Z Skrypty dla studentów Ekonofizyki UPGOW
Spis treści |
PROCESY LEVY'EGO
Procesy Levy'ego
Podaliśmy dwa przykłady najbardziej popularnych modeli szumu białego: gaussowskiego i poissonowskiego. Są one pochodną procesów Wienera i Poissona, procesów o przyrostach niezależnych na nieprzekrywających się przedziałach. Oba procesy są szczególnymi przypadkami ogólnej klasy procesów stochastycznych, które nazywają się procesami Levy'ego \(L(t)\).
Definicja procesu Levy'ego \(L(t)\) jest następująca:
(1) Jest to proces rzeczywisty, który prawie wszędzie jest prawostronnie ciągły i posiada wszędzie lewostronne granice
(2) \(L(0)=0\) (proces startuje z zera)
(3) \(L(t)\) ma przyrosty niezależne na nieprzekrywających się przedziałach, to znaczy zmienne losowe \(L(t_4) -L(t_3)\) oraz \(L(t_2) -L(t_1)\) są niezależna dla \(0 \le t_1 \le t_2 \le t_3 \le t_4\)
(4) \(L(t)\) ma stacjonarne przyrosty, to znaczy rozkład prawdopodobieństwa zmiennej losowej \(L(t_2) -L(t_3) \) zależy od różnicy czasów \(t_2 -t_1\) dla \(0 \le t_1 \le t_2\)
(5) \(L(t)\) jest stochastycznie ciągły, to znaczy dla każdego \(t \ge 0\) oraz \(\epsilon > 0\)
\(\lim_{s\to t} P(|L(t) -L(s)|>\epsilon)=0\)
Z własności (3) wynika, że funkcja korelacyjna procesu Levy'ego o wartości średniej zero, \(\langle L(t)\rangle =0\), ma postać
\( \langle L(t) L(s) \rangle = 2D_0 \mbox{min} (t, s) \equiv 2D_0 [t \theta(s-t) + s \theta(t-s)] \)
gdzie \(D_0 > 0\) jest stałą, nazywaną natężeniem lub intensywnością pprocesu Levy'ego.
Procesy Levy'ego są przykładem losowego ruchu którego trjektorie (realizacje) są funkcjami prawostronnie ciągłymi (tak jak proces Poissona) i mogą mieć co najwyżej przeliczalną ilość punktów nieciągłości w losowych chwilach czasu na każdym skończonym przedziale czasu.
Istnieje wspaniała formuła Levy'ego-Chinczyna dla funkcji charakterystycznej procesu Levy'ego
\( C(\omega, t) = \langle \mbox{e}^{i\omega L(t)} \rangle = \mbox{e}^{t \psi(\omega)} \)
gdzie
\( \psi(\omega) = ia_0 \omega -\frac{1}{2} b \omega^2 + \int_{-\infty}^{\infty} \left[\mbox{e}^{i\omega y} - 1 - i\omega y {\mathbb I}_{(-1,1)}(y) \right] \nu (dy), \)
Parametry \(a_0\in R, b \ge 0\). Funkcja
\( {\mathbb I}_A(y)= \{ {{1 \; \; \mbox{if} \; \; y \in A} \atop {0 \; \; \mbox{if} \; \; y \notin A }} \)
nazywa się funkcją charakterystyczną zbioru \(A\) lub indykatorem zbioru \(A\), a wielkość \(\nu = \nu(dy) \) jest tzw. miarą Levy'ego na zbiorze \(R-\{0\}\) o własnościach
\( \nu (R-[-1, 1]) < \infty, \quad \int_{-1}^1 y^2 \nu(dy) < \infty \)
Czytelnik, który nie ma zacięcia matematycznego może myśleć o mierze Levy'ego jako o wyrażeniu
\( \nu = \nu(dy) = \rho(y) dy, \; \; \; \; \rho(y) \ge 0 \)
Nieujemna funkcja \(\rho(y)\) ma wiele cech wspólnych z gęstością rozkładu prawdopodobieństwa.
Jak widać, proces Levy'ego jest w pełni określony przez tryplet \((a_0, b, \nu)\) w którym \(a_0\) opisuje dryf, \(b\) charakteryzuje proces Wienera (ruch Browna) i składowa nieciągła procesu Levy'ego opisana jest miarą Levy'ego \(\nu\). Tryplet \((0, b, 0)\) opisuje proces Wienera. Tryplet \((0, 0, \mu \delta(y-1))\) opisuje proces Poissona o parametrze \(\mu\) i o jednostkowym skoku. Jezeli mamy dowolne losowe skoki (uogólniony proces Poissona) opisane rozkładem prawdopodobieństwa \(\nu(dy)\) to wówczas
\( \psi(\omega) = \mu \int_{-\infty}^{\infty} \left[\mbox{e}^{i\omega y} - 1 \right] \nu (dy) \)
Jeżeli \( \nu(R) = \infty\) wówczas \(L(t)\) opisuje nieciągły proces, który ma nieskończoną ilość małych skoków w dowolnym skończonym przedziale czasu. Taki proces nie opisuje realnych procesów, ale może być przydatną idealizacją.
Z twierdzenia Levy'ego-Ito wynika, że dowolny proces Levy'ego \(L(t)\) można rozłożyć na cztery niezależne procesy
\( L(t)=L_1(t) +L_2(t) + L_3(t) + L_4(t)\; \)
gdzie \(L_1(t)\) opisuje dryf (proces deterministyczny), \(L_2(t)\) jest procesem Wienera, \(L_3(t) \) jest uogólnionym procesem Poissona oraz \(L_4(t)\) opisuje nieciągły proces, który ma nieskończoną ilość małych skoków w dowolnym skończonym przedziale czasu (a pure jump martingale). Wynika to z przedstawienia
\( \psi(\omega) = \psi_1(\omega) +\psi_2(\omega) +\psi_3(\omega) +\psi_4(\omega) \; \)
gdzie
\( \psi_1(\omega) = i a_0 \omega \;\)
\( \psi_2(\omega) = -\frac{1}{2} b \; \omega^2 \)
\( \psi_3(\omega) = \int_{|y| \ge 1} \left[\mbox{e}^{i\omega y} - 1 \right] \nu (dy) \)
\( \psi_4(\omega) = \int_{|y| < 1} \left[\mbox{e}^{i\omega y} - 1 - i\omega y \right] \nu (dy). \)
Liniowa kombinacja nezależnych procesów Levy'ego jet też procesem Levy'ego.
Specjalna klasą procesów Levy'ego jet tzw. \(\alpha\)-proces o indeksie \(\alpha \in (0, 2]\) opisany przez tryplet \((a, 0, \nu)\) z miarą Levy'ego
\( \nu(y) = \left[ c_{1} {\mathbb I}_{(0,\infty)}(y) + c_{2} {\mathbb I}_{(-\infty,0)}(y) \right] |y|^{-\alpha -1}\ dy, \)
gdzie
\(c_1>0, \; c_2>0\).
Funkcja charakterystyczna takiego procesu ma postać
\( \psi(\omega) = \{ [[:Szablon:I a \omega - c]] \)
gdzie parametry
\( \alpha\in(0, 2], \; \; \beta =\beta(c_1, c_2) \in [-1, 1], \; \; c = c(\alpha, c_1, c_2) \in(0, \infty), \; \; a = a(a_0, \alpha, c_1, c_2) \)
Przypadek \(c_1=c_2\) implikuje \(\beta=0\) i proces jest procesem symetrycznym.
Biały szum Levy'ego
Biały szum Levy'ego jest zdefiniowany podobnie jak biały szum poissonowski i biały szum gaussowski:
\( Z(t)=\frac{dL(t)}{dt} \)
Dla procesu Levy'ego o zerowej wartości średniej funkcja korelacyjna ma postać
\( \langle Z(t) Z(s) \rangle = \frac{\partial^2}{\partial t \partial s} \ \langle L(t) L(s) \rangle = 2D_0 \delta (t-s), \)
Przypominam, że zawsze można przedefiniowac proces stochastyczny tak, aby jego wartość średnia była zero:
\(L(t) \to \tilde L(t) = L(t) - \langle L(t)\rangle, \; \; \; \; \; \langle \tilde L(t)\rangle = 0\)
Funkcjonał charakterystyczny symetrycznego \(\alpha\)-stabilnego białego szumu Levy'ego \(Y(t)\) ma postać
\( {\mathbb C}[f] =\langle \mbox{exp}\left[i \int_0^{t} ds\; f(s) Y(s) \right] \rangle = \mbox{exp}\left[- c \int_0^{t} dt\; |f(s)|^{\alpha} \right] \)
dla dowolnej tzw. testowej funkcji \(f(s)\). Jeżeli \(f(s) = \omega\) wówczas funkcjonał charakterystyczny redukuje się do funkcji charakterystycznej dla procesu Levy'ego \(L(t)\). Zkolei, jeżeli wybierzemy \(f(s) = \omega \delta(s-\tau)\) wówczas funkcjonał charakterystyczny redukuje się do funkcji charakterystycznej dla białego szumu Levy'ego \(Y(\tau)\) gdy \(\tau \in (0, t)\).
Uwagi
Jak już wspominaliśmy, proces Levy'ego stanowi szeroką klasę procesów stochastycznych. Procesy Poissona i procesy Wienera są szczególnymi przypadkami tego procesu. Także procesy gamma i procesy Cauchy'ego są procesami Levy'ego. Bogactwo jest tak ogromne, że nie sposób rozpatrywać wszystkich przypadków. Znamy własności trajektorii procesów Poissona i procesu Wienera. Mamy wyobrażenie o ich realizacjach, co zostało przedstawione na kilku rysunkach. Wśród procesów Levy'ego są też takie, których realizacje składają się z długich lotów (długich odcinków). W konsekwencji nie istnieje moment statystyczny drugiego rzędu, nie istnieje wariancja tego procesu. Fluktuacje takiego procesu mogą byc nieskończenie wielkie. Mimo takich "wad" procesy Levy'ego są pomocne do modelowania zjawisk, w których moga następować duże i nagłe zmiany.