Z Skrypty dla studentów Ekonofizyki UPGOW
Spis treści |
Teoria prawdopodobieństwa
Procesy i zjawiska losowe (przypadkowe, stochastyczne) opisywane są przez teorię prawdopodobieństwa. W odróżnieniu od procesów deterministycznych, nie można jednoznacznie przewidywać ewolucji układu losowego. Losowość opisujemy za pomocą prawdopodobieństwa zajścia określonych zdarzeń.
Przestrzeń probabilistyczna
Teoria prawdopodobieństwa bazuje, jak każda teoria matematyczna, na odpowiedniej przestrzeni.
Dla przykładu, dla teorii funkcji taka przestrzenią jest przestrzeń metryczna. Przestrzeń metryczna jest takim zbiorem \( X \), w którym można zdefiniować odległość \( d(x, y) \) między dwoma jej elementami \( x \in X \) i \( y \in X \). Odleglość jest funkcją dwóch zmiennych \( x \) i \( y \) oraz posiada kilka charakterystycznych cech, np. odległość nie może byc ujemna. Jeżeli zdefiniujemy odległość w zbiorze \( X \), wówczas możemy w tym zbiorze określić zbieżność ciągów i wprowadzić pojęcie ciągłości funkcji. Możemy też zdefiniować pojęcie pochodnej funkcji i całki oznaczonej. Możemy dokonywać wielu innych operacji na funkcjach. Widać z tego przykładu, że pojęcie metryki jest bardzo użyteczne i zdefiniowanie metryki w jakimś zbiorze niesłychanie wzbogaca ten zbiór. Matematycy lubią definiować przestrzeń metryczna jako parę \( (X, d)\), tzn. jest to zbiór X wraz z określoną w niej odległościa, czyli metryką \( d=d(x, y)\).
Podobnie jest w teorii prawdopodobieństwa. Przestrzenią, którą bada teoria prawdopodobieństwa, jest zbiór, w którym określone są dodatkowe elementy, analogiczne do metryki. Przestrzeń ta nazywa się przestrzenią probabilistyczną. Dokładniej mówiąc przestrzeń ta nie jest parą jak w przypadku przestrzeni metrycznej, ale trójką \( (\Omega, {\mathcal F}, P)\). Rozszyfrujmy poszczególne elementy tej trójki.
(A) \(\Omega\) jest zbiorem zdarzeń elementarnych. Element \(\omega \in \Omega\) nazywa się zdarzeniem elementarnym lub inaczej mówiąc możliwym wynikiem doświadczenia.
Przykłady zbioru zdarzeń elementarnych \(\Omega\)
1. Doświadczenie polega na jednokrotnym rzucie monetą. Są dwa możliwe wyniki: orzeł lub reszka. Wynikowi "orzeł" możemy przyporządkować oznaczenie \(\omega_1\), natomiast wynikowi "reszka" - \(\omega_2\). Tak więc zbiór zdarzeń elementarnych składa się z 2 elementów: \(\Omega =\{\omega_1, \omega_2\}\).
2. Doświadczenie polega na dwukrotnym rzucie monetą. Teraz możliwe są cztery wyniki: \(\omega_1 =\)(orzeł, orzeł), \(\omega_2 =\)(orzeł, reszka), \(\omega_3 =\)(reszka, orzeł) i \(\omega_1 =\)(reszka, reszka). Np. \(\omega_3 =\) =(reszka, orzeł) oznacza, że w pierwszym rzucie wypadła reszka, natomiast w drugim rzucie - orzeł.Tak więc zbiór zdarzeń elementarnych składa się z 4 elementów: \(\Omega =\{\omega_1,\omega_2,\omega_3, \omega_4\}\).
3. Doświadczenie polega na jednokrotnym rzucie kostką do gry w popularnego "chińczyka". Wynikiem może być jedno oczko, albo dwa oczka, albo trzy oczka, albo cztery oczka, albo pięć oczek, albo sześć oczek. Przyporządkowując liczbie oczek oznaczenie \(\omega_n \) dla \( n=1, 2, 3, 4, 5, 6 \) otrzymamy 6-elementowy zbiór zdarzeń elementarnych \(\Omega =\{\omega_1, \omega_2, \omega_3, \omega_4, \omega_5, \omega_6 \}\).
4. Podzielę rok na doby. Będę analizował momenty czasu \(t_1, t_2, t_3, ...\), gdy ktoś do mnie dzwoni w ciągu doby. Moment czasu \(t_i\) jest losowy oraz \(t_i \in [0, 24]\). W tym przykładzie moment czasu \(t_i=\omega_i\) jest zdarzeniem elementarnym, a \(\Omega = [0, 24]\) jest przestrzenią zdarzeń elementarnych. Przestrzeń ta jest umownym interwałem czasowym, w którym chcę badać statystykę rozmów telefonicznych w ciągu roku.
Ten ostatni przykład jest odmienny od trzech poprzednich przykładów. Zbiór \(\Omega = [0, 24]\) składa się z nieskończenie wielu elementów, tzn. z nieskończenie wielu liczb rzeczywistych z przedziału \( [0, 24]\). Ten zbiór nieskończenie wielu liczb jest pod wieloma względami inny niż zbiór nieskończenie wielu liczb naturalnych czy całkowitych. Mówimy, że jest on mocy continuum. Natomiast zbiór nieskończenie wielu liczb naturalnych jest przeliczalny. Gdyby przestrzeń zdarzeń elementarnych była równoliczna ze zbiorem liczb naturalnych, to też zawierałaby nieskończenie wiele elementów. Jednakże obie przestrzenie probabilistyczne są radykalnie różne. O tym będzie mowa w dalszej części wykładów.
(B) \({\mathcal F}\) jest \(\sigma\)-algebrą podzbiorów zbioru \(\Omega\)
\(\sigma\)-algebra podzbiorów zbioru \(\Omega\)
to przeliczalnie addytywne ciało podzbiorów \(\Omega\). Bardziej formalnie, niech \(\Omega\) będzie niepustym zbiorem. Powiemy, że rodzina \(\mathcal{F}\) podzbiorów zbioru \(\Omega\) nazywa sie \(\sigma\)-algebrą jeśli
- zbiór pusty należy do \(\mathcal{F}\),
- dopełnienie zbioru należącego do \(\mathcal{F}\) należy do \(\mathcal{F}\),
- suma przeliczalnie wielu zbiorów z \(\mathcal{F}\) należy do \(\mathcal{F}\).
Często w literaturze \(\sigma\)-algebra zbiorów nazywa się też \(\sigma\)-ciałem zbiorów.
Miara probabilistyczna
to przeliczlnie addytywna funkcja określona na pewnej \(\sigma\)-algebrze o wartościach w zbiorze liczb rzeczywistych nieujemnych, której wartość dla sumy dwóch zbiorów rozłącznych jest sumą wartości dla każdego z tych zbiorów.
Niech \({\mathcal F}\) będzie \(\sigma\)-algebrą podzbiorów pewnej przestrzeni \(\Omega\) oraz niech \(P:{\mathcal F}\longrightarrow {\mathbb R^+}\).
- Powiemy, że \( P \) jest funkcją addytywną, jeśli
- \(P(A\cup B)=P(A)+ P(B)\) dla wszystkich rozłącznych zbiorów \(A,B\in {\mathcal F}\).
- Załóżmy dodatkowo, że \({\mathcal F}\) jest σ-algebrą podzbiorów zbioru \( \Omega \). Mówimy wówczas, że funkcja \(P:{\mathcal F}\longrightarrow {\mathbb R}\) jest σ-addytywna (przeliczalnie addytywna) jeśli
- \(P\left(\bigcup_{n = 0}^{\infty}~A_n\right) = \sum_{n = 0}^{\infty}~P(A_n)\) dla wszystkich parami rozłącznych zbiorów \(A_0,A_1,A_2,\ldots\in {\mathcal F}\).
Zmienna losowa
Przestrzeń probabilistyczna jest zbiorem, więc tak jak na każdym zbiorze możemy definiować odwzorowania. Niech \(f\) będzie dowolną funkcją określoną na zbiorze \(X\) o wartościach w zbiorze \(Y\). Pamiętamy, że element zbioru \(X\) nazywany jest argumentem funkcji (zmienną niezależną), natomiast zbiór \(Y\) jest zbiorem wartości funkcji. Zmienna losowa jest też funkcją, tyle że na przestrzeni probabilistycznej. Tutaj odpowiednikiem zbioru \(X\) jest zbiór zdarzeń elementarnych \(\Omega\), a zmienną niezależną jest zdarzenie elementarne \(\omega\). Jednak nie wszystkie funkcje na zbiorze \(\Omega\) nazywają się zmiennymi losowymi. Problem jest nieco podobny do tego, że nie wszystkie funkcje są funkcjami ciągłymi. Z "praktyki" studenci wiedzą, że funkcje ciągłe są "przyjemniejsze" (na przykład granica lewostronna jest równa granicy prawostronnej). Odpowiednikiem funkcji ciągłych są zmienne losowe.
Precyzyjna definicja matematyczna jest następujaca:
Niech \((\Omega, F, P)\) będzie przestrzenia probabilistyczną oraz \((Y, {\mathcal B})\) -- przestrzenią fazową, tzn. zbiorem \(Y\) wraz z \(\sigma\)-algebrą \({\mathcal B}\) zbioru \(Y\). Zwykle \(X=R\) jest zbiorem liczb rzeczywistych, a \(\sigma\)-algebra \({\mathcal B}\) jest polem Borela.