Z Skrypty dla studentów Ekonofizyki UPGOW

Spis treści 1 Wektor 1.1 Długość wektora 1.2 Suma i różnica wektorów 1.3 Mnożenie wektora przez liczbę 1.4 Liniowa zależność wektorów 1.5 Iloczyn skalarny wektorów 1.6 Iloczyn wektorowy wektorów 1.7 Niektóre pożyteczne własności iloczynów wektorów 2 Wektor w kartezjańskim prostokątnym układzie współrzędnych 2.1 Składowe wektora w kartezjańskim prostokątnym układzie współrzędnych 2.2 Suma i różnica wektorów 2.3 Mnożenie wektora przez liczbę 2.4 Iloczyn skalarny wektorów 2.5 Iloczyn wektorowy wektorów 3 Przykłady 4 Zadania

Wektor

Wektor można określać na wiele sposobów. Jednym z nich, bardzo przydatnym w fizyce, jest geometryczne określenie wektora. Wyobraźmy sobie linię prostą na której wybrano dwa punkty \(A\) i \(B\). Wektorem będziemy nazywać odcinek skierowany \(AB\), którego początkiem jest punkt \(A\), a końcem punkt \(B\) (Rys. 1). Taki wektor nazywamy wektorem zaczepionym w punkcie \(A\) i oznaczamy jako \(\vec{AB}\).

Zbiór wszystkich prostych równoległych do danej prostej tworzy tzw. kierunek, pojęcie to można zdefiniować również w dowolnym punkcie \(A\), wówczas kierunkiem nazywamy prostą należącą do tego zbioru i przechodzącą przez punkt \(A\).

Zbiór wszystkich wektorów zaczepionych, które można uzyskać poprzez przesunięcie równoległe danego wektora tworzy pewien obiekt, który nazywamy wektorem swobodnym. Każdy z wektorów tego zbioru nazywamy reprezentantem wektora swobodnego. Wektor definiuje pewien kierunek oraz zwrot. Kierunkiem wektora jest zbiór prostych równoległych do wektora, a jego zwrotem nazywamy uporządkowaną parę \((A,B)\) punktów dowolnego reprezentanta. Zauważmy, że dany wektor może mieć dwa zwroty \((A,B)\) i zwrot przeciwny \((B,A)\). Dla wektora swobodnego pojęcie zaczepienia traci sens, gdyż w zbiorze jego reprezentantów są wektory zaczepione we wszystkich punktach przestrzeni.

O wektorze, którego początek obrazu geometrycznego może być dowolnie obrany w przestrzeni mówimy, że jest swobodny. Wektory takie można przesuwać równolegle bez zmiany ich znaczenia (Rys. 2). Natomiast wektor, którego obraz geometryczny ma początek w ścisłe określonym punkcie nazywamy wektorem zaczepionym lub związanym (Rys. 3).

Długość wektora

Długością wektora \(\mathbf a\) nazywamy długość odcinka jego dowolnego reprezentanta, którą oznaczamy jako \(|\textbf{a}|,\) przy czym oznaczenia tego nie należy mylić z wartością bezwzględną. Jest ona zawsze liczbą nieujemną. Wektor, którego długość wynosi jeden nazywamy wektorem jednostkowym.

Suma i różnica wektorów

Opierając się na Rys. 4 możemy powiedzieć, że sumą wektorów \(\textbf{a}\) i \(\textbf{b}\) nazywamy wektor \(\textbf{c}\), który przedstawia przesunięcie wypadkowe przy złożeniu (kolejnym wykonaniu) przesunięć o wektory \(\textbf{a}\) i \(\textbf{b}\) \[\textbf{c}=\textbf{a}+\textbf{b}\]

Dla sumy wektorów spełnione jest prawo przemienności, co także widać na Rys. 4 \[\textbf{a}+\textbf{b}=\textbf{b}+\textbf{a}\]

Aby mówić o różnicy wektorów należy najpierw określić wektor przeciwny. Przez wektor przeciwny do wektora \(\textbf{a}\) rozumiemy wektor, który ma tę samą długość co wektor \(\textbf{a}\), a zwrot przeciwny. Oznaczamy go symbolem \(\textbf{-a}\). Odejmowanie wektora \(\textbf{b}\) od \(\textbf{a}\) rozumiemy jako dodanie wektora przeciwnego \(\textbf{-b}\) do wektora \(\textbf{a}\) (patrz Rys. 4).

Mnożenie wektora przez liczbę

Jeżeli \(\alpha\) jest liczbą dodatnią, a \(\textbf{a}\) jest wektorem to przez \(\alpha \textbf{a}\) rozumiemy wektor, który ma ten sam kierunek i zwrot co wektor \(\textbf{a}\), a jego długość wynosi \(\alpha |\textbf{a}|\).

Jeżeli \(\alpha\) jest liczbą ujemną, a \(\textbf{a}\) jest wektorem to przez \(\alpha \textbf{a}\) rozumiemy wektor, który ma ten sam kierunek lecz zwrot przeciwny do wektora \(\textbf{a}\), a jego długość wynosi \(\alpha |\textbf{a}|\).

Ponadto wektor \(\alpha \textbf{a}\) jest wektorem zerowym gdy \(\alpha = 0\). Przez wektor zerowy rozumiemy wektor, którego początek i koniec pokrywają się.

Liniowa zależność wektorów

Dwa wektory, z których jeden powstaje z drugiego przez pomnożenie przez jakąś liczbę nazywamy liniowo zależnymi. Ponadto z reguły mnożenia wektora przez liczbę wynika, że dwa niezerowe liniowo zależne wektory są równoległe. I odwrotnie, każde dwa niezerowe wektory równoległe są liniowo zależne.

Powyższe określenie liniowej zależności dwóch wektorów można uogólnić na więcej niż dwa wektory. Powiemy, że między \(n\) wektorami \(\textbf{a}_1,\textbf{a}_2\ldots\textbf{a}_n\) istnieje zależność liniowa jeżeli istnieje \(n\) takich liczb \(\alpha_1,\alpha_2\ldots\alpha_n\) z których nie wszystkie są równe zeru, a dla których zachodzi zależność: \[\alpha_1\,\textbf{a}_1+\alpha_2\,\textbf{a}_2+\ldots+\alpha_n\,\textbf{a}_n=\textbf{0}\] Wektory dla których nie zachodzi powyższa zależność nazywamy wektorami liniowo niezależnymi.

Iloczyn skalarny wektorów

Iloczynem skalarnym niezerowych wektorów \(\textbf{a}\) i \(\textbf{b}\) nazywamy liczbę, którą jest iloczyn długości tych wektorów przez cosinus kąta \(\varphi\) zawartego między nimi. Iloczyn skalarny oznaczamy przez \(\mathbf a \cdot \mathbf b\), a więc \[\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=|\textbf{a}||\textbf{b}|\cos{\varphi}\]

Gdy choć jeden z tych wektorów jest zerowy ich iloczyn skalarny jest równy zero. Ponadto należy podkreślić, że iloczyn skalarny wektorów jest liczbą, a nie wektorem.

Iloczyn wektorowy wektorów

Iloczynem wektorowym \(\textbf{a} \times \textbf{b}\) niezerowych i nierównoległych wektorów \(\textbf{a}\) i \(\textbf{b}\) nazywamy wektor \(\textbf{c}\), którego długość wynosi:

\[|\textbf{c}|=|\textbf{a}||\textbf{b}|\sin{\varphi}\]

gdzie kąt \(\varphi\) jest mierzony od wektora \(\textbf{a}\) do wektora \(\textbf{b}\) w taki sposób, że \(0 \leq \varphi \leq \pi\). Wektor \(\textbf{c}\) ma kierunek prostopadły do płaszczyzny wyznaczonej przez wektory \(\mathbf{a}\) i \(\mathbf{b}\) oraz jest tak zorientowany, że wektory \(\textbf{a}, \textbf{b}, \textbf{c}\) tworzą układ prawoskrętny.

Gdy wektory \(\textbf{a}\) i \(\textbf{b}\) są równoległe albo choć jeden z nich jest zerowy, to ich iloczyn wektorowy jest wektorem zerowym.

Pojęcie prawoskrętnego układu jest związane z wzajemnym położeniem trzech osi w kartezjańskim układzie współrzędnych. Otóż osie \(Ox\) i \(Oy\) tworzą pewną płaszczyznę. Trzecia oś \(Oz\) jest prostopadła do płaszczyzny \(Oxy\) i może być wybrana na dwa sposoby (Rys. 5). Wybór ten jednoznacznie definiuje typ układu: lewoskrętny (Rys. 5a) lub prawoskrętny (Rys. 5b).

Niektóre pożyteczne własności iloczynów wektorów

• \(\textbf{a} \cdot \textbf{b}=\textbf{b}\cdot\textbf{a}\) prawo przemienności dla iloczynu skalarnego,
• \(\alpha (\textbf{a}\cdot\textbf{b})=(\alpha \textbf{a})\cdot \textbf{b}= \textbf{a}\cdot (\alpha \textbf{b})\),
• \(\alpha (\textbf{a} \times \textbf{b}) = (\alpha \textbf{a}) \times \textbf{b}=\textbf{a}\times (\alpha \textbf{b})\),
• \(\textbf{a}\cdot(\textbf{b}+\textbf{c}) = \textbf{a}\cdot\textbf{b} + \textbf{a}\cdot\textbf{c}\),
• \( \textbf{a} \times (\textbf{b} + \textbf{c}) = \textbf{a} \times \textbf{b} + \textbf{a} \times \textbf{c}\),
• \(\textbf{a}\cdot\textbf{b} = 0\) jeżeli \(\textbf{a} \bot \textbf{b}\) (warunek prostopadłości wektorów),
• \( \textbf{a}\cdot\textbf{a} = \textbf{a}^{2} = |\textbf{a}|^{2} \),
• \(\textbf{b}\times\textbf{a}=-\textbf{a}\times\textbf{b}\)
• \(\textbf{a}\times\textbf{a}=0\)

Wektor w kartezjańskim prostokątnym układzie współrzędnych

Składowe wektora w kartezjańskim prostokątnym układzie współrzędnych

W kartezjańskim prostokątnym układzie współrzędnych możemy określić trzy wektory nazywane wektorami podstawowymi lub wersorami, które są wektorami jednostkowymi umieszczonymi na dodatnich osiach układu współrzędnych i wychodzą z początku tego układu. Wektory takie będziemy oznaczać \(\mathbf{\widehat{x}}, \mathbf{\widehat{y}}, \mathbf{\widehat{z}}\) (Rys. 6). Jeżeli w układzie współrzędnych wybierzemy punkt \(P\) o współrzędnych \((x,y,z)\) (Rys. 6) to wektor \(\vec{OP}\) jest równy sumie trzech wektorów \(\vec{OA},\vec{AB},\vec{BP}\), gdzie \[ \vec{OA}=a_{x}\mathbf{\widehat{x}}\] \[ \vec{AB}=a_{y}\mathbf{\widehat{y}}\] \[ \vec{BP}=a_{z}\mathbf{\widehat{z}}\]

Podobnie, każdy wektor \(\textbf{a}\) w kartezjańskiej przestrzeni trójwymiarowej można wyrazić przez wektory podstawowe \(\mathbf{\widehat{x}}, \mathbf{\widehat{y}}, \mathbf{\widehat{z}}\)

\[\textbf{a}=a_{x}\mathbf{\widehat{x}}+a_{y}\mathbf{\widehat{y}}+a_{z}\mathbf{\widehat{z}},\]

gdzie liczby \(a_{x},a_{y},a_{z}\) są współrzędnymi lub składowymi wektora w układzie współrzędnych (Rys. 6).

Współrzędne te są miarami rzutów wektora na osie współrzędnych \(Ox, Oy, Oz\), przy czym przesunięcie równoległe wektora nie zmienia wartości jego współrzędnych (Rys. 7).

Długość wektora \(\mathbf a\) o składowych \(a_x, a_y, a_z\) może być obliczona z następującego wzoru

\[|\mathbf a| = \sqrt{a_x^2 + a_y^2 + a_z^2}.\]

Suma i różnica wektorów

Sumą wektorów \(\textbf{a}=a_{x}\mathbf{\widehat{x}}+a_{y}\mathbf{\widehat{y}}+a_{z}\mathbf{\widehat{z}}\) i \(\textbf{b}=b_{x}\mathbf{\widehat{x}}+b_{y}\mathbf{\widehat{y}}+b_{z}\mathbf{\widehat{z}}\) jest wektor \(\textbf{c}\) dany wzorem

\[\textbf{c}=c_{x}\mathbf{\widehat{x}}+c_{y}\mathbf{\widehat{y}}+c_{z}\mathbf{\widehat{z}}=(a_{x}+b_{x})\mathbf{\widehat{x}}+(a_{y}+b_{y})\mathbf{\widehat{y}}+(a_{z}+b_{z})\mathbf{\widehat{z}}\]

Różnicą wektorów \(\textbf{a}=a_{x}\mathbf{\widehat{x}}+a_{y}\mathbf{\widehat{y}}+a_{z}\mathbf{\widehat{z}}\) i \(\textbf{b}=b_{x}\mathbf{\widehat{x}}+b_{y}\mathbf{\widehat{y}}+b_{z}\mathbf{\widehat{z}}\) jest wektor \(\textbf{d}\) dany wzorem

\[\textbf{d}=d_{x}\mathbf{\widehat{x}}+d_{y}\mathbf{\widehat{y}}+d_{z}\mathbf{\widehat{z}}=(a_{x}-b_{x})\mathbf{\widehat{x}}+(a_{y}-b_{y})\mathbf{\widehat{y}}+(a_{z}-b_{z})\mathbf{\widehat{z}}\]

Mnożenie wektora przez liczbę

Polega na pomnożeniu każdej składowej wektora przez tę liczbę. Iloczyn wektora \(\textbf{a}=a_{x}\mathbf{\widehat{x}}+a_{y}\mathbf{\widehat{y}}+a_{z}\mathbf{\widehat{z}}\) przez liczbę \(\alpha\) wynosi

\[\alpha \textbf{a} = \alpha (a_{x}\mathbf{\widehat{x}}+a_{y}\mathbf{\widehat{y}}+a_{z}\mathbf{\widehat{z}}) = \alpha a_{x}\mathbf{\widehat{x}}+ \alpha a_{y}\mathbf{\widehat{y}}+ \alpha a_{z}\mathbf{\widehat{z}}\]

Iloczyn skalarny wektorów

W postaci algebraicznej iloczyn skalarny wektorów \(\textbf{a}\) i \(\textbf{b}\) jest sumą iloczynów składowych każdego z wektorów:

\[\mathbf a \cdot \mathbf b = a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z\]

Opierając się na iloczynie skalarnym możemy przedstawić długość wektora jako równą pierwiastkowi kwadratowemu z iloczynu skalarnego wektora przez siebie

\[|\mathbf a| = \sqrt{\mathbf a \cdot \mathbf a}\]

Iloczyn wektorowy wektorów

W postaci algebraicznej iloczyn wektorowy wektorów \(\textbf{a}\) i \(\textbf{b}\) jest określany jako:

\[\textbf{a} \times \textbf{b} = (a_y b_z - a_z b_y)\mathbf{\widehat{x}} + (a_z b_x - a_x b_z)\mathbf{\widehat{y}} + (a_x b_y - a_y b_x)\mathbf{\widehat{z}}= \left| \begin{array}{ccc} \mathbf{\widehat{x}} & \mathbf{\widehat{y}} & \mathbf{\widehat{z}}\\ a_{x} & a_{y} & a_{z} \\ b_{x} & b_{y} & b_{z} \\ \end{array} \right|\]

gdzie wyznacznik jest wyliczony przez rozwinięcie względem pierwszego wiersza.

Graficzna prezentacja iloczynu wektorowego znajduje się na Rys. 8.

Przykłady

Mamy dane dwa wektory

\(\textbf{a}=3\mathbf{\widehat{x}}+4\mathbf{\widehat{y}}\)

\(\textbf{b}=2\mathbf{\widehat{x}}-\mathbf{\widehat{y}}\)

Można zauważyć, że składowa w kierunku osi \(\textbf{Z}\) obu wektorów jest równa zero.

• Długości wektorów \(\textbf{a}\) i \(\textbf{b}\) wynoszą

\(|\mathbf a| = \sqrt{3^2 + 4^2}=\sqrt{25}=5\)

\(|\mathbf b| = \sqrt{2^2 + (-1)^2}=\sqrt{5}\)

• Suma tych wektorów wynosi (patrz Rys. 9)

\(\textbf{a}+\textbf{b}=(3+2)\mathbf{\widehat{x}}+(4+(-1))\mathbf{\widehat{y}}=5\mathbf{\widehat{x}}+3\mathbf{\widehat{y}}\)

• ich różnica (patrz Rys. 9)

\(\textbf{a}-\textbf{b}=(3-2)\mathbf{\widehat{x}}+(4-(-1))\mathbf{\widehat{y}}=\mathbf{\widehat{x}}+5\mathbf{\widehat{y}}\)

• iloczyn skalarny

\(\mathbf a \cdot \mathbf b = 3\cdot 2 + 4 \cdot (-1)=2\)

• a iloczyn wektorowy (patrz Rys. 10)

\(\textbf{a} \times \textbf{b} = (4 \cdot 0 - 0 \cdot (-1))\mathbf{\widehat{x}} + (0 \cdot 2 - 3 \cdot 0)\mathbf{\widehat{y}} + (3 \cdot (-1) - 4 \cdot 2)\mathbf{\widehat{z}}=-11\mathbf{\widehat{z}}\)

Zadania

1. Czy wektory \(\vec{AB}\) i \(\vec{CD}\) gdzie \( A =(2,-1), B=(2,1), C=(3,-2), D=(-3,-2)\) są przeciwne?
2. Czy wektory \(\vec{AB}\) i \(\vec{CD}\) gdzie \( A =(2,-1), B=(-2,-2), C=(1,-1), D=(1,2)\) są równe?
3. Oblicz długości boków trójkąta o wierzchołkach \(A=(1,-1,2), B=(3,3,8), C=(2,0,1)\).
4. Jeżeli \(A = (2, -1), B = (-1, 3), C = (0, 1)\), wyraź następujące wektory w układzie opartym na wektorach jednostkowych \(\mathbf{\widehat{x}},\mathbf{\widehat{y}}\):
   1. \(\vec{AB}\),
   2. \(\vec{BC}\),
   3. \(\vec{AC}\),
   4. \(\vec{AB}+\vec{BC}\),
   5. \(2\vec{AC}-3\vec{BC}\),
5. Jeżeli \(\textbf{a} = 2\mathbf{\widehat{x}} + \mathbf{\widehat{y}} -2\mathbf{\widehat{z}}\) i \(\textbf{b} = 3\mathbf{\widehat{x}} - 2\mathbf{\widehat{y}} - \mathbf{\widehat{z}} \) znajdź:
   1. \(\textbf{a} + \textbf{b}\),
   2. \(\textbf{a} - \textbf{b}\),
   3. \(3\textbf{a} - 2\textbf{b}\),
   4. \(|\textbf{a}|\),
   5. \(|\textbf{b}|\).
6. Pokaż, że:
   1. \(\mathbf{\widehat{x}} \times \mathbf{\widehat{x}} = \textbf{0} \),
   2. \(\mathbf{\widehat{x}} \times \mathbf{\widehat{y}} = \mathbf{\widehat{z}} \),
   3. \(\mathbf{\widehat{y}} \times \mathbf{\widehat{x}} = -\mathbf{\widehat{z}} \),