Z Skrypty dla studentów Ekonofizyki UPGOW
| Linia 13: | Linia 13: | ||
1. Doświadczenie polega na jednokrotnym rzucie monetą. Są dwa możliwe wyniki: orzeł lub reszka. Wynikowi "orzeł" możemy przyporządkować | 1. Doświadczenie polega na jednokrotnym rzucie monetą. Są dwa możliwe wyniki: orzeł lub reszka. Wynikowi "orzeł" możemy przyporządkować | ||
| - | oznaczenie <math>\omega_1</math>, natomiast wynikowi "reszka" - <math>\omega_2</math>. Tak więc zbiór <math>\Omega =\{\omega_1, \omega_2\}</math> | + | oznaczenie <math>\omega_1</math>, natomiast wynikowi "reszka" - <math>\omega_2</math>. Tak więc zbiór <math>\Omega =\{\omega_1, \omega_2\}</math>. |
2. Doświadczenie polega na dwukrotnym rzucie monetą. Teraz możliwe są cztery wyniki: <math>\omega_1 =</math>(orzeł, orzeł), (orzeł, reszka), (reszka, orzeł) i (reszka, reszka). Jeden wynik to p: orzeł lub reszka. Wynikowi "orzeł" możemy przyporządkować | 2. Doświadczenie polega na dwukrotnym rzucie monetą. Teraz możliwe są cztery wyniki: <math>\omega_1 =</math>(orzeł, orzeł), (orzeł, reszka), (reszka, orzeł) i (reszka, reszka). Jeden wynik to p: orzeł lub reszka. Wynikowi "orzeł" możemy przyporządkować | ||
| - | oznaczenie <math>\omega_1</math>, natomiast wynikowi "reszka" - <math>\omega_2</math>. Tak więc zbiór <math>\Omega =\{\omega_1, \omega_2\}</math> | + | oznaczenie <math>\omega_1</math>, natomiast wynikowi "reszka" - <math>\omega_2</math>. Tak więc zbiór <math>\Omega =\{\omega_1,\omega_2,\omega_3, \omega_4\}</math>. |
| + | |||
| + | 3. Doświadczenie polega na jednokrotnym rzucie kostką do gry w popularnego "chińczyka". Wynikiem może być jedno oczko, albo dwa oczka, albo trzy oczka, albo cztery oczka, albo pięć oczek, albo sześć oczek. Przyporządkowując liczbie oczek oznaczenie <math>\omega_n, n=1,2,3,4,5,6</math> otrzymamy zbiór <math>\Omega =\{\omega_1, \omega_2, \omega_3, \omega_4, \omega_5, \omega_6 \}</math>. | ||
Wersja z 16:07, 23 paź 2009
Teoria prawdopodobieństwa bazuje, jak każda teoria matematyczna, na odpowiedniej przestrzeni.
Dla przykładu, dla teorii funkcji taka przestrzenią jest przestrzeń metryczna. Przestrzeń metryczna jest takim zbiorem \( X \), w którym można zdefiniować odległość \( d(x, y) \) między dwoma jej elementami \( x \in X \) i \( y \in X \). Odleglość jest funkcją dwóch zmiennych \( x \) i \( y \) oraz posiada kilka charakterystycznych cech, np. odległość nie może byc ujemna. Jeżeli zdefiniujemy odległość w zbiorze \( X \), wówczas możemy w tym zbiorze określić zbieżność ciągów i wprowadzić pojęcie ciągłości funkcji. Możemy też zdefiniować pojęcie pochodnej funkcji i całki oznaczonej. Możemy dokonywać wielu innych operacji na funkcjach. Widać z tego przykładu, że pojęcie metryki jest bardzo użyteczne i zdefiniowanie metryki w jakimś zbiorze niesłychanie wzbogaca ten zbiór. Matematycy lubią definiować przestrzeń metryczna jako parę \( (X, d)\), tzn. jest to zbiór X wraz z określoną w niej odległościa, czyli metryką \( d=d(x, y)\).
Podobnie jest w teorii prawdopodobieństwa. Przestrzenią, którą bada teoria prawdopodobieństwa, jest zbiór, w którym określone są dodatkowe elementy, analogiczne do metryki. Przestrzeń ta nazywa się przestrzenią probabilistyczną. Dokładniej mówiąc przestrzeń ta to nie para jak w przypadku przestrzeni metrycznej, ale trójka \( (\Omega, {\mathcal F}, P)\). Rozszyfrujmy poszczególne elementy tej trójki.
(i) \(\Omega\) jest zbiorem elementów \(\omega\). Element \(\omega\) jest zdarzeniem elementarnym lub inaczej mówiąc możliwym wynikiem doświadczenia. Przykłady:
1. Doświadczenie polega na jednokrotnym rzucie monetą. Są dwa możliwe wyniki: orzeł lub reszka. Wynikowi "orzeł" możemy przyporządkować oznaczenie \(\omega_1\), natomiast wynikowi "reszka" - \(\omega_2\). Tak więc zbiór \(\Omega =\{\omega_1, \omega_2\}\).
2. Doświadczenie polega na dwukrotnym rzucie monetą. Teraz możliwe są cztery wyniki: \(\omega_1 =\)(orzeł, orzeł), (orzeł, reszka), (reszka, orzeł) i (reszka, reszka). Jeden wynik to p: orzeł lub reszka. Wynikowi "orzeł" możemy przyporządkować oznaczenie \(\omega_1\), natomiast wynikowi "reszka" - \(\omega_2\). Tak więc zbiór \(\Omega =\{\omega_1,\omega_2,\omega_3, \omega_4\}\).
3. Doświadczenie polega na jednokrotnym rzucie kostką do gry w popularnego "chińczyka". Wynikiem może być jedno oczko, albo dwa oczka, albo trzy oczka, albo cztery oczka, albo pięć oczek, albo sześć oczek. Przyporządkowując liczbie oczek oznaczenie \(\omega_n, n=1,2,3,4,5,6\) otrzymamy zbiór \(\Omega =\{\omega_1, \omega_2, \omega_3, \omega_4, \omega_5, \omega_6 \}\).