Z Skrypty dla studentów Ekonofizyki UPGOW

Analiza Szeregów Czasowych

Definicja szeregu czasowego

Możemy spotkać różne definicje szeregu czasowego.

Szereg czasowy to

• ciąg obserwacji pokazujący kształtowanie się badanego zjawiska w kolejnych okresach czasu (sekundach, dniach, latach, itp.).
• realizacja procesu stochastycznego, którego dziedziną jest czas; to ciąg informacji uporządkowanych w czasie, których pomiary wykonywane są z dokładnym krokiem czasowym.
• ciąg obserwacji x_t zapisywanych w ściśle określonym czasie.

Wśród składników szeregu czasowego możemy wyróżnić:

• trend (tendencję rozwojową),
• wahania sezonowe,
• wahania cykliczne (koniunkturalne),
• wahania przypadkowe.

W jakim celu badamy szeregi czasowe?

Analiza tego typu zagadnień ma generalnie dwa podstawowe cele:

1. odgadnięcie natury danego zjawiska losowego, tj. badanie własności szeregu i znalezienie modelu najlepiej opisującego zjawisko,
2. prognozowanie (predykcja), tj. przewidywanie kolejnych wartości szeregu czasowego na podstawie znalezionego modelu.

Przykłady szeregów czasowych

Przykład 1

Prąd płynący przez opornik.

Jeżeli do opornika charakteryzującego się oporem \(r\) przyłożymy zmienne napięcie

\( U(t) = a \cos (\omega t), \! \)

gdzie \(a\) to amplituda zmiennego napięcia przyłożonego do opornika, a okres zmienności to \(T = 2 \pi / \omega\). Wtedy natężenie prądu elektrycznego płynącego przez opornik można wyrazić wzorem

\( I(t) = \frac{a \cos (\omega t)}{r}. \! \)

Jest to oczywiście ciągła funkcja czasu, jednak, kiedy będziemy rejestrować wartości natężenia \(I(t)\) w kolejnych chwilach czasu (np. co \(0.1 T\), 1 milisekundę czy 1 godzinę), dostaniemy dyskretny szereg czasowy \(I_i\) indeksowany kolejnymi pomiarami \( i = 0, 1, 2, \dots \). Przykładowe szeregi czasowe opisane powyższym wzorem można znaleźć na rysunku 1.

Przykład 2

Orzeł - Reszka

Przykład 3

Populacja Polski

Przykład 4

Liczba wypadków samochodowych

Przykład 5

Giełda 1

Przykład 6

Giełda 2

Przykład 7

Giełda 3