Ciągi

Z Skrypty dla studentów Ekonofizyki UPGOW

Teraz będziemy rozważać szczególny przypadek funkcji, której dziedziną są liczby naturalne. Taką funkcję nazywamy ciągiem. Jeżeli każdej liczbie naturalnej \(n\) (liczb naturalnych jest nieskończenie wiele) przyporządkujemy dokładnie jedną liczbę rzeczywistą \(a_n\) to powiemy, że został utworzony nieskończony ciąg liczbowy \((a_n)\). Możemy też powiedzieć, że nieskończony ciąg liczbowy \((a_n)\) ma nieskończoną liczbę wyrazów \(a_n, n=1,2,3,...\). Jeżeli ciąg ma skończoną ilość wyrazów to wtedy taki ciąg nazywamy skończonym. Podamy teraz kilka przykładów ciągów:

\(a_1 = 1, a_2 = 3, a_3 = 5, a_4 = 7, a_5 = 9\), pięciowyrazowy, czyli skończony ciąg liczbowy (jego wyrazy to liczby nieparzyste),
\(b_n = 2n +1, n = 1, 2, ...\), nieskończony ciąg liczbowy, którego wartościami są liczby nieparzyste. \(b_n\) nazywamy ogólnym wyrazem ciągu. Mając \(b_n\) możemy obliczyć wartość dowolnego wyrazu ciągu.
\(c_n = n^2 - 1, 1 \leq n \leq 4\), czterowyrazowy ciąg liczbowy o następujących wyrazach\[c_1 = 0, c_2 = 3, c_3 = 8, c_4 = 15\].

W dalszej części będziemy rozważać pojęcie monotoniczności ciągu i jego granicę, a także przyjrzymy się bliżej dwóm ważnym ciągom, a mianowicie ciągowi arytmetycznemu i geometrycznemu.

Monotoniczność ciągu

Przez monotoniczność rozumiemy to czy dany ciąg jest rosnący, niemalejący, malejący, nierosnący bądź stały. Podamy teraz definicje ciągów o takich własnościach wraz z podaniem przykładów.

Ciąg \((a_n)\) jest rosnący jeżeli \(\bigwedge_{n \in \mathbb{N}} a_{n+1} - a_n > 0\)

Przykładem może być ciąg \(a_n = 10n\) o wyrazach \(10, 20, 30, 40,...\)

Ciąg \((a_n)\) jest niemalejący jeżeli \(\bigwedge_{n \in \mathbb{N}} a_{n+1} - a_n \geq 0\)

Przykładem jest ciąg o wyrazach \(1, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4,...\)

Ciąg \((a_n)\) jest malejący jeżeli \(\bigwedge_{n \in \mathbb{N}} a_{n+1} - a_n < 0\)

Przykładem może być ciąg \(a_n = \frac{1}{n}\) o wyrazach \(1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4},...\)

Ciąg \((a_n)\) jest nierosnący jeżeli \(\bigwedge_{n \in \mathbb{N}} a_{n+1} - a_n \leq 0\)

Przykładem może być ciąg o wyrazach \(50, 50, 45, 45, 40, 40,...\)

Ciąg \((a_n)\) jest stały jeżeli \(\bigwedge_{n \in \mathbb{N}} a_n = c\), gdzie \(c\) jest stałą.

Przykładem może być ciąg \(a_n = 10\) o wyrazach \(10, 10, 10, 10,...\)

Ciąg arytmetyczny

Jeżeli dla ciągu \((a_n)\) \[\bigwedge_{n \in \mathbb{N}} a_{n+1} - a_n = r\] to wtedy ciąg \((a_n)\) nazywamy ciągiem arytmetycznym, czyli różnica \(r\) pomiędzy dwoma kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego jest stała. Ciąg o wyrazie ogólnym

\[\begin{aligned} a_n = 3n +1, n \in \mathbb{N} \nonumber \end{aligned}\]

jest ciągiem arytmetycznym o różnicy \(r = 3\), a jego trzy początkowe wyrazy to \(a_1 = 4, a_2 = 7, a_3 = 10\).

Znając pierwszy wyraz ciągu arytmetycznego \(a_1\) oraz jego różnicę \(r\) potrafimy znaleźć wartość dowolnego wyrazu \(a_n\) z następującej zależności: \[a_n = a_1 + (n - 1)r\]

Dla każdego ciągu arytmetycznego zachodzi następujący związek pomiędzy trzema kolejnymi wyrazami \(a_{n - 1}, a_n, a_{n + 1}\)

\[\begin{aligned} a_n = \frac{a_{n-1} + a_{n+1}}{2}, \nonumber \end{aligned}\]

pokazujący, że wartość dowolnego wyrazu ciągu arytmetycznego jest średnią arytmetyczną wyrazów z nim sąsiadujących.

Monotoniczność ciągu arytmetycznego zależy od różnicy \(r\). I tak

dla \(r > 0\) ciąg arytmetyczny \((a_n)\) jest rosnący,
dla \(r = 0\) jest stały,
dla \(r < 0\) jest malejący.

W wielu przypadkach przydaje się umiejętność obliczenia sumy częściowej, czyli sumy kilku kolejnych wyrazów ciągu. Dla ciągu arytmetycznego \((a_n)\) suma częściowa \(S_n\) \(n\) początkowych wyrazów wyraża się następującym wzorem:

\[\begin{aligned} S_n = a_1 + a_2 + ... + a_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n. \nonumber \end{aligned}\]

Ciąg geometryczny

Jeżeli dla ciągu \((a_n)\) \[ \bigwedge_{n \in \mathbb{N}} \frac{a_{n+1}}{a_n} = q\] to wtedy ciąg \((a_n)\) nazywamy ciągiem geometrycznym, czyli iloraz \(q\) dwóch kolejnych wyrazów ciągu geometrycznego jest stały. Ciąg \[\begin{aligned} a_n = 2^n, n \in \mathbb{N} \nonumber \end{aligned}\] jest ciągiem geometrycznym o ilorazie \(q = 2\), a jego trzy początkowe wyrazy to \(a_1 = 2, a_2 = 4, a_3 = 8\).

Podobnie jak dla ciągu arytmetycznego, znając pierwszy wyraz ciągu geometrycznego \(a_1\) oraz jego iloraz \(q\) potrafimy znaleźć wartość dowolnego wyrazu \(a_n\) z następującej zależności:

\[\begin{aligned} a_n = a_1 \cdot q^{n-1}. \nonumber \end{aligned}\]

Monotoniczność ciągu geometrycznego zależy od znaku wyrazu pierwszego \(a_1\) oraz wartości ilorazu \(q\), przy czym dla \(q < 0\) nie można określić monotoniczności. Powiemy, że

dla \(a_1 > 0 \land q > 1\) ciąg geometryczny \((a_n)\) jest rosnący,
dla \(a_1 > 0 \land q \in (0,1)\) jest malejący,
dla \(a_1 < 0 \land q > 1\) jest malejący,
dla \(a_1 < 0 \land q \in (0,1)\) jest rosnący,
dla \(q=1\) ciąg geometryczny \((a_n)\) jest stały.

Dla ciągu geometrycznego \((a_n)\) suma częściowa \(S_n\) \(n\) początkowych wyrazów wyraża się następującym wzorem (\(q \neq 1\)):

\[\begin{aligned} S_n = a_1 + a_2 + ... + a_n = a_1 \cdot \frac{1 - q^n}{1 - q}, \nonumber \end{aligned}\]

natomiast dla ilorazu \(q = 1\) ciąg geometryczny jest ciągiem stałym i stąd jego suma częściowa to

\[\begin{aligned} S_n = a_1 + a_2 + ... + a_n = n \cdot a_1. \nonumber \end{aligned}\]

Granica ciągu

Bardzo ważnym pojęciem w matematyce jest pojęcie granicy. Rozpoczniemy jego wprowadzenie od ciągów. Istnienie (bądź nieistnienie) granicy ciągu rozpatrujemy jedynie dla ciągów nieskończonych. Powiemy, że nieskończony ciąg liczbowy \((a_n)\) ma granicę \(g\) (\(g\) jest liczbą ponieważ zajmujemy się ciągami liczbowymi) wtedy gdy

\[\begin{aligned} \bigwedge_{\epsilon > 0} \quad \bigvee_{m \in \mathbb{N}} \quad \bigwedge_{n > m} \mid a_n - g \mid < \epsilon, \nonumber \end{aligned}\]

co zapisujemy następująco:

\[ \lim_{n \rightarrow \infty} a_n = g.\]

Jeżeli granica ciągu nieskończonego \((a_n)\) jest skończona to mówimy, że jest to ciąg zbieżny i dąży do granicy \(g\), lub że ma granicę \(g\). Ciąg rozbieżny dąży do \(+\infty\) lub do \(-\infty\). Podsumowując dla każdego nieskończonego ciągu liczbowego \((a_n)\) zachodzi jedna spośród czterech możliwości:

ciąg \((a_n)\) jest zbieżny do (właściwej) granicy \(g \in \mathbb{R}\):

\(\lim_{n \rightarrow \infty} a_n = g.\)

ciąg \((a_n)\) jest rozbieżny do \(+\infty\), czyli zbieżny do granicy niewłaściwej \(+\infty\):

\(\lim_{n \rightarrow \infty} a_n = +\infty.\)

ciąg \((a_n)\) jest rozbieżny do \(-\infty\), czyli zbieżny do granicy niewłaściwej \(-\infty\):

\(\lim_{n \rightarrow \infty} a_n = -\infty.\)

ciąg \((a_n)\) jest niezbieżny.

Pojęcie granicy ciągu dotyczy zachowania się wyrazów ciągu w nieskończoności czyli dla \(n \rightarrow \infty\) i dlatego to co się dzieje (np. ich zmiana czy też zmiana ich kolejności) ze skończoną liczbą wyrazów ciągu nie ma żadnego wpływu zarówno na istnienie granicy ciągu jak i na jej wartość. Przy obliczaniu granic ciągów często wykorzystujemy następujące twierdzenia:

granica sumy dwóch ciągów zbieżnych jest równa sumie granic,
granica różnicy dwóch ciągów zbieżnych jest równa różnicy granic,
granica iloczynu dwóch ciągów zbieżnych jest równa iloczynowi granic,
granica ilorazu dwóch ciągów zbieżnych jest równa ilorazowi granic, przy czym żaden wyraz ciągu znajdującego się w mianowniku nie może być równy 0 oraz jego granica musi być różna od zera.

Wykorzystamy te twierdzenia do obliczenia granicy ciągu o wyrazie ogólnym \[a_n = \frac{2n^3 - n^2 +1}{-n^3 + 5n -7}.\] Jest to przykład ciągu w którym licznik i mianownik są wielomianami ze względu na \(n\). Granicę takiego ciągu obliczamy dzieląc licznik i mianownik przez najwyższą potęgę \(n\) występującą w mianowniku - dla naszego ciągu jest to \(n^3\). Otrzymujemy wtedy

\[\begin{aligned} \lim_{n \rightarrow \infty} a_n = \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{\frac{2n^3}{n^3} - \frac{n^2}{n^3} + \frac{1}{n^3}}{\frac{-n^3}{n^3} + \frac{5n}{n^3} - \frac{7}{n^3}}\nonumber \end{aligned}\]

a po uproszczeniu

\[\begin{aligned} \lim_{n \rightarrow \infty} a_n = \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{2 - \frac{1}{n} + \frac{1}{n^3}}{-1 + \frac{5}{n^2} - \frac{7}{n^3}}.\nonumber \end{aligned}\]

Zauważmy, że granica wyrażeń typu \(\frac{const}{n^m}\), gdzie \(n, m \in \mathbb{N}\), a \(const\) jest stałą niezależną od \(n\), jest równa \(0\) i stąd

\[\begin{aligned} \lim_{n \rightarrow \infty} a_n = \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{2n^3 - n^2 +1}{-n^3 + 5n -7} = -2\nonumber \end{aligned}\]

Znajdziemy teraz granicę ciągu o wyrazie ogólnym \[b_n = \frac{3^n - 8^n}{4^n + 5\cdot 8^n}.\] Z licznika i mianownika wyrazu ogólnego wyciągniemy "przed nawias" \(8^n\) otrzymując

\[\begin{aligned} \lim_{n \rightarrow \infty} b_n = \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{8^n(\frac{3^n}{8^n} - 1)}{8^n(\frac{4^n}{8^n} + 5)} = \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{(\frac{3}{8})^n -1}{(\frac{4}{8})^n + 5} = \frac{-1}{5},\nonumber \end{aligned}\]

gdzie skorzystaliśmy z tego, że \(\lim_{n \rightarrow \infty} q^n = 0\) dla \(\mid q \mid \lt 1\).

Zadania

Znaleźć pięć pierwszych wyrazów ciągu o wyrazie ogólnym \(a_n = \frac{n^3 - n^2 +1}{-n^2 + 2n -1}\)
Określić monotoniczność ciągu \(a_n = n^2 - 3n +2\)
Określić monotoniczność ciągu \(a_n = \frac{2}{n^2 - 1}\)
Dla ciągu o wyrazie ogólnym \(a_n = 3n - 12\) znaleźć ilość wyrazów ujemnych.
Obliczyć sumę liczb naturalnych od \(1\) do \(1000\).
Czy ciąg o wyrazie ogólnym \(a_n = 3n + 4\) jest ciągiem arytmetycznym? A jeśli tak to obliczyć sumę 20-tu początkowych wyrazów tego ciągu.
Czwarty wyraz ciągu arytmetycznego jest równy \(12\), a \(a_{10} = 30\). Podać wzór ogólny tego ciągu arytmetycznego.
Drugi wyraz ciągu geometrycznego wynosi \(6\), a \(a_6 = 216\). Podać wzór ogólny tego ciągu geometrycznego.
Obliczyć sumę następujących wyrazów ciągu geometrycznego\[-2,4,\ldots,-32\]
Obliczyć granicę ciągów
1. \(a_n = \frac{- n^2 +1}{-n^2 + 2n -1}\)
2. \(a_n = \frac{n^3 - n^2 +1}{-n^2 + 2n -1}\)
3. \(a_n = \frac{n + 1}{-n^2 + 2n -1}\)
Dany jest ciąg arytmetyczny \(-7,-4,-1,\ldots\) Ile wynosi pięćdziesiąty wyraz tego ciągu?
Oblicz sumę siedmiu początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego w którym \(a_3=7\), a \(a_{13}-a_9=20\)
Liczby \((4,x,y)\) tworzą ciąg arytmetyczny. Jeżeli druga liczbę zwiększymy o \(1\), a trzecią zwiększymy o \(3\) to otrzymamy ciąg geometryczny. Wyznacz liczby \(x\) i \(y\)
Oblicz sumę dziesięciu początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego \(3, 8, 13, 18, 23, 28, 33, 38, 43, \ldots\)
Oblicz sumę ośmiu początkowych wyrazów ciągu \(1^2, 2^2, 3^2, 4^2, 5^2, \ldots\)
200 drewnianych kłód jest ułożonych w sposób następujący: 20 kłód w dolnym rzędzie 19, w następnym rzędzie, 18 w kolejnym i tak dalej. W ilu rzędach jest rozmieszczonych 200 kłód drewna i ile znajduje się w najwyższym (ostatnim) rzędzie?
Umowa o pracę na budowie określa kary za opóźnienia zakończenia poza określonym terminem w sposób następujący: kara w wysokości 200 zł za jeden dzień opóźnienia, kara w wysokości 250 zł za drugi dzień, kara w wysokości 300 zł za trzeci dzień, itd. Kara za każdy dzień kolejny dzień jest o 50 zł większa niż w dniu poprzednim. Ile kary musi zapłacić wykonawca, jeśli opóźni pracę o 30 dni?
Znajdź ogólny wyraz następujących ciągów arytmetycznych:
1. 2,6,10,14,18,22, ...
2. -5,-3,-1,1,3,...
3. 1,4,7,10,13,16,...
4. -1,10,21,32,43,54,...
5. 3,0,-3,-6,-9,-12,...