Z Skrypty dla studentów Ekonofizyki UPGOW
Wprowadzimy teraz układy wspórzędnych biegunowych, sferycznych i walcowych, a także podamy wzory na transformacje współrzędnych pomiędzy tymi układami współrzędnych. Przy zamianie współrzędnych w całkowaniu funkcji wielu zmiennych trzeba pamiętać o tzw. jakobianie przejścia. Podamy wartości jakobianów przejścia pomiędzy współrzędnymi kartezjańskimi, a sferycznymi i walcowymi. Ta część kursu nie zawiera rozwiązań przykładowych zadań - zostawiamy to na zajęcia z fizyki, na których zamiana współrzędnych zostanie zastosowania do rozwiązywania wielu zagadnień z wykorzystaniem ich symetrii.
Spis treści |
Układ współrzędnych
Położenie punktu w przestrzeni można w jednoznaczny sposób określić przez podanie jego współrzędnych. W dobrze nam znanej przestrzeni trójwymiarowej można wprowadzić kartezjański (czyli prostokątny) układ wspólrzędnych, a położenie punktu będzie jednoznacznie określone przez trzy współrzędne \( x, y \) i \( z \). Nasze rozważania ograniczymy do przestrzeni trójwymiarowej, która ze zrozumiałych względów ma największe zastosowanie w praktyce.
Układ współrzędnych kartezjańskich (prostokątny)
Prostoliniowy układ współrzędnych to układ o parach prostopadłych osi. Nazwa pochodzi od nazwiska francuskiego matematyka i filozofa Kartezjusza. Układem współrzędnych kartezjańskich nazywa się układ współrzędnych, w którym zadane są:
- punkt zwany początkiem układu współrzędnych, w którym wartości wszystkich współrzędnych są równe zeru,
- zestaw n parami prostopadłych osi liczbowych zwanych osiami układu współrzędnych. Dwie pierwsze osie często oznaczane są jako:
- X (zwana osią odciętych),
- Y (zwana osią rzędnych),
Liczba osi układu współrzędnych wyznacza tzw. wymiar przestrzeni.
W układzie współrzędnych kartezjańskich w przestrzeni trójwymiarowej, w której żyjemy, trzy współrzędne oznaczane są następująco:
- X – odcięta, łac. abscissa,
- Y – rzędna, łac. ordinata,
- Z – kota, łac. applicata.
Układ współrzędnych biegunowych
Jest to układ wyznaczony przez punkt \(0\) (zwany biegunem) oraz półprostą \(OR\) (zwaną osią biegunową), której początek znajduje się w punkcie \(0\). Widzimy, że także w tym układzie współrzędnych można przedstawić punkty na płaszczyźnie. Dowolnemu punktowi \(P\) przypisujemy jego współrzędne biegunowe:
- \(r\) promień wodzący punktu \(P\) (odległość \(|OP|\) od bieguna),
- \(\varphi\) wartość kąta skierowanego pomiędzy półprostą \(OR\) a wektorem \(\overrightarrow{OP}\), przy czym zakłada się, że \(0\leqslant \varphi<2\pi\)
Przejście do układu kartezjańskiego
Zauważmy, że pomiędzy współrzędnymi kartezjańskimi \(x, y \), a współrzędnymi biegunowymi \(r, \varphi\) zachodzą następujące związki
\(x=r\cdot\cos\varphi\)
\(y=r\cdot\sin\varphi\)
Policzmy teraz nieskończenie małe przyrosty współrzędnych \(x, y\) będące wynikiem nieskończenie małych przyrostów współrzędnych \(r, \varphi\). Wyrażają się one przez odpowiednie różniczki
\(dx = \frac{\partial x}{\partial r}dr + \frac{\partial x}{\partial \varphi}d \varphi, dy = \frac{\partial y}{\partial r}dr + \frac{\partial y}{\partial \varphi}d \varphi. \)
Po obliczeniu pochodnych cząstkowych wynik możemy zapisać w postaci równania macierzowego
\(\left[\begin{array}{cc} dx \\ dy \\ \end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc} \cos\varphi & -r\sin\varphi\\ \sin\varphi & r\cos\varphi\\ \end{array}\right] \left[\begin{array}{cc} dr \\ d \varphi \\ \end{array}\right] \)
Transformacja współrzędnych jest jednoznaczna wtedy gdy wyznacznik macierzy transforamcji (zwany jakobianem \(J\)), która przeprowadza jedne współrzędne w drugie jest różny od zera. Otrzymujemy
\(J =\left|\begin{array}{ccc} \frac{\partial x}{\partial r} & \frac{\partial x}{\partial \varphi} \\ \frac{\partial y}{\partial r} & \frac{\partial y}{\partial \varphi} \\ \end{array}\right| = \left|\begin{array}{ccc} \cos\varphi & -r\sin\varphi\\ \sin\varphi & r\cos\varphi\\ \end{array}\right| = r(\cos^2\varphi + \sin^2 \varphi) = r \)
co oznacza, że transformacja jest jednoznaczna wszędzie za wyjątkiem początku układu współrzędnych.
Przejście z układu kartezjańskiego
Transformacja odwrotna z układu kartezjańskiego do biegunowego jest zadana przez
\(r = \sqrt{x^2 + y^2}\).
Jeśli \(r\neq 0\), to współrzędna \(\varphi\) punktu jest dana przez
\( \cos\varphi=\tfrac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}, \text{ } \sin\varphi=\tfrac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}, \text{ }0\leqslant \varphi<2\pi\)
Układ współrzędnych sferycznych
Dowolnemu punktowi \(P\) w przestrzeni trójwymiarowej możemy przypisać współrzędne sferyczne:
- promień wodzący \(r\geqslant 0\) czyli odległość punktu \(P\) od początku układu \(O\),
- długość azymutalna \(0\leqslant\phi<2\pi\) czyli miarę kąta między rzutem prostokątnym wektora \(\overrightarrow{OP}\) na płaszczyznę \(OXY\), a dodatnią półosią \(OX\).
- odległość zenitalna \(0\leqslant\theta\leqslant\pi\) czyli miarę kąta między wektorem \(\overrightarrow{OP}\) a dodatnią półosią \(OZ\).
Wszystkie współrzędne sferyczne punktu \(O\) są równe \(0\).
Przejście do układu kartezjańskiego
Transformację współrzędnych z układu sferycznego na współrzędne kartezjańskie \(x \text{, } y\text{, } z\) określają wzory
\(x=x(r,\theta,\phi)=r\, \sin\theta \, \cos\phi,\)
\(y=y(r,\theta,\phi)=r\, \sin\theta \, \sin\phi,\)
\(z=z(r,\theta,\phi)=r\, \cos\theta,\)
a jakobian przejścia wynosi
\( J =\left|\begin{array}{ccc} \frac{\partial x}{\partial r} & \frac{\partial x}{\partial \theta} & \frac{\partial x}{\partial \phi} \\ \frac{\partial y}{\partial r} & \frac{\partial y}{\partial \theta} & \frac{\partial y}{\partial \phi} \\ \frac{\partial z}{\partial r} & \frac{\partial z}{\partial \theta} & \frac{\partial z}{\partial \phi} \end{array}\right|= \left|\begin{array}{ccc} \sin\theta\cos\phi & r\cos\theta\cos\phi & -r\sin\theta\sin\phi\\ \sin\theta\sin\phi & r\cos\theta\sin\phi & r\sin\theta\cos\phi\\ \cos\theta& -r\sin\theta & 0 \end{array}\right|=r^2\sin\theta\ \)
Przejście z układu kartezjańskiego
Transformacja odwrotna, czyli transformacja współrzędnych z układu kartezjańskiego do układu sferycznego jest dana przez następujące wzory
\(r=\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}\),
\(\theta=\mathrm{\operatorname{arcctg}} \frac{z}{\sqrt{x^2 + y^2}}=\arccos {\frac{z}{r}}\),
Jeśli \(r\neq 0\), to współrzędna \(\varphi\) punktu jest dana przez
\( \cos\varphi=\tfrac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}, \text{ } \sin\varphi=\tfrac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}, \text{ }0\leqslant \varphi<2\pi\)
Układ współrzędnych walcowych
Każdemu punktowi \(P\) w przestrzeni trójwymiarowej można przyporządkować trzy współrzędne walcowe \((\rho,\phi,z)\), gdzie poszczególne składowe są definiowane następująco:
- \(\rho\,\) — odległość od osi \(OZ\) rzutu punktu \(P\) na płaszczyznę \(OXY\),
- \(\phi\,\) — kąt pomiędzy osią dodatnią \(OX\), a odcinkiem łączącym rzut punktu \(P\) na płaszczyznę \(OXY\) z początkiem układu współrzędnych, przy czym zakłada się, że \(0\leqslant \varphi<2\pi\),
- \(z\,\) — pokrywa się ze współrzędną kartezjańską \(z\)
Przejście do układu kartezjańskiego
Transformację współrzędnych z układu walcowego na współrzędne kartezjańskie \(x \text{, } y\text{, } z\) określają wzory
\(x=\rho\cos\phi\,\)
\(y=\rho\sin\phi\,\)
\(z=z\,\)
a jakobian przejścia wynosi
\(J= \begin{vmatrix} {{\partial x}\over{\partial \rho}}&{{\partial x}\over{\partial \phi}}&{{\partial x}\over{\partial z}}\\ {{\partial y}\over{\partial \rho}}&{{\partial y}\over{\partial \phi}}&{{\partial y}\over{\partial z}}\\ {{\partial z}\over{\partial \rho}}&{{\partial z}\over{\partial \phi}}&{{\partial z}\over{\partial z}} \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} \cos\phi&-\rho\sin\phi&0\\ \sin\phi&\rho\cos\phi&0\\ 0&0&1 \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} \cos\phi&-\rho\sin\phi\\ \sin\phi&\rho\cos\phi \end{vmatrix} =\rho\cos^2\phi+\rho\sin^2\phi=\rho(\cos^2\phi+\sin^2\phi)=\rho\;\)
Przejście z układu kartezjańskiego
Transformacja odwrotna, czyli transformacja współrzędnych z układu kartezjańskiego do układu współrzędnych walcowych jest dana przez
\(z=z\)
\(\rho=\sqrt{x^2+y^2}\)
\( \cos\varphi=\tfrac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}, \text{ } \sin\varphi=\tfrac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}, \text{ }0\leqslant \varphi<2\pi\)
Przykład wykorzystania jakobianu
Bardzo często jakobian przejścia między różnymi układami współrzędnych jest wykorzystywany do uproszczenia przeprowadzanych obliczeń. Jako przykład obliczymy objętość bryły ograniczonej powierzchnią wyciętą z płaszczyzny \(XY\) przez dwa okręgi \(x^2+y^2=4\), \(x^2+y^2=9\) oraz funkcję \(f(x,y)=\sqrt{x^2+y^2}\).
Rozwiązanie tego zadania w prostokątnym kartezjańskim układzie współrzędnych byłoby trudne ze względu na określenie granic całkowania. Dużo prościej jest wykonać wszystkie obliczenia w układzie współrzędnych biegunowych. W tym celu musimy wykorzystać jakobian przejścia między układami odniesienia (w tym przypadku pomiędzy kartezjańskim i biegunowym) \[\int\!\!\!\int_{\Omega} f(x,y)dxdy = \int\!\!\!\int_{\Omega} f(x(r,\varphi),y(r,\phi)) J dr d\varphi =\int\!\!\!\int_{\Omega} f(x(r,\varphi),y(r,\varphi)) r dr d\varphi\] gdzie \(\Omega\) jest obszarem całkowania.
Zamiana funkcji \(f(x,y)\) na funkcję \(f(r,\varphi)\): \(f(x,y)=\sqrt{x^2+y^2}=\sqrt{r^2\cos^2\varphi+r^2\sin^2\varphi}=r\)
Obliczamy całkę: \[\int_{0}^{2\pi}d\varphi\int_{2}^{3}r J dr = \int_{0}^{2\pi}d\varphi\int_{2}^{3}r^2 dr=\int_{0}^{2\pi}d\varphi \bigg[\frac{1}{3}r^3\bigg]_{2}^{3}=\] \[=6\frac{1}{3}\int_{0}^{2\pi}d\varphi=6\frac{1}{3} \bigg[\varphi \bigg]_{0}^{2\pi}=\frac{19}{3} \bigg[\varphi \bigg]_{0}^{2\pi}=\frac{38\pi}{3}\]