Badanie przebiegu zmienności funkcji

Z Skrypty dla studentów Ekonofizyki UPGOW

Wersja SewerynKowalski (dyskusja | edycje) z dnia 14:44, 13 lis 2013

(różn.) ← poprzednia wersja | przejdź do aktualnej wersji (różn.) | następna wersja → (różn.)

Wykorzystamy teraz pochodną do badania przebiegu funkcji. Zazwyczaj wykres funkcji ułatwia interpretacje zmian wartości funkcji ($y$) gdy zmienia się argument ($x$). Ale aby wkreślić wykres funkcji trzeba najpierw znaleźć jej dziedzinę, granice na końcach przedziałów określoności, asymptoty, ekstrema, oraz przedziały monotoniczności.

Badanie przebiegu zmienności funkcji będziemy wykonywać wg następującej kolejności:

Określenie dziedziny funkcji, ponieważ funkcje rozpatrujemy tylko w przedziałach określoności.
Znalezienie punktów przecięcia wykresu funkcji z osiami układu współrzędnych. Punkty przecięcia z osią $OX$ to miejsca zerowe funkcji $y = f(x)$, czyli rozwiązanie równania $f(x) = 0$. Natomiast punkt przecięcia z osią $OY$ to $f(x = 0)$, oczywiście o ile $x = 0$ należy do dziedziny funkcji.
Zbadanie czy funkcja posiada określoną parzystość. Funkcja parzysta/nieparzysta posiada określoną symetrię wykresu względem osi $OY$ (funkcja parzysta), lub względem początku układu współrzędnych (funkcja nieparzysta) co ułatwia sporządzenie wykresu.
Wyznaczenie granicy funkcji na końcach przedziałów określoności. Ilość granic, które mamy wyliczyć zależy od zbioru, który jest dziedziną funkcji.
Z wyliczeniem granic funkcji na końcach przedziałów wiąże się znalezienie asymptot funkcji. O rodzajach asymptot i sposobach ich znajdowania będzie mowa poniżej.
Wyliczenie pochodnej funkcji i jej wykorzystanie do określenia przedziałów monotoniczności i znalezienia ewentualnych ekstremów funkcji.
Wszystkie znalezione powyżej przedziały i punkty charakterystyczne funkcji warto zebrać w tabelce zmienności funkcji co ułatwia sporządzenie wykresu.
I na koniec sporządzenie wykresu funkcji.

Czasami potrzebne jest znalezienie przedziałów wklęsłości/wypukłości funkcji (jak pamiętamy wymaga to obliczenia drugiej pochodnej funkcji), ale my ten punkt badania przebiegu zmienności funkcji pominiemy.

Spis treści

1 Asymptota funkcji
2 Przykład: sporządzić wykres funkcji $f(x) = \frac{2x^2 + 5x - 3}{x^2 + 4x - 5}$
3 Zadania

Asymptota funkcji

Wartości funkcji mogą dążyć do pewnej prostej gdy argumenty funkcji dążą do $\pm \infty$ lub do pewnego $x_0$. Jeżeli ma to miejsce to funkcja posiada asymptotę lub asymptoty. Wyróżniamy trzy rodzaje asymptot: pionowa (prosta $\it pionowa$ o równaniu $x = x_0$, pozioma (prosta $\it pozioma$ o równaniu $y = c$) lub ukośna (prosta o równaniu $y = ax + b, a \neq 0$). Podamy teraz definicje poszczególnych rodzajów asymptot.

Asymptota pionowa

Prosta $x = x_0$ jest asymptotą pionową funkcji $f(x)$ wtedy i tylko wtedy gdy

$\lim_{x \rightarrow x_{0}^{-}} f(x) = \pm \infty, \quad \text{lub}$
$\lim_{x \rightarrow x_{0}^{+}} f(x) = \pm \infty, \quad \text{lub}$
$\text{zachodzi jednocześnie 1. i 2.}$

Z asymptotą pionową mamy zazwyczaj do czynienia w punktach nie należących do dziedziny funkcji. Przykładem może być funkcja wymierna, która może posiadać asymptoty pionowe dla tych wartości $x$, które zerują mianownik. Zobaczymy to w przykładzie badania przebiegu zmienności funkcji, który jest zamieszczony poniżej.

Asymptota pozioma

Prosta $y = y_0$ jest asymptotą poziomą funkcji $f(x)$ wtedy i tylko wtedy gdy

$\lim_{x \rightarrow +\infty} f(x) = y_0, \quad \text{lub}$
$\lim_{x \rightarrow -\infty} f(x) = y_0, \quad \text{lub}$
$\text{zachodzi jednocześnie 1. i 2.}$

Asymptotą pozioma mówi zatem o zachowaniu funkcji $y = f(x)$ w $\pm \infty$.

Asymptota ukośna

Prosta $y = ax + b$ jest asymptotą ukośną funkcji $f(x)$ wtedy i tylko wtedy gdy

$\lim_{x \rightarrow +\infty} (f(x) - ax - b) = 0, \quad \text{lub}$
$\lim_{x \rightarrow -\infty} (f(x) - ax - b) = 0, \quad \text{lub}$
$\text{zachodzi jednocześnie 1. i 2.}$

Asymptotą ukośna mówi także o zachowaniu funkcji $y = f(x)$ w $\pm \infty$, a asymptota pozioma jest szczególnym przypadkiem asymptoty ukośnej dla $a = 0$. Warunkiem koniecznym i wystarczającym istnienia asymptoty ukośnej o równaniu $y = ax + b$ jest

$\lim_{x \rightarrow +\infty} \frac{f(x)}{x} = a, \quad \textrm{i}$
$\lim_{x \rightarrow +\infty} (f(x) - ax) = b,$

przy czym identyczne dwa warunki otrzymujemy dla $x \rightarrow -\infty$. Powyższe dwa równania służą oczywiście do znajdowania współczynników $a$ i $b$ prostej, która jest asymptotą ukośną. Pokażemy to znajdując asymptotę ukośną funkcji $f(x) = \frac{2x^3 + 3x^2 -1}{x^2 - 2x -3}$. I tak

$a = \lim_{x \rightarrow +\infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \rightarrow +\infty} \frac{2x^3 + 3x^2 -1}{x(x^2 - 2x -3)} = 2. \nonumber$

Tę granicę możemy łatwo obliczyć znanym nam sposobem dzieląc licznik i mianownik przez $x^3$, czyli najwyższą potęgę w mianowniku. Mając $a$ możemy obliczyć $b$

$b = \lim_{x \rightarrow +\infty} (f(x) - ax) = \lim_{x \rightarrow +\infty} (\frac{2x^3 + 3x^2 -1}{x^2 - 2x -3} - 2x) = 7. \nonumber$

Jeżeli wartości $a$ i $b$ są skończone to wtedy asymptota ukośna istnieje. Natomiast jeśli odpwiednie granice na $a$ i $b$ będą równe $\pm \infty$ to wtedy asymptota ukośna nie istnieje.

Przykład: sporządzić wykres funkcji $f(x) = \frac{2x^2 + 5x - 3}{x^2 + 4x - 5}$

Badanie przebiegu zmienności funkcji, które zakończymy sporządzeniem wykresu, będziemy wykonywać kolejności podanej na początku tego wykładu.

Dziedzina funkcji. Jest to funkcja wymierna i dlatego z dziedziny funkcji musimy usunąć ewentualne zera mianownika. W mianowniku jest funkcja kwadratowa, która ma dwa miejsca zerowe: $x_1 = -5 \land x_2 = 1$ i stąd $\mathbf{D} = \mathbf{R} - \{-5, 1\}$, którą możemy zapisać jako sumę trzech zbiorów: $\mathbf{D} = (-\infty, -5) \cup (-5, 1) \cup (1, +\infty)$. Zapis w postaci sumy trzech zbiorów od razu wskazuje na konieczność znalezienia 6-ciu granic na końcach przedziałów określoności.
Punkty przecięcia funkcji z osiami układu współrzędnych. Miejsca zerowe funkcji $f(x)$, to miejsca zerowe trójmianu kwadratowego z licznika, czyli rozwiązanie równania $2x^2 + 5x - 3 = 0$, $x_1 = -3$ i $x_2 = \frac{1}{2}$. Stąd funkcja przecina oś $0X$ w punktach: $(-3,0) \land (\frac{1}{2},0)$ Natomiast punkt przecięcia z osią $0Y$ $(0,\frac{3}{5})$.
Nasza funkcja nie jest ani parzysta, ani nie jest nieparzysta, co widać chociażby z dziedziny funkcji, która powinna być, w przypadku funkcji parzystej/nieparzystej symetryczna względem punktu $(0,0)$.
Wyznaczenie granic funkcji na końcach przedziałów określoności wymaga wyliczenia 6-ciu granic: w $\pm \infty$, oraz prawo- i lewostronnych w $x = -5$ i w $x = 1$. I tak:

$\lim_{x \rightarrow \pm \infty} \frac{2x^2 + 5x - 3}{x^2 + 4x - 5} = 2, \quad $

co łatwo sprawdzić dzieląc licznik i mianownik przez $x^2$ (najwyższa potęga w mianowniku). I zgodnie z definicją asymptoty poziomej od razu otrzymujemy jej równanie $y = 2$.

Pozostałe cztery granice będą równe $\pm \infty$, ponieważ będziemy w granicy $x \rightarrow -5$ oraz $x \rightarrow 1$ dzielić przez zero. Pozostaje jednie stwierdzić czy jest to -$\infty$ bądź +$\infty$. Dla przykładu obliczymy granicę lewostronną dla $x \rightarrow -5^-$ przedstawiając licznik i mianownik funkcji wymiernej w postaci iloczynowej

$\begin{aligned} \lim_{x \rightarrow -5^-} \frac{2x^2 + 5x - 3}{x^2 + 4x - 5} = \lim_{x \rightarrow -5^-} \frac{(2x - 1) (x + 3)}{(x - 1) (x + 5)} = +\infty, \nonumber \end{aligned}$

gdzie obliczając granicę zauważamy, że wszystkie wyrażenia w nawiasach są ujemne dla $x \rightarrow -5^-$ w tym także $(x + 5)$, które oczywiście zmierza do zera $ujemnego$. W podobny sposób można znaleźć pozostałe trzy granice:

$ \lim_{x \rightarrow -5^+} \frac{2x^2 + 5x - 3}{x^2 + 4x - 5} = \lim_{x \rightarrow -5^+} \frac{(2x - 1) (x + 3)}{(x - 1) (x + 5)} = -\infty, $ $\lim_{x \rightarrow 1^-} \frac{2x^2 + 5x - 3}{x^2 + 4x - 5} = \lim_{x \rightarrow 1^-} \frac{(2x - 1) (x + 3)}{(x - 1) (x + 5)} = -\infty, $ $\lim_{x \rightarrow 1^+} \frac{2x^2 + 5x - 3}{x^2 + 4x - 5} = \lim_{x \rightarrow 1^+} \frac{(2x - 1) (x + 3)}{(x - 1) (x + 5)} = +\infty. $
Asymptotę poziomą $y = 2$ już znaleźliśmy, a z wartości granic funkcji dla $x \rightarrow -5$ oraz $x \rightarrow 1$ otrzymujemy, zgodnie z definicją, dwie asymptoty pionowe: $x = -5 \land x = 1$.
Pochodną badanej funkcji $f(x)$ obliczamy ze wzoru na pochodną ilorazu dwóch funkcji otrzymując:

$\begin{aligned} f'(x) = \frac{3x^2 - 14x - 13}{(x^2 + 4x - 5)^2}. \nonumber \end{aligned}$

Powyższa pochodna $f'(x)$ jest równa zero wtedy gdy licznik jest równy zero. Po rozwiązaniu równania kwadratowego dostajemy następujące dwa punkty $x_1 = \frac{14 + 4\sqrt{22}}{6}$ oraz $x_2 = \frac{14 - 4\sqrt{22}}{6}$, w których $f'(x) = 0$. I zgodnie z twierdzeniem o warunku koniecznym istnienia ekstremum funkcji różniczkowalnej są to tzw. punkty $podejrzane$, czyli innymi słowy jeżeli funkcja $f(x) = \frac{2x^2 + 5x - 3}{x^2 + 4x - 5}$ posiada ekstremum bądź ekstrema to jedynie w $x_1$ i/lub w $x_2$. Chcąc przesądzić sprawę istnienia ekstremów musimy skorzystać z twierdzenia o warunku wystarczającym istnienia ekstremum funkcji, czyli zbadać ewentualną zmianę znaku pochodnej funkcji w $x_1$ i $x_2$. Zauważmy, że mianownik $f'(x)$ jest zawsze $>0$ i dlatego znak pochodnej zależy od znaku licznika. Mając miejsca zerowe trójmianu kwadratowego od razu mamy, że w $x_1 = \frac{14 + 4\sqrt{22}}{6}$ pochodna zmienia znak z $-$ na $+$ a funkcja $f(x)$ ma minimum, natomiast w $x_2 = \frac{14 - 4\sqrt{22}}{6}$ pochodna zmienia znak z $+$ na $-$ co oznacza maksimum funkcji $f(x)$. Przedziały monotoniczności funkcji $f(x)$ wyznaczamy także na podstawie licznika pochodnej (mianownik jest zawsze dodatni), pamiętając o dziedzinie badanej funkcji. I tak

$f'(x) > 0 \quad \textrm{dla} \quad x \in (-\infty, \frac{14 - 4\sqrt{22}}{6}) \cup (\frac{14 + 4\sqrt{22}}{6}, +\infty)\Rightarrow f(x) \quad \textrm{jest rosnąca}, \nonumber \\ f'(x) < 0 \quad \textrm{dla} \quad x \in (\frac{14 - 4\sqrt{22}}{6}, \frac{14 + 4\sqrt{22}}{6}) \Rightarrow f(x) \quad \textrm{jest malejąca}.$

W punktach $x = -5$ i $x = 1$ nie należących do dziedziny funkcji są asymptoty pionowe i są to punkty nieciągłości.

Wszystkie znalezione powyżej przedziały i punkty charakterystyczne funkcji są zebrane w poniżej tabelce zmienności funkcji zawierającej trzy wiersze: przedziały w dziedzinie funkcji, oraz odpowiednie charakterystyki pochodnej funkcji i samej funkcji.

Tabela zmienności funkcji $f(x) = \frac{2x^2 + 5x - 3}{x^2 + 4x - 5}$
$x$	$(-\infty, -5)$	$-5$	$(-5,\frac{14 - 4\sqrt{22}}{6})$	$\frac{14 - 4\sqrt{22}}{6}$	$(\frac{14 - 4\sqrt{22}}{6},1)$	$1$	$(1,\frac{14+4\sqrt{22}}{6})$	$\frac{14 + 4\sqrt{22}}{6}$	$(\frac{14 + 4\sqrt{22}}{6},+\infty)$
$f'(x)$	$+$		$+$	$0$	$-$		$-$	$0$	$+$
$f(x)$	$\nearrow$		$\nearrow$	$MAX$	$\searrow$		$\searrow$	$MIN$	$\nearrow$

Wykres funkcji $f(x) = \frac{2x^2 + 5x - 3}{x^2 + 4x - 5}$

$Wykres funkcji $f(x) = \frac{2x^2 + 5x - 3}{x^2 + 4x - 5}$$

Zadania

Znajdź względne maksima lub/i minima, (jeśli istnieją) następujących funkcji:
1. $ f(x) = \frac{x}{x+1} \,$
2. $ f(x) = (x-1)^{2/3} \,$
3. $ f(x) = x^2 + \frac{2}{x} \,$
4. $ f(s) = \frac{s}{1+s^2} \,$
5. $ f(x) = x^2 - 4x + 9 \,$
6. $ f(x) = \frac{x^2 + x +1}{x^2 -x +1} \,$
Znajdź absolutne maksima lub/i minima, (jeśli istnieją) następujących funkcji:
1. $ f(x) = \frac{1}{3}x^3 - \frac{1}{2}x^2 + 1 $ w przedziale $[0,3]$
2. $ f(x) = (\frac{4}{3}x^2 -1)x $ w przedziale $[-\frac{1}{2},2]$
Znajdź przedziały, w którym następujące funkcje są rosnące lub malejące
1. $f(x)=10-6x-2x^2$
2. $f(x)=2x^3-12x^2+18x+15$
3. $f(x)=5+36x+3x^2-2x^3$
4. $f(x)=8+36x+3x^2-2x^3$
5. $f(x)=5x^3-15x^2-120x+3$
6. $f(x)=x^3-6x^2-36x+2$
Sporządź tabelę zmienności dla funkcji i narysuj ich wykres
1. $f(x)=10-6x-2x^2$
2. $f(x)=2x^3-12x^2+18x+15$
3. $f(x)=5+36x+3x^2-2x^3$
4. $f(x)=8+36x+3x^2-2x^3$
5. $f(x)=5x^3-15x^2-120x+3$
6. $f(x)=x^3-6x^2-36x+2$
Znaleźć prostokąt o największym polu wpisany w półokrąg w taki sposób, że dwa jego wierzchołki należą do łuku półokręgu, a dwa do jego średnicy.
Mając 100[m] płotu ogrodzić prostokąt o jak największym polu.
Narysuj funkcje o poniższych własnościach:
1. $f(1)= f(-2) = 0, \; \lim_{x\to \infty} f(x) = \lim_{x\to -\infty} f(x) = 0, \; \mbox{ asymptota w } x=-3, \; f'(x)>0 \mbox{ w przedziale } (0,2), $ $ f'(x)<0 \mbox{ w przedziale } (-\infty,-3)\cup(-3,0)\cup(2,\infty),\; f''(x)>0 \mbox{ w przedziale } (-3,1)\cup (3,\infty),\; f''(x)<0 \mbox{ w przedziale } (-\infty,-3)\cup(1,3).$
2. $f \mbox{ dziedzina } [-1,1], \; f(-1) = -1, \; f(-\frac{1}{2}) = -2,\; f'(-\frac{1}{2}) = 0,\; f''(x)>0 \mbox{ w przedziale } (-1,1) $