0\) a więc macierz \(\mathbf{A}\) jest nieosobliwa, co oznacza, że macierz odwrotna \(\mathbf{A}^{-1}\) istnieje.

Teraz obliczamy dopełnienia algebraiczne wszystkich, czyli dziewięciu, wyrazów macierzy \(\mathbf{A}\)

\(A_{11} = (−1)^{1+1}\left| \begin{array}{cc} 3 &4 \\ −2 &−3 \end{array} \right| =−9 + 8 = −1 \),

\(A_{12} = (−1)^{1+2}\left| \begin{array}{cc} 6 & 4 \\ 5 & −3 \end{array} \right| = −(−18 − 20) = 38 \),

\(A_{13} = (−1)^{1+3}\left| \begin{array}{cc} 6 &3 \\ 5 &−2 \end{array} \right| = −12 − 15 = −27 \)

\(A_{21} = (−1)^{2+1}\left| \begin{array}{cc} 5 &7\\ −2 &−3 \end{array} \right| −(−15 + 14) = 1 \),

\(A_{22} = (−1)^{2+2}\left| \begin{array}{cc} 2 &7\\ 5 &−3 \end{array} \right| = −6 − 35 = −41 \),

\(A_{23} = (−1)^{2+3}\left| \begin{array}{cc} 2 &5\\ 5 &−2 \end{array} \right| −(−4 − 25) = 29 \)

\(A_{31} = (−1)^{3+1}\left| \begin{array}{cc} 5 &7\\ 3 &4 \end{array} \right| =20 − 21 = −1 \),

\(A_{32} = (−1)^{3+2}\left| \begin{array}{cc} 2 &7\\ 6 &4 \end{array} \right| =−(8 − 42) = 34 \),

\(A_{33} = (−1)^{3+3}\left| \begin{array}{cc} 2 &5 \\ 6 &3 \end{array} \right| = 6 − 30 = −24 \)

Z dziewięciu dopełnień algebraicznych tworzymy macierz \(\mathbf{D}\)

\[\mathbf{D} = \left( \begin{array}{ccc} −1 &38 &−27 \\ 1 &−41 &29 \\ −1 &34 &−24 \end{array} \right)\]

a następnie macierz dołączoną \(\mathbf{A^D}\) będącą transpozycją macierzy \(\mathbf{D}\)

\[\mathbf{A^D} = \left( \begin{array}{ccc} −1 &1 &−1 \\ 38 &−41 &34 \\ −27 &29 &−24 \end{array} \right)\]

i w końcu otrzymujemy macierz odwrotną

\[\mathbf{A^{-1}} = {\mathbf{A^D} \over \det \mathbf{A}} = (-1) \left( \begin{array}{ccc} −1 &1 &−1 \\ 38 &−41 &34 \\ −27 &29 &−24 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{ccc} 1 &−1 &1 \\ −38 &41 &-34 \\ 27 &−29 &24 \end{array} \right) \]

Otrzymany wynik najlepiej sprawdzić przez mnożenie macierzy \(\mathbf{A}\mathbf{A}^{-1}\). W wyniku powinniśmy otrzymać macierz jednostkową \(\mathbf{I}\). Zachęcamy czytelnika do wykonania tych rachunków.

Równanie charakterystyczne (wiekowe) macierzy

Jeżeli od elementów diagonalnych macierzy kwadratowej \(\mathbf{A}\)

\[\mathbf{A} = \left( \begin{array}{cccccc} a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1j} & \ldots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2j} & \ldots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ a_{i1} & a_{i2} & \ldots & a_{ij} & \ldots & a_{in} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \ldots & a_{nj} & \ldots & a_{nn} \end{array} \right)\]

odejmiemy tę samą zmienną \(\lambda\) to otrzymamy następującą macierz kwadratową

\[\left( \begin{array}{cccccc} a_{11} - \lambda & a_{12} & \ldots & a_{1j} & \ldots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} - \lambda & \ldots & a_{2j} & \ldots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ a_{i1} & a_{i2} & \ldots & a_{ii} - \lambda & \ldots & a_{in} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \ldots & a_{nj} & \ldots & a_{nn} - \lambda \end{array} \right)\]

Przyrównując do zera wyznacznik tej macierzy

\[\left| \begin{array}{cccccc} a_{11} - \lambda & a_{12} & \ldots & a_{1j} & \ldots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} - \lambda & \ldots & a_{2j} & \ldots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ a_{i1} & a_{i2} & \ldots & a_{ii} - \lambda & \ldots & a_{in} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \ldots & a_{nj} & \ldots & a_{nn} - \lambda \end{array} \right| = 0\]

otrzymamy równanie stopnia \(n\) ze względu na \(\lambda\). Jest to równanie charakterystyczne, albo wiekowe macierzy \(\mathbf{A}\). Równanie to można rozwiązać, a jego pierwiastki czyli wartości \(\lambda_i, i=1,2,\ldots,n\) nazywamy wartościami własnymi macierzy \(\mathbf{A}\). Mając wartości własne \(\lambda_i\) można znaleźć odpowiadające im wektory własne \(|\psi_i\rangle\) spełniające następujące równania

\[\begin{aligned} \mathbf{A}|\psi_i \rangle = \lambda_i |\psi_i \rangle, \nonumber\end{aligned}\] czyli \[\begin{aligned} (\mathbf{A} - \lambda_i\mathbf{I})|\psi_i\rangle = 0, \nonumber\end{aligned}\]

gdzie \(\mathbf{I}\) jest macierzą jednostkową o wymiarze takim jak wymiar macierzy \(\mathbf{A}\). Wektory własne zapisaliśmy jako \(|\psi_i\rangle\), ponieważ takie oznaczenie będzie używane w mechanice kwantowej. Znajdowanie wartości własnych i wektorów własnych jest centralnym zagadnieniem mechaniki kwantowej, która z powodzeniem opisuje mikroświat - atomy, cząsteczki, ...

Układ n równań liniowych z n niewiadomymi

Jest to układ równań, w którym \(n\) niewiadomych tworzących wektor niewiadomych \(\mathbf{x}\)

\[\mathbf{x} = \left( \begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \\ \vdots \\ x_{i} \\ \vdots \\ x_{n} \end{array} \right)\]

pomnożony przez macierz \(\mathbf{A}\) znanych współczynników

\[\mathbf{A} = \left( \begin{array}{cccccc} a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1j} & \ldots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2j} & \ldots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ a_{i1} & a_{i2} & \ldots & a_{ij} & \ldots & a_{in} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \ldots & a_{nj} & \ldots & a_{nn} \end{array} \right)\]

jest równy znanemu wektorowi \(\mathbf{b}\) tzw. wyrazów wolnych

\[\mathbf{b} = \left( \begin{array}{c} b_{1} \\ b_{2} \\ \vdots \\ b_{i} \\ \vdots \\ b_{n} \end{array} \right)\]

W zapisie skróconym otrzymujemy:

\[\begin{aligned} \mathbf{A} \mathbf{x} = \mathbf{b} \nonumber\end{aligned}\]

a w zapisie nieskróconym:

\[\left( \begin{array}{cccccc} a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1j} & \ldots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2j} & \ldots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ a_{i1} & a_{i2} & \ldots & a_{ij} & \ldots & a_{in} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \ldots & a_{nj} & \ldots & a_{nn} \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \\ \vdots \\ x_{i} \\ \vdots \\ x_{n} \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} b_{1} \\ b_{2} \\ \vdots \\ b_{i} \\ \vdots \\ b_{n} \end{array} \right)\]

Wykonanie powyższego mnożenia macierzy (pamiętamy, że wektor jest szczególnym przypadkiem macierzy) i przyrównanie do siebie wektorów prowadzi do następującego układu n równań liniowych z n niewiadomymi

\[\begin{array}{ccccccccc} a_{11}x_1 & + & a_{12}x_2 & + & \ldots & + & a_{1n}x_n & = & b_1 \\ a_{21}x_1 & + & a_{22}x_2 & + & \ldots & + & a_{2n}x_n & = & b_2 \\ \vdots & + & \vdots & + & \vdots & + & \vdots & = & \vdots \\ a_{n1}x_1 & + & a_{n2}x_2 & + & \ldots & + & a_{nn}x_n & = & b_n \\ \end{array}\]

Jeden ze sposobów rozwiązania powyższego układu n równań liniowych polega na obliczeniu wyznacznika głównego \(W\), który zawiera współczynniki układu równań

\[W = \left| \begin{array}{cccccc} a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1j} & \ldots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2j} & \ldots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ a_{i1} & a_{i2} & \ldots & a_{ij} & \ldots & a_{in} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \ldots & a_{nj} & \ldots & a_{nn} \end{array} \right|\]

a także \(n\) wyznaczników \(W_i, i = 1,2,...,n\), w których wektor wyrazów wolnych \(\mathbf{b}\) zastępuje \(i-tą\) kolumnę w wyznaczniku \(W\)

\[W_i = \left| \begin{array}{cccccccc} a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1,i-1} & b_1 & a_{1,i+1} & \ldots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2,i-1} & b_2 & a_{2,i+2} & \ldots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots\\ a_{n1} & a_{n2} & \ldots & a_{n,i-1} & b_n & a_{n,i+1} & \ldots & a_{nn} \end{array} \right|\]

W zależności od wartości wyznacznika głównego \(W\) i wartości wyznaczników \(W_i\) rozważany układ równań liniowych posiada bądź nie posiada rozwiązania. Możliwe są trzy przypadki:

1. \(W \neq 0\). Wtedy układ równań liniowych jest układem oznaczonym i posiada dokładnie jedno rozwiązanie dane przez następujące wzory Cramera:

   \(\begin{aligned} x_1 = \frac{W_1}{W}, \quad x_2 = \frac{W_2}{W}, \quad \ldots, \quad x_n = \frac{W_n}{W}. \nonumber\end{aligned}\)

2. \(W = 0\) i przynajmniej jeden z wyznaczników \(W_i \neq 0\). Wtedy układ równań jest układem sprzecznym i nie posiada rozwiązania.

3. \(W = W_1 = W_2 = \ldots = W_n = 0\). Wtedy przynajmniej jedno z równań wynika z pozostałych, czyli jest mniej równań niż niewiadomych, a układ równań liniowych jest układem nieoznaczonym lub sprzecznym.

Przykład

Rozwiążmy równanie podane jako przykład w rozdziale Równania i układy równań liniowych \[\begin{cases} 2x + 3y = 2 \\ 4x - y = 0 \end{cases}\]

W zapisie macierzowym rówanenie to przyjmie postać: \[\left( \begin{array}{cc} 2 & 3 \\ 4 & -1 \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} x\\ y \end{array} \right)= \left( \begin{array}{c} 2 \\ 0 \end{array} \right)\]

Wyznacznik główny dla tego układu równań wynosi: \[W=\left| \begin{array}{cc} 2 & 3 \\ 4 & -1 \end{array} \right| =-14\]

Natomiast wartości wyznaczników \(W_i\) będą odpowiednio równe: \[W_1=\left| \begin{array}{cc} \color{red}2 & 3 \\ \color{red}0 & -1 \end{array} \right| =-2,\] \[W_2=\left| \begin{array}{cc} 2 & \color{red}2 \\ 4 & \color{red}0 \end{array} \right| =-8.\]

Wyznacznik główny \(W \neq 0\).

Wtedy układ równań liniowych jest układem oznaczonym i posiada dokładnie jedno rozwiązanie dane przez następujące wzory Cramera: \[x = \frac{W_1}{W}, \quad y = \frac{W_2}{W}.\]

Czyli

\[x = \frac{W_1}{W}=\frac{-2}{-14}=\frac{1}{7},\] \[y = \frac{W_2}{W}=\frac{-8}{-14}=\frac{4}{7}.\]

Zadania

1. Wykonać mnożenie macierzy:
   1. \(\begin{pmatrix}1&2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}\)
   2. \(\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&2\end{pmatrix}\)
   3. \(\begin{pmatrix}\frac{1}{8}&9\end{pmatrix}\begin{pmatrix}16\\2\end{pmatrix}\)
   4. \(\begin{pmatrix}a&b\end{pmatrix}\begin{pmatrix}d\\e\end{pmatrix}\)
   5. \(\begin{pmatrix}6 + 6b&3 - b\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}\)
   6. \(\begin{pmatrix}0&abc\end{pmatrix}\begin{pmatrix}a\\0\end{pmatrix}\)
2. Wyznaczyć "wymiar" macierzy C:
   1. \(\mathbf{C} = \mathbf{A}_{n\times p}\,\mathbf{B}_{p\times m}\)
   2. \(\mathbf{C} = \begin{pmatrix} 10^{10}&20\\ 5000&0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1&2&3&4\\ 2&5&6&6 \end{pmatrix} \)
3. Obliczyć, pamiętając że (AB)C = A(BC)
   1. \( \begin{pmatrix} 1&1\\ 0&1\\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1&1\\ 0&1\\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1&1\\ 0&1\\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1\\ 1\\ \end{pmatrix}\)
   2. \( \begin{pmatrix} 3&1\\ 2&8\\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1&1\\ 0&2\\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1&1\\ 0&1\\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1\\ 1\\ \end{pmatrix}\)
4. Obliczyć
   1. \( \mathbf{C} = \begin{pmatrix} 1&2\\ 4&5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1&0\\ 0&1\\ \end{pmatrix}\)
   2. \( \mathbf{D} = \begin{pmatrix} 1&0\\ 0&1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1&2\\ 4&5\\ \end{pmatrix} \)
5. Obliczyć wyznaczniki macierzy:
   1. \(\mathbf{A} = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 5 & -7 \end{pmatrix}\)
   2. \(\mathbf{B} = \begin{pmatrix} 2 & 4 & 0 \\ -1 & 0 & 3 \\ 2 & 4 & -2 \end{pmatrix}\)
   3. \(\mathbf{C} = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 & 2 \\ -1 & 0 & 0 & 3 \\ 2 & 1 & -1 & 2 \\ 0 & -3 & 2 & 1 \end{pmatrix}\)
6. Oblicz macierz odwrotną do macierzy:
   1. \(\mathbf{A} = \begin{pmatrix} 8 & 4 \\ 12 & 8 \end{pmatrix}\)
   2. \(\mathbf{B} = \begin{pmatrix} 3 & 3 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}\)
7. Rozwiązać układy równań liniowych:
   1. \(\begin{cases} \begin{array}{cccccc} 3x_1 & + & 2x_2 & - & x_3 & = & 0 \\ -x_1 & - & x_2 & + & 2x_3 & = & 2 \\ x_1 & + & 4x_2 & + & x_3 & = & 7 \\ \end{array}\end{cases}\)
   2. \(\begin{cases} \begin{array}{cccccccc} x & + & y & + & z & + & w & = & 0 \\ -x & - & 2y & + & z & - & 3w & = & 2 \\ & - & y & - & z & + & 2w & = & -1 \\ -2x & - & y & + & 3z & - & 2w & = & 0 \\ \end{array}\end{cases}\)