|
|
| Linia 1: |
Linia 1: |
| - | [[Category:KURS MATEMATYKI]]
| + | '''W przygotowaniu''' |
| - | Wykorzystamy teraz pochodną do badania przebiegu funkcji. Zazwyczaj wykres funkcji ułatwia interpretacje zmian wartości funkcji (<math>y</math>) gdy zmienia się argument (<math>x</math>). Ale aby wkreślić wykres funkcji trzeba najpierw znaleźć jej dziedzinę, granice na końcach przedziałów określoności, asymptoty, ekstrema oraz przedziały monotoniczności.<br />
| + | |
| - | | + | |
| - | | + | |
| - | Badanie przebiegu zmienności funkcji będziemy wykonywać wg następującej kolejności:
| + | |
| - | | + | |
| - | * Określenie dziedziny funkcji, ponieważ funkcje rozpatrujemy tylko w przedziałach określoności.
| + | |
| - | * Znalezienie punktów przecięcia wykresu funkcji z osiami układu współrzędnych. Punkty przecięcia z osią <math>OX</math> to miejsca zerowe funkcji <math>y = f(x)</math>, czyli rozwiązanie równania <math>f(x) = 0</math>. Natomiast punkt przecięcia z osią <math>OY</math> to <math>f(x = 0)</math>, oczywiście o ile <math>x = 0</math> należy do dziedziny funkcji.
| + | |
| - | * Zbadanie czy funkcja posiada określoną parzystość. Funkcja parzysta/nieparzysta posiada określoną symetrię wykresu względem osi <math>OY</math> (funkcja parzysta), lub względem początku układu współrzędnych (funkcja nieparzysta) co ułatwia sporządzenie wykresu.
| + | |
| - | * Wyznaczenie granicy funkcji na końcach przedziałów określoności. Ilość granic, które mamy wyliczyć zależy od zbioru, który jest dziedziną funkcji.
| + | |
| - | * Z wyliczeniem granic funkcji na końcach przedziałów wiąże się znalezienie asymptot funkcji. O rodzajach asymptot i sposobach ich znajdowania będzie mowa poniżej.
| + | |
| - | * Wyliczenie pochodnej funkcji i jej wykorzystanie do określenia przedziałów monotoniczności i znalezienia ewentualnych ekstremów funkcji.
| + | |
| - | * Wszystkie znalezione powyżej przedziały i punkty charakterystyczne funkcji warto zebrać w tabelce zmienności funkcji co ułatwia sporządzenie wykresu.
| + | |
| - | * I na koniec sporządzenie wykresu funkcji.
| + | |
| - | | + | |
| - | Czasami potrzebne jest znalezienie przedziałów wklęsłości/wypukłości funkcji (jak pamiętamy wymaga to obliczenia drugiej pochodnej funkcji), ale my ten punkt badania przebiegu zmienności funkcji pominiemy.
| + | |
| - | | + | |
| - | == Asymptota funkcji ==
| + | |
| - | | + | |
| - | Wartości funkcji mogą dążyć do pewnej prostej gdy argumenty funkcji dążą do <math>\pm \infty</math> lub do pewnego <math>x_0</math>. Jeżeli ma to miejsce to funkcja posiada asymptotę lub asymptoty. Wyróżniamy trzy rodzaje asymptot: pionowa (prosta <math>\it pionowa</math> o równaniu <math>x = x_0</math>, pozioma (prosta <math>\it pozioma</math> o równaniu <math>y = c</math>) lub ukośna (prosta o równaniu <math>y = ax + b, a \neq 0</math>). Podamy teraz definicje poszczególnych rodzajów asymptot.
| + | |
| - | | + | |
| - | === Asymptota pionowa ===
| + | |
| - | | + | |
| - | Prosta <math>x = x_0</math> jest asymptotą pionową funkcji <math>f(x)</math> wtedy i tylko wtedy gdy
| + | |
| - | | + | |
| - | #<math>\lim_{x \rightarrow x_{0}^{-}} f(x) = \pm \infty, \quad \text{lub}</math>
| + | |
| - | #<math>\lim_{x \rightarrow x_{0}^{+}} f(x) = \pm \infty, \quad \text{lub}</math>
| + | |
| - | #<math>\text{zachodzi jednocześnie 1. i 2.}</math>
| + | |
| - | | + | |
| - | Z asymptotą pionową mamy zazwyczaj do czynienia w punktach nie należących do dziedziny funkcji. Przykładem może być funkcja wymierna, która może posiadać asymptoty pionowe dla tych wartości <math>x,</math> które zerują mianownik. Zobaczymy to w przykładzie badania przebiegu zmienności funkcji, który jest zamieszczony poniżej.
| + | |
| - | | + | |
| - | === Asymptota pozioma ===
| + | |
| - | | + | |
| - | Prosta <math>y = y_0</math> jest asymptotą poziomą funkcji <math>f(x)</math> wtedy i tylko wtedy gdy
| + | |
| - | | + | |
| - | #<math>\lim_{x \rightarrow +\infty} f(x) = y_0, \quad \text{lub}</math>
| + | |
| - | #<math>\lim_{x \rightarrow -\infty} f(x) = y_0, \quad \text{lub}</math>
| + | |
| - | #<math>\text{zachodzi jednocześnie 1. i 2.}</math>
| + | |
| - | | + | |
| - | Asymptotą pozioma mówi zatem o zachowaniu funkcji <math>y = f(x)</math> w <math>\pm \infty</math>.
| + | |
| - | | + | |
| - | === Asymptota ukośna ===
| + | |
| - | | + | |
| - | Prosta <math>y = ax + b</math> jest asymptotą ukośną funkcji <math>f(x)</math> wtedy i tylko wtedy gdy
| + | |
| - | | + | |
| - | #<math>\lim_{x \rightarrow +\infty} (f(x) - ax - b) = 0, \quad \text{lub}</math>
| + | |
| - | #<math>\lim_{x \rightarrow -\infty} (f(x) - ax - b) = 0, \quad \text{lub}</math>
| + | |
| - | #<math>\text{zachodzi jednocześnie 1. i 2.}</math>
| + | |
| - | | + | |
| - | Asymptotą ukośna mówi także o zachowaniu funkcji <math>y = f(x)</math> w <math>\pm \infty</math>, a asymptota pozioma jest szczególnym przypadkiem asymptoty ukośnej dla <math>a = 0</math>. Warunkiem koniecznym i wystarczającym istnienia asymptoty ukośnej o równaniu <math>y = ax + b</math> jest
| + | |
| - | | + | |
| - | #<math>\lim_{x \rightarrow +\infty} \frac{f(x)}{x} = a, \quad \textrm{i}</math>
| + | |
| - | #<math>\lim_{x \rightarrow +\infty} (f(x) - ax) = b,</math>
| + | |
| - | | + | |
| - | przy czym identyczne dwa warunki otrzymujemy dla <math>x \rightarrow -\infty</math>. Powyższe dwa równania służą oczywiście do znajdowania współczynników <math>a</math> i <math>b</math> prostej, która jest asymptotą ukośną. Pokażemy to znajdując asymptotę ukośną funkcji <math>f(x) = \frac{2x^3 + 3x^2 -1}{x^2 - 2x -3}</math>. I tak
| + | |
| - | | + | |
| - | <math>a = \lim_{x \rightarrow +\infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \rightarrow +\infty} \frac{2x^3 + 3x^2 -1}{x(x^2 - 2x -3)} = 2. \nonumber</math>
| + | |
| - | | + | |
| - | Tę granicę możemy łatwo obliczyć znanym nam sposobem dzieląc licznik i mianownik przez <math>x^3</math>, czyli najwyższą potęgę w mianowniku. Mając <math>a</math> możemy obliczyć <math>b</math>
| + | |
| - | | + | |
| - | <math>b = \lim_{x \rightarrow +\infty} (f(x) - ax) = \lim_{x \rightarrow +\infty} (\frac{2x^3 + 3x^2 -1}{x^2 - 2x -3} - 2x) = 7. \nonumber</math>
| + | |
| - | | + | |
| - | Jeżeli wartości <math>a</math> i <math>b</math> są skończone to wtedy asymptota ukośna istnieje. Natomiast jeśli odpwiednie granice na <math>a</math> i <math>b</math> będą równe <math>\pm \infty</math> to wtedy asymptota ukośna nie istnieje.
| + | |
| - | | + | |
| - | == Przykład: sporządzić wykres funkcji <math>f(x) = \frac{2x^2 + 5x - 3}{x^2 + 4x - 5}</math> ==
| + | |
| - | | + | |
| - | Badanie przebiegu zmienności funkcji, które zakończymy sporządzeniem wykresu, będziemy wykonywać kolejności podanej na początku tego wykładu.
| + | |
| - | <ul>
| + | |
| - | <li>Dziedzina funkcji. Jest to funkcja wymierna i dlatego z dziedziny funkcji musimy usunąć ewentualne zera mianownika. W mianowniku jest funkcja kwadratowa, która ma dwa miejsca zerowe: <math>x_1 = -5 \land x_2 = 1</math> i stąd
| + | |
| - | <math>\mathbf{D} = \mathbf{R} - \{-5, 1\}</math>, którą możemy zapisać jako sumę trzech zbiorów: <math>\mathbf{D} = (-\infty, -5) \cup (-5, 1) \cup (1, +\infty)</math>. Zapis w postaci sumy trzech zbiorów od razu wskazuje na konieczność znalezienia 6-ciu granic na końcach przedziałów określoności.</li>
| + | |
| - | <li><p>Punkty przecięcia funkcji z osiami układu współrzędnych. Miejsca zerowe funkcji <math>f(x)</math>, to miejsca zerowe trójmianu kwadratowego z licznika, czyli rozwiązanie równania <math>2x^2 + 5x - 3 = 0</math>, <math>x_1 = -3</math> i <math>x_2 = \frac{1}{2}</math>. Stąd funkcja przecina oś <math>0X</math> w punktach: <math>(-3,0) \land (\frac{1}{2},0)</math> Natomiast punkt przecięcia z osią <math>0Y</math> <math>(0,\frac{3}{5})</math>.</p></li>
| + | |
| - | <li><p>Nasza funkcja nie jest ani parzysta, ani nie jest nieparzysta, co widać chociażby z dziedziny funkcji, która powinna być, w przypadku funkcji parzystej/nieparzystej symetryczna względem punktu <math>(0,0)</math>.</p></li>
| + | |
| - | <li><p>Wyznaczenie granic funkcji na końcach przedziałów określoności wymaga wyliczenia 6-ciu granic: w <math>\pm \infty</math>, oraz prawo- i lewostronnych w <math>x = -5</math> i w <math>x = 1</math>. I tak:</p>
| + | |
| - | <p><math>\lim_{x \rightarrow \pm \infty} \frac{2x^2 + 5x - 3}{x^2 + 4x - 5} = 2, \quad </math></p>
| + | |
| - | <p>co łatwo sprawdzić dzieląc licznik i mianownik przez <math>x^2</math> (najwyższa potęga w mianowniku). I zgodnie z definicją asymptoty poziomej od razu otrzymujemy jej równanie <math>y = 2</math>.<br />
| + | |
| - | </p>
| + | |
| - | <p>Pozostałe cztery granice będą równe <math>\pm \infty</math>, ponieważ będziemy w granicy <math>x \rightarrow -5</math> oraz <math>x \rightarrow 1</math> dzielić przez zero. Pozostaje jednie stwierdzić czy jest to -<math>\infty</math> bądź +<math>\infty</math>. Dla przykładu obliczymy granicę lewostronną dla <math>x \rightarrow -5^-</math> przedstawiając licznik i mianownik funkcji wymiernej w postaci iloczynowej </p>
| + | |
| - | <p><math>\begin{aligned}
| + | |
| - | \lim_{x \rightarrow -5^-} \frac{2x^2 + 5x - 3}{x^2 + 4x - 5} = \lim_{x \rightarrow -5^-} \frac{(2x - 1) (x + 3)}{(x - 1) (x + 5)} = +\infty, \nonumber \end{aligned}</math></p>
| + | |
| - | <p>gdzie obliczając granicę zauważamy, że wszystkie wyrażenia w nawiasach są ujemne dla <math>x \rightarrow -5^-</math> w tym także <math>(x + 5)</math>, które oczywiście zmierza do zera <math>ujemnego</math>. W podobny sposób można znaleźć pozostałe trzy granice:</p>
| + | |
| - | <p>
| + | |
| - | | + | |
| - | <math>\lim_{x \rightarrow -5^+} \frac{2x^2 + 5x - 3}{x^2 + 4x - 5} = \lim_{x \rightarrow -5^+} \frac{(2x - 1) (x + 3)}{(x - 1) (x + 5)} = -\infty, </math>
| + | |
| - | | + | |
| - | <math>\lim_{x \rightarrow 1^-} \frac{2x^2 + 5x - 3}{x^2 + 4x - 5} = \lim_{x \rightarrow 1^-} \frac{(2x - 1) (x + 3)}{(x - 1) (x + 5)} = -\infty, </math>
| + | |
| - | | + | |
| - | <math>\lim_{x \rightarrow 1^+} \frac{2x^2 + 5x - 3}{x^2 + 4x - 5} = \lim_{x \rightarrow 1^+} \frac{(2x - 1) (x + 3)}{(x - 1) (x + 5)} = +\infty. </math></p></li>
| + | |
| - | | + | |
| - | <li><p>Asymptotę poziomą <math>y = 2</math> już znaleźliśmy, a z wartości granic funkcji dla <math>x \rightarrow -5</math> oraz <math>x \rightarrow 1</math> otrzymujemy, zgodnie z definicją, dwie asymptoty pionowe: <math>x = -5 \land x = 1</math>.</p></li>
| + | |
| - | <li><p>Pochodną badanej funkcji <math>f(x)</math> obliczamy ze wzoru na pochodną ilorazu dwóch funkcji otrzymując:</p>
| + | |
| - | <p><math>\begin{aligned}
| + | |
| - | f'(x) = \frac{3x^2 - 14x - 13}{(x^2 + 4x - 5)^2}. \nonumber \end{aligned}</math></p>
| + | |
| - | <p>Powyższa pochodna <math>f'(x)</math> jest równa zero wtedy gdy licznik jest równy zero. Po rozwiązaniu równania kwadratowego dostajemy następujące dwa punkty <math>x_1 = \frac{14 + 4\sqrt{22}}{6}</math> oraz <math>x_2 = \frac{14 - 4\sqrt{22}}{6}</math>, w których <math>f'(x) = 0</math>. I zgodnie z twierdzeniem o warunku koniecznym istnienia ekstremum funkcji różniczkowalnej są to tzw. punkty <math>podejrzane</math>, czyli innymi słowy jeżeli funkcja <math>f(x) = \frac{2x^2 + 5x - 3}{x^2 + 4x - 5}</math> posiada ekstremum bądź ekstrema to jedynie w <math>x_1</math> i/lub w <math>x_2</math>. Chcąc przesądzić sprawę istnienia ekstremów musimy skorzystać z twierdzenia o warunku wystarczającym istnienia ekstremum funkcji, czyli zbadać ewentualną zmianę znaku pochodnej funkcji w <math>x_1</math> i <math>x_2</math>. Zauważmy, że mianownik <math>f'(x)</math> jest zawsze <math>>0</math> i dlatego znak pochodnej zależy od znaku licznika. Mając miejsca zerowe trójmianu kwadratowego od razu mamy, że w <math>x_1 = \frac{14 + 4\sqrt{22}}{6}</math> pochodna zmienia znak z <math>-</math> na <math>+</math> a funkcja <math>f(x)</math> ma minimum, natomiast w <math>x_2 = \frac{14 - 4\sqrt{22}}{6}</math> pochodna zmienia znak z <math>+</math> na <math>-</math> co oznacza maksimum funkcji <math>f(x)</math>. Przedziały monotoniczności funkcji <math>f(x)</math> wyznaczamy także na podstawie licznika pochodnej (mianownik jest zawsze dodatni), pamiętając o dziedzinie badanej funkcji. I tak</p>
| + | |
| - | <p>
| + | |
| - | | + | |
| - | <math>f'(x) > 0 \quad \textrm{dla} \quad x \in (-\infty, \frac{14 - 4\sqrt{22}}{6}) \cup (\frac{14 + 4\sqrt{22}}{6}, +\infty)\Rightarrow f(x) \quad \textrm{jest rosnąca}, </math>
| + | |
| - | | + | |
| - | <math>f'(x) < 0 \quad \textrm{dla} \quad x \in (\frac{14 - 4\sqrt{22}}{6}, \frac{14 + 4\sqrt{22}}{6}) \Rightarrow f(x) \quad \textrm{jest malejąca}.</math></p>
| + | |
| - | | + | |
| - | <p>W punktach <math>x = -5</math> i <math>x = 1</math> nie należących do dziedziny funkcji są asymptoty pionowe i są to punkty nieciągłości.</p></li>
| + | |
| - | <li><p>Wszystkie znalezione powyżej przedziały i punkty charakterystyczne funkcji są zebrane w poniżej tabelce zmienności funkcji zawierającej trzy wiersze: przedziały w dziedzinie funkcji, oraz odpowiednie charakterystyki pochodnej funkcji i samej funkcji.<br />
| + | |
| - | </p>
| + | |
| - | {| class="wikitable" style="text-align: center;"
| + | |
| - | !colspan="10"|Tabela zmienności funkcji <math>f(x) = \frac{2x^2 + 5x - 3}{x^2 + 4x - 5}</math>
| + | |
| - | |-
| + | |
| - | |<math>x</math>||<math>(-\infty, -5)</math>||<math>-5</math>||<math>(-5,\frac{14 - 4\sqrt{22}}{6})</math>||<math>\frac{14 - 4\sqrt{22}}{6}</math>||<math>(\frac{14 - 4\sqrt{22}}{6},1)</math>||<math>1</math>||<math>(1,\frac{14+4\sqrt{22}}{6})</math>||<math>\frac{14 + 4\sqrt{22}}{6}</math>||<math>(\frac{14 + 4\sqrt{22}}{6},+\infty)</math>
| + | |
| - | |-
| + | |
| - | |<math>f'(x)</math>||<math>+</math>|| ||<math>+</math>||<math>0</math>||<math>-</math>|| ||<math>-</math>||<math>0</math>||<math>+</math>
| + | |
| - | |-
| + | |
| - | |<math>f(x)</math>||<math>\nearrow</math>|| ||<math>\nearrow</math>||<math>MAX</math>||<math>\searrow</math>|| ||<math>\searrow</math>||<math>MIN</math>||<math>\nearrow</math>
| + | |
| - | |}
| + | |
| - | <li><p>Wykres funkcji <math>f(x) = \frac{2x^2 + 5x - 3}{x^2 + 4x - 5}</math></p></li></ul>
| + | |
| - | [[File:bpz1.png|center|300px|Wykres funkcji <math>f(x) = \frac{2x^2 + 5x - 3}{x^2 + 4x - 5}</math>]]
| + | |
| - | | + | |
| - | == Zadania ==
| + | |
| - | #Znajdź lokalne maksima lub/i minima, (jeśli istnieją) następujących funkcji:
| + | |
| - | ##<math> f(x) = \frac{x}{x+1} \,</math>
| + | |
| - | ##<math> f(x) = (x-1)^{2/3} \,</math>
| + | |
| - | ##<math> f(x) = x^2 + \frac{2}{x} \,</math>
| + | |
| - | ##<math> f(s) = \frac{s}{1+s^2} \,</math>
| + | |
| - | ##<math> f(x) = x^2 - 4x + 9 \,</math>
| + | |
| - | ##<math> f(x) = \frac{x^2 + x +1}{x^2 -x +1} \,</math>
| + | |
| - | #Znajdź absolutne maksima lub/i minima, (jeśli istnieją) następujących funkcji:
| + | |
| - | ## <math> f(x) = \frac{1}{3}x^3 - \frac{1}{2}x^2 + 1 </math> w przedziale <math>[0,3]</math>
| + | |
| - | ##<math> f(x) = (\frac{4}{3}x^2 -1)x </math> w przedziale <math>[-\frac{1}{2},2]</math>
| + | |
| - | #Znajdź przedziały, w którym następujące funkcje są rosnące lub malejące
| + | |
| - | ##<math>f(x)=10-6x-2x^2</math>
| + | |
| - | ##<math>f(x)=2x^3-12x^2+18x+15</math>
| + | |
| - | ##<math>f(x)=5+36x+3x^2-2x^3</math>
| + | |
| - | ##<math>f(x)=8+36x+3x^2-2x^3</math>
| + | |
| - | ##<math>f(x)=5x^3-15x^2-120x+3</math>
| + | |
| - | ##<math>f(x)=x^3-6x^2-36x+2</math>
| + | |
| - | #Sporządź tabelę zmienności dla funkcji i narysuj ich wykres
| + | |
| - | ##<math>f(x)=10-6x-2x^2</math>
| + | |
| - | ##<math>f(x)=2x^3-12x^2+18x+15</math>
| + | |
| - | ##<math>f(x)=5+36x+3x^2-2x^3</math>
| + | |
| - | ##<math>f(x)=8+36x+3x^2-2x^3</math>
| + | |
| - | ##<math>f(x)=5x^3-15x^2-120x+3</math>
| + | |
| - | ##<math>f(x)=x^3-6x^2-36x+2</math>
| + | |
| - | #Znaleźć prostokąt o największym polu wpisany w półokrąg w taki sposób, że dwa jego wierzchołki należą do łuku półokręgu, a dwa do jego średnicy.
| + | |
| - | #Mając 100[m] płotu ogrodzić prostokąt o jak największym polu.
| + | |
| - | #Narysuj funkcje o poniższych własnościach:
| + | |
| - | ##<math>f(1)= f(-2) = 0, \; \lim_{x\to \infty} f(x) = \lim_{x\to -\infty} f(x) = 0, \; \mbox{ asymptota w } x=-3, \; f'(x)>0 \mbox{ w przedziale } (0,2), </math> <math> f'(x)<0 \mbox{ w przedziale } (-\infty,-3)\cup(-3,0)\cup(2,\infty),\; f''(x)>0 \mbox{ w przedziale } (-3,1)\cup (3,\infty),\; f''(x)<0 \mbox{ w przedziale } (-\infty,-3)\cup(1,3).</math>
| + | |
| - | ##<math>f \mbox{ dziedzina } [-1,1], \; f(-1) = -1, \; f(-\frac{1}{2}) = -2,\; f'(-\frac{1}{2}) = 0,\; f''(x)>0 \mbox{ w przedziale } (-1,1) </math>
| + | |