Z Skrypty dla studentów Ekonofizyki UPGOW
(→Przestrzeń probabilistyczna) |
|||
Linia 28: | Linia 28: | ||
==Przestrzeń probabilistyczna== | ==Przestrzeń probabilistyczna== | ||
===podroździał=== | ===podroździał=== | ||
+ | |||
+ | Teoria prawdopodobieństwa bazuje, jak każda teoria matematyczna, na odpowiedniej przestrzeni. | ||
+ | |||
+ | Dla przykładu, dla teorii funkcji taka przestrzenią jest '''przestrzeń metryczna'''. Przestrzeń metryczna | ||
+ | jest takim zbiorem <math> X </math>, w którym można zdefiniować odległość '''<math> d(x, y) </math>''' między dwoma jej elementami | ||
+ | <math> x \in X </math> i <math> y \in X </math>. Odleglość jest funkcją dwóch zmiennych <math> x </math> i <math> y </math> oraz posiada kilka charakterystycznych cech, np. odległość nie może byc ujemna. Jeżeli zdefiniujemy odległość w zbiorze <math> X </math>, wówczas możemy w tym zbiorze | ||
+ | określić zbieżność ciągów i wprowadzić pojęcie ciągłości funkcji. Możemy też zdefiniować pojęcie pochodnej funkcji i całki oznaczonej. Możemy | ||
+ | dokonywać wielu innych operacji na funkcjach. Widać z tego przykładu, że pojęcie metryki jest bardzo użyteczne i zdefiniowanie metryki w jakimś zbiorze niesłychanie wzbogaca ten zbiór. Matematycy lubią definiować przestrzeń metryczna jako parę '''<math> (X, d)</math>''', tzn. jest to zbiór | ||
+ | X wraz z określoną w niej odległościa, czyli metryką <math> d=d(x, y)</math>. | ||
+ | |||
+ | Podobnie jest w teorii prawdopodobieństwa. Przestrzenią, którą bada teoria prawdopodobieństwa, jest zbiór, w którym określone są dodatkowe elementy, analogiczne do metryki. Przestrzeń ta nazywa się '''przestrzenią probabilistyczną'''. Dokładniej mówiąc przestrzeń ta nie jest parą jak w przypadku przestrzeni metrycznej, ale trójką '''<math> (\Omega, {\mathcal F}, P)</math>'''. Rozszyfrujmy poszczególne elementy tej trójki. | ||
+ | |||
+ | (I) <math>\Omega</math> jest zbiorem elementów <math>\omega</math>. Element <math>\omega</math> nazywa się zdarzeniem elementarnym lub inaczej mówiąc możliwym wynikiem doświadczenia. Przykłady: | ||
+ | |||
+ | 1. Doświadczenie polega na jednokrotnym rzucie monetą. Są dwa możliwe wyniki: orzeł lub reszka. Wynikowi "orzeł" możemy przyporządkować | ||
+ | oznaczenie <math>\omega_1</math>, natomiast wynikowi "reszka" - <math>\omega_2</math>. Tak więc zbiór <math>\Omega =\{\omega_1, \omega_2\}</math>. | ||
+ | |||
+ | 2. Doświadczenie polega na dwukrotnym rzucie monetą. Teraz możliwe są cztery wyniki: <math>\omega_1 =</math>(orzeł, orzeł), (orzeł, reszka), (reszka, orzeł) i (reszka, reszka). Jeden wynik to p: orzeł lub reszka. Wynikowi "orzeł" możemy przyporządkować | ||
+ | oznaczenie <math>\omega_1</math>, natomiast wynikowi "reszka" - <math>\omega_2</math>. Tak więc zbiór <math>\Omega =\{\omega_1,\omega_2,\omega_3, \omega_4\}</math>. | ||
+ | |||
+ | 3. Doświadczenie polega na jednokrotnym rzucie kostką do gry w popularnego "chińczyka". Wynikiem może być jedno oczko, albo dwa oczka, albo trzy oczka, albo cztery oczka, albo pięć oczek, albo sześć oczek. Przyporządkowując liczbie oczek oznaczenie <math>\omega_n </math> dla <math> n=1, 2, 3, 4, 5, 6 </math> otrzymamy zbiór <math>\Omega =\{\omega_1, \omega_2, \omega_3, \omega_4, \omega_5, \omega_6 \}</math>. | ||
+ | |||
==Zmienna losowa== | ==Zmienna losowa== | ||
==Wiele zmiennych losowych-Wektor zmiennych losowych== | ==Wiele zmiennych losowych-Wektor zmiennych losowych== | ||
==Próby Bernouliego== | ==Próby Bernouliego== | ||
==Twierdzenie Poissona i rozklad Poissona== | ==Twierdzenie Poissona i rozklad Poissona== |
Wersja z 18:10, 26 paź 2009
Procesy i zjawiska losowe (przypadkowe, stochastyczne) opisywane są przez teorię prawdopodobieństwa. W odróżnieniu od procesów deterministycznych, nie można jednoznacznie przewidywać ewolucji układu losowego. Losowość opisujemy za pomocą prawdopodobieństwa zajścia określonych zdarzeń.
Spis treści |
Teoria prawdopodobieństwa
Teoria prawdopodobieństwa bazuje, jak każda teoria matematyczna, na odpowiedniej przestrzeni.
Dla przykładu, dla teorii funkcji taka przestrzenią jest przestrzeń metryczna. Przestrzeń metryczna jest takim zbiorem \( X \), w którym można zdefiniować odległość \( d(x, y) \) między dwoma jej elementami \( x \in X \) i \( y \in X \). Odleglość jest funkcją dwóch zmiennych \( x \) i \( y \) oraz posiada kilka charakterystycznych cech, np. odległość nie może byc ujemna. Jeżeli zdefiniujemy odległość w zbiorze \( X \), wówczas możemy w tym zbiorze określić zbieżność ciągów i wprowadzić pojęcie ciągłości funkcji. Możemy też zdefiniować pojęcie pochodnej funkcji i całki oznaczonej. Możemy dokonywać wielu innych operacji na funkcjach. Widać z tego przykładu, że pojęcie metryki jest bardzo użyteczne i zdefiniowanie metryki w jakimś zbiorze niesłychanie wzbogaca ten zbiór. Matematycy lubią definiować przestrzeń metryczna jako parę \( (X, d)\), tzn. jest to zbiór X wraz z określoną w niej odległościa, czyli metryką \( d=d(x, y)\).
Podobnie jest w teorii prawdopodobieństwa. Przestrzenią, którą bada teoria prawdopodobieństwa, jest zbiór, w którym określone są dodatkowe elementy, analogiczne do metryki. Przestrzeń ta nazywa się przestrzenią probabilistyczną. Dokładniej mówiąc przestrzeń ta nie jest parą jak w przypadku przestrzeni metrycznej, ale trójką \( (\Omega, {\mathcal F}, P)\). Rozszyfrujmy poszczególne elementy tej trójki.
(I) \(\Omega\) jest zbiorem elementów \(\omega\). Element \(\omega\) nazywa się zdarzeniem elementarnym lub inaczej mówiąc możliwym wynikiem doświadczenia. Przykłady:
1. Doświadczenie polega na jednokrotnym rzucie monetą. Są dwa możliwe wyniki: orzeł lub reszka. Wynikowi "orzeł" możemy przyporządkować oznaczenie \(\omega_1\), natomiast wynikowi "reszka" - \(\omega_2\). Tak więc zbiór \(\Omega =\{\omega_1, \omega_2\}\).
2. Doświadczenie polega na dwukrotnym rzucie monetą. Teraz możliwe są cztery wyniki: \(\omega_1 =\)(orzeł, orzeł), (orzeł, reszka), (reszka, orzeł) i (reszka, reszka). Jeden wynik to p: orzeł lub reszka. Wynikowi "orzeł" możemy przyporządkować oznaczenie \(\omega_1\), natomiast wynikowi "reszka" - \(\omega_2\). Tak więc zbiór \(\Omega =\{\omega_1,\omega_2,\omega_3, \omega_4\}\).
3. Doświadczenie polega na jednokrotnym rzucie kostką do gry w popularnego "chińczyka". Wynikiem może być jedno oczko, albo dwa oczka, albo trzy oczka, albo cztery oczka, albo pięć oczek, albo sześć oczek. Przyporządkowując liczbie oczek oznaczenie \(\omega_n \) dla \( n=1, 2, 3, 4, 5, 6 \) otrzymamy zbiór \(\Omega =\{\omega_1, \omega_2, \omega_3, \omega_4, \omega_5, \omega_6 \}\).
Przestrzeń probabilistyczna
podroździał
Teoria prawdopodobieństwa bazuje, jak każda teoria matematyczna, na odpowiedniej przestrzeni.
Dla przykładu, dla teorii funkcji taka przestrzenią jest przestrzeń metryczna. Przestrzeń metryczna jest takim zbiorem \( X \), w którym można zdefiniować odległość \( d(x, y) \) między dwoma jej elementami \( x \in X \) i \( y \in X \). Odleglość jest funkcją dwóch zmiennych \( x \) i \( y \) oraz posiada kilka charakterystycznych cech, np. odległość nie może byc ujemna. Jeżeli zdefiniujemy odległość w zbiorze \( X \), wówczas możemy w tym zbiorze określić zbieżność ciągów i wprowadzić pojęcie ciągłości funkcji. Możemy też zdefiniować pojęcie pochodnej funkcji i całki oznaczonej. Możemy dokonywać wielu innych operacji na funkcjach. Widać z tego przykładu, że pojęcie metryki jest bardzo użyteczne i zdefiniowanie metryki w jakimś zbiorze niesłychanie wzbogaca ten zbiór. Matematycy lubią definiować przestrzeń metryczna jako parę \( (X, d)\), tzn. jest to zbiór X wraz z określoną w niej odległościa, czyli metryką \( d=d(x, y)\).
Podobnie jest w teorii prawdopodobieństwa. Przestrzenią, którą bada teoria prawdopodobieństwa, jest zbiór, w którym określone są dodatkowe elementy, analogiczne do metryki. Przestrzeń ta nazywa się przestrzenią probabilistyczną. Dokładniej mówiąc przestrzeń ta nie jest parą jak w przypadku przestrzeni metrycznej, ale trójką \( (\Omega, {\mathcal F}, P)\). Rozszyfrujmy poszczególne elementy tej trójki.
(I) \(\Omega\) jest zbiorem elementów \(\omega\). Element \(\omega\) nazywa się zdarzeniem elementarnym lub inaczej mówiąc możliwym wynikiem doświadczenia. Przykłady:
1. Doświadczenie polega na jednokrotnym rzucie monetą. Są dwa możliwe wyniki: orzeł lub reszka. Wynikowi "orzeł" możemy przyporządkować oznaczenie \(\omega_1\), natomiast wynikowi "reszka" - \(\omega_2\). Tak więc zbiór \(\Omega =\{\omega_1, \omega_2\}\).
2. Doświadczenie polega na dwukrotnym rzucie monetą. Teraz możliwe są cztery wyniki: \(\omega_1 =\)(orzeł, orzeł), (orzeł, reszka), (reszka, orzeł) i (reszka, reszka). Jeden wynik to p: orzeł lub reszka. Wynikowi "orzeł" możemy przyporządkować oznaczenie \(\omega_1\), natomiast wynikowi "reszka" - \(\omega_2\). Tak więc zbiór \(\Omega =\{\omega_1,\omega_2,\omega_3, \omega_4\}\).
3. Doświadczenie polega na jednokrotnym rzucie kostką do gry w popularnego "chińczyka". Wynikiem może być jedno oczko, albo dwa oczka, albo trzy oczka, albo cztery oczka, albo pięć oczek, albo sześć oczek. Przyporządkowując liczbie oczek oznaczenie \(\omega_n \) dla \( n=1, 2, 3, 4, 5, 6 \) otrzymamy zbiór \(\Omega =\{\omega_1, \omega_2, \omega_3, \omega_4, \omega_5, \omega_6 \}\).