Z Skrypty dla studentów Ekonofizyki UPGOW
| Linia 2: | Linia 2: | ||
Dla przykładu, dla teorii funkcji taka przestrzenią jest '''przestrzeń metryczna'''. Przestrzeń metryczna | Dla przykładu, dla teorii funkcji taka przestrzenią jest '''przestrzeń metryczna'''. Przestrzeń metryczna | ||
| - | jest takim zbiorem <math> X </math>, w którym można zdefiniować odległość <math> d(x, y) </math> między dwoma jej elementami | + | jest takim zbiorem <math> X </math>, w którym można zdefiniować odległość '''<math> d(x, y) </math>''' między dwoma jej elementami |
<math> x \in X </math> i <math> y \in X </math>. Odleglość jest funkcją dwóch zmiennych <math> x </math> i <math> y </math> oraz posiada kilka charakterystycznych cech, np. odległość nie może byc ujemna. Jeżeli zdefiniujemy odległość w zbiorze <math> X </math>, wówczas możemy w tym zbiorze | <math> x \in X </math> i <math> y \in X </math>. Odleglość jest funkcją dwóch zmiennych <math> x </math> i <math> y </math> oraz posiada kilka charakterystycznych cech, np. odległość nie może byc ujemna. Jeżeli zdefiniujemy odległość w zbiorze <math> X </math>, wówczas możemy w tym zbiorze | ||
określić zbieżność ciągów i wprowadzić pojęcie ciągłości funkcji. Możemy też zdefiniować pojęcie pochodnej funkcji i całki oznaczonej. Możemy | określić zbieżność ciągów i wprowadzić pojęcie ciągłości funkcji. Możemy też zdefiniować pojęcie pochodnej funkcji i całki oznaczonej. Możemy | ||
Wersja z 15:37, 23 paź 2009
Teoria prawdopodobieństwa bazuje, jak każda teoria matematyczna, na odpowiedniej przestrzeni.
Dla przykładu, dla teorii funkcji taka przestrzenią jest przestrzeń metryczna. Przestrzeń metryczna jest takim zbiorem \( X \), w którym można zdefiniować odległość \( d(x, y) \) między dwoma jej elementami \( x \in X \) i \( y \in X \). Odleglość jest funkcją dwóch zmiennych \( x \) i \( y \) oraz posiada kilka charakterystycznych cech, np. odległość nie może byc ujemna. Jeżeli zdefiniujemy odległość w zbiorze \( X \), wówczas możemy w tym zbiorze określić zbieżność ciągów i wprowadzić pojęcie ciągłości funkcji. Możemy też zdefiniować pojęcie pochodnej funkcji i całki oznaczonej. Możemy dokonywać wielu innych operacji na funkcjach. Widać z tego przykładu, że pojęcie metryki jest bardzo użyteczne i zdefiniowanie metryki w jakimś zbiorze niesłychanie wzbogaca ten zbiór. Matematycy lubią definiować przestrzeń metryczna jako parę \( (X, d)\), tzn. jest to zbiór X wraz z określoną w niej odległościa, czyli metryką \( d=d(x, y)\).
Podobnie jest w teorii prawdopodobieństwa. Przestrzenią, którą bada teoria prawdopodobieństwa, jest zbiór, w którym określone są dodatkowe elementy, analogiczne do metryki. Przestrzeń ta nazywa się przestrzenią probabilistyczną. Dokładniej mówiąc przestrzeń ta to nie para jak w przypadku przestrzeni metrycznej, ale trójka \( (Omega, F, P)\).