Z Skrypty dla studentów Ekonofizyki UPGOW

Wersja z 19:55, 6 mar 2014

Definicja i wykres funkcji dwóch zmiennych

Funkcją dwóch zmiennych \(z=f(x,y)\) będziemy nazywać przyporządkowanie parze liczb rzeczywistych \((x,y)\) dokładnie jednej liczby rzeczywistej \(z\). Zatem dziedziną funkcji \(f(x,y)\) będzie zbiór \(D \subset R \times R \) taki, że dla dowolnej pary \((x,y) \in D \) istnieje \(z=f(x,y)\). Dziedzinę można go przedstawiać jako pewien obszar na płaszczyźnie \(XY\). \[f: R^2 \supset D \ni (x,y) \to f(x,y) \in R\] Wykres funkcji dwóch zmiennych jest powierzchnią i może być przedstawiony w przestrzeni trójwymiarowej \(XYZ\) (Rys. 1).

Rys. 1 Przykładowy wykres funkcji dwóch zmiennych

Przykład

• Obszar zmienności funkcji (Rys. 2a) i wykres funkcji (Rys. 2b) \(z=\sqrt{9-x^2-y^2}\)

Rys. 2a Obszar zmienności funkcji \(z=\sqrt{9-x^2-y^2}\)

Rys. 2b Wykres funkcji \(z=\sqrt{9-x^2-y^2}\)

• Inne przykłady wykresów funkcji dwóch zmiennych znajdują się na rysunkach Rys. 2c (funkcja \(z=-\sqrt{x^2+y^2}\)) i Rys. 2d (funkcja \(z=xy\))

Rys. 2c Wykres funkcji \(z=-\sqrt{x^2+y^2}\)

Rys. 2d Wykres funkcji \(z=xy\)

Pochodna cząstkowa I-go rzędu funkcji dwóch zmiennych

Pochodna cząstkowa dla danej funkcji dwóch zmiennych jest to pochodna względem jednej z jej zmiennych przy ustaleniu drugiej.

Symbol pochodnej cząstkowej ∂ to zaokrąglona wersja litery alfabetu greckiego delta. Pochodną cząstkową możemy zapisać w następujący sposób

\(f^\prime_x,\ f_x,\ \partial_x f, \frac{\partial}{\partial x}f, \text{ lub } \frac{\partial f}{\partial x}\)

Niech funkcja \(f\) będzie określona przynajmniej na otoczeniu punktu \((x_0, y_0)\).

Pochodną cząstkową pierwszego rzędu funkcji \(f\) względem zmiennej \(x\) w punkcie \((x_0, y_0)\) określamy wzorem

\[\frac{ \partial }{\partial x }f(x_0,y_0) = \lim_{\Delta x \rightarrow 0}{ f(x_0 + \Delta x,y_0) - f(x_0,y_0) \over{\Delta x} }\]

Pochodną cząstkową pierwszego rzędu funkcji \(f\) względem zmiennej \(y\) w punkcie \((x_0, y_0)\) określamy wzorem

\[\frac{ \partial }{\partial y }f(x_0,y_0) = \lim_{\Delta y \rightarrow 0}{ f(x_0,y_0 + \Delta y) - f(x_0,y_0) \over{\Delta y} }\]

Przykład

Pochodna cząstkowa funkcji \(z=f(x,y)=x^3y^3-2x^2\)

• Pochodna względem zmiennej \(x\),

\(\frac{ \partial }{\partial x }f(x,y) = 3x^2y^3-4x\)

• Pochodna względem zmiennej \(y\),

\(\frac{ \partial }{\partial y }f(x,y) = x^3 3y^2\)

Pochodne cząstkowe II-go rzędu funkcji dwóch zmiennych

Niech funkcja \(f(x,y)\) ma pochodne cząstkowe \(\frac{\partial f}{\partial x}\) i \(\frac{\partial f}{\partial y}\) przynajmniej w otoczeniu punktu \((x_0, y_0)\), przy czym przez otoczenie punktu (na płaszczyźnie) rozumiemy każdy okrąg o środku w punkcie \((x_0, y_0)\). To pochodne cząstkowe drugiego rzędu tej funkcji w punkcie \((x_0, y_0)\) określamy wzorami: \[\frac{\partial^2f(x_0,y_0)}{\partial x^2} = \frac{\partial}{\partial x} ( {\partial f(x_0,y_0)\over{\partial x}}) \text{, }\frac{\partial^2f(x_0,y_0)}{\partial x \partial y} = \frac{\partial}{\partial x} ( {\partial f(x_0,y_0)\over{\partial y}})\] \[\frac{\partial^2f(x_0,y_0)}{\partial y^2} = \frac{\partial}{\partial y} ( {\partial f(x_0,y_0)\over{\partial y}})\text{, }\frac{\partial^2f(x_0,y_0)}{\partial y \partial x} = \frac{\partial}{\partial y} ( {\partial f(x_0,y_0)\over{\partial x}})\]

Można je oznaczyć np. następującymi symbolami \(f_{xx}^{\prime \prime}(x_0,y_0),f_{xy}^{\prime \prime}(x_0,y_0),f_{yy}^{\prime \prime}(x_0,y_0),f_{yx}^{\prime \prime}(x_0,y_0)\).

Jeżeli w pewnym otoczeniu punktu \((x_0, y_0)\) istnieją pochodne \(f_{xy}^{\prime \prime}(x_0,y_0), f_{yx}^{\prime \prime}(x_0,y_0)\) i są w tym punkcie ciągłe to

\[f_{xy}^{\prime \prime}(x_0,y_0) = f_{yx}^{\prime \prime}(x_0,y_0),\]

co oznacza, że w przypadku takich funkcji kolejność różniczkowania nie ma znaczenia.

Przykład

Obliczymy teraz pochodne cząstkowe rzędu drugiego funkcji \(z=f(x,y)=x^3y^3-2x^2\). Skorzystamy z obliczonych powyżej pochodnych cząstkowych rzędu pierwszego.

\[f_{xx}^{\prime \prime}(x,y) = \frac{\partial^2f(x,y)}{\partial x^2} = \frac{\partial}{\partial x} ( {\partial f(x,y)\over{\partial x}}) = \frac{\partial}{\partial x}(3x^2y^3-4x) = 6xy^3 - 4,\] \[f_{yy}^{\prime \prime}(x,y) = \frac{\partial^2f(x,y)}{\partial y^2} = \frac{\partial}{\partial y} ( {\partial f(x,y)\over{\partial y}}) = \frac{\partial}{\partial y}(3x^3y^2) = 6x^3y,\] \[f_{yx}^{\prime \prime}(x,y) = \frac{\partial^2f(x,y)}{\partial y \partial x} = \frac{\partial}{\partial x} ( {\partial f(x,y)\over{\partial y}}) = \frac{\partial}{\partial x}(3x^3y^2) = 9x^2y^2,\] \[f_{xy}^{\prime \prime}(x,y) = \frac{\partial^2f(x,y)}{\partial x \partial y} = \frac{\partial}{\partial y} ( {\partial f(x,y)\over{\partial x}}) = \frac{\partial}{\partial y}(3x^2y^3-4x) = 9x^2y^2.\]

Jak widzimy pochodne rzędu drugiego mieszane \(f_{xy}^{\prime \prime}(x,y)\) i \(f_{yx}^{\prime \prime}(x,y)\) są sobie równe.

Ekstremum lokalne funkcji dwóch zmiennych

• Funkcja \(f(x,y)\) ma w punkcie \((x_0, y_0)\) minimum lokalne, jeżeli istnieje otoczenie tego punktu takie, że dla dowolnego \((x, y)\) z tego otoczenia zachodzi nierówność \(f(x, y) \ge f(x_0, y_0)\).

• Funkcja \(f(x,y)\) ma w punkcie \((x_0, y_0)\) maksimum lokalne, jeżeli istnieje otoczenie tego punktu takie, że dla dowolnego \((x, y)\) z tego otoczenia zachodzi nierówność \(f(x, y) \le f(x_0, y_0)\).

Warunek konieczny istnienia lokalnego ekstremum

Jeżeli funkcja \(f(x,y)\) ma ekstremum lokalne w punkcie \((x_0, y_0)\) oraz istnieją pochodne cząstkowe \( \frac{\partial f(x_0,y_0)}{\partial x}\) i \(\frac{\partial f(x_0,y_0)}{\partial y}\) to \[\frac{\partial f(x_0,y_0)}{\partial x}=\frac{\partial f(x_0,y_0)}{\partial y}=0\]

Warunek wystarczający istnienia lokalnego ekstremum

Jeżeli spełniony jest warunek konieczny istnienia lokalnego ekstremum oraz wartość w punkcie \((x_0, y_0)\) podanego poniżej wyznacznika jest dodatnia \[ W(x_0,y_0) = \begin{vmatrix} \frac{\partial^2f(x_0,y_0)}{\partial x^2} & \frac{\partial^2f(x_0,y_0)}{\partial x \partial y} \\ \frac{\partial^2f(x_0,y_0)}{\partial y \partial x} & \frac{\partial^2f(x_0,y_0)}{\partial y^2} \end{vmatrix} >0 \] to wtedy funkcja \(f(x,y)\) ma w punkcie \((x_0, y_0)\) ekstremum lokalne i jest to minimum, jeżeli \(\frac{\partial^2f(x_0,y_0)}{\partial x^2}>0 \text{ lub } \frac{\partial^2f(x_0,y_0)}{\partial y^2}>0\) albo maksimum, jeżeli \(\frac{\partial^2f(x_0,y_0)}{\partial x^2}<0 \text{ lub } \frac{\partial^2f(x_0,y_0)}{\partial y^2}<0.\)

Ponadto

• Jeżeli \( W(x_0,y_0) < 0 \) to funkcja \(f(x,y)\) nie ma ekstremum w punkcie \((x_0, y_0)\),
• Jeżeli \( W(x_0,y_0) = 0 \) to nie można wnioskować o istnieniu bądź nie istnieniu ekstremum w punkcie \((x_0, y_0)\).

I podobnie jak w przypadku znajdowania ekstremum lokalnego funkcji jednej zmiennej rozwiązaniem układu równań stanowiących warunek konieczny istnienia ekstremum funkcji jest zbiór punktów podejrzanych o to, że funkcja może mieć w nich ekstremum, ale nie musi. Dopiero większa od zera wartość wyznacznika \(W\) (warunek wystarczający istnienia ekstremum lokalnego) w punkcie podejrzanym przesądza o istnieniu ekstremum.

Ekstremum warunkowe funkcji dwóch zmiennych

Rozważaliśmy już znajdowanie ekstremów lokalnych funkcji dwóch zmiennych \(f(x,y)\). Gdy na ekstremum funkcji \(f(x,y)\) w punkcie o współrzędnych \((x_0,y_0)\) nałożymy dodatkowy warunek \(w(x,y)=0\), to otrzymamy ekstremum warunkowe funkcji \(f(x,y)\) przy warunku \(w(x,y)=0\). Oczywiście musi zachodzić \(w(x_0,y_0)=0\).

Warunkiem koniecznym istnienia lokalnego ekstremum warunkowego funkcji \(f(x,y)\) przy warunku \(w(x,y)=0\) jest zerowanie się następującego wyznacznika

\[\left| \begin{array}{cc} \frac{\delta f}{\delta x}(x_0,y_0) & \frac{\delta f}{\delta y}(x_0,y_0) \\ \frac{\delta w}{\delta x}(x_0,y_0) & \frac{\delta w}{\delta y}(x_0,y_0) \\ \end{array} \right| = 0\]

Oznacza to, że rozwiązując następujący układ równań:

\[w(x,y) = 0, \quad \left| \begin{array}{cc} \frac{\delta f}{\delta x} & \frac{\delta f}{\delta y} \\ \frac{\delta w}{\delta x} & \frac{\delta w}{\delta y} \\ \end{array} \right| = 0\]

dostaniemy zbiór punktów \((x,y)\), w których może być ekstremum. Jest to jedynie warunek konieczny, co oznacza, że w każdym z otrzymanych punktów należy zbadać, czy funkcja \(f(x,y)\) ma ekstremum. Do znajdowania ekstremum warunkowego funkcji dwóch zmiennych \(f(x,y)\) przy warunku \(w(x,y)=0\) najczęściej stosuje się metodę czynników nieoznaczonych Lagrange’a, w której tworzymy tzw. funkcję pomocniczą Lagrange’a

\[\begin{aligned} P(x,y) = f(x,y) + \lambda w(x,y), \nonumber \end{aligned}\]

gdzie \(\lambda\) jest czynnikiem nieoznaczonym. Kolejnym krokiem jest utworzenie układu równań z pochodnymi cząstkowymi funkcji \(P(x,y)\)

\[\left\{ \begin{array}{ccc} \frac{\delta P}{\delta x} & = & 0 \\ \frac{\delta P}{\delta y} & = & 0 \\ \end{array} \right.\]

a po wyeliminowaniu z niego czynnika nieoznaczonego \(\lambda\), do rozwiązania dołączamy warunek \(w(x,y)=0\) i po rozwiązaniu otrzymanego układu równań dostajemy zbiór punktów, w których funkcja \(f(x,y)\) może mieć ekstremum przy warunku \(w(x,y)\). I jak zwykle, na przykładzie pokażemy jak stosować metodę czynników nieoznaczonych Lagrange’a.

Znaleźć ekstremum funkcji \(f(x,y)=x^2+y^2\) przy warunku \(w(x,y)=x+y-2=0\).

Funkcja pomocnicza Lagrange’a ma postać

\[\begin{aligned} P(x,y) = x^2 + y^2 + \lambda (x+y-2), \nonumber \end{aligned}\]

a układ równań z jej pochodnymi cząstkowymi

\[\left\{ \begin{array}{cccc} \frac{\delta P}{\delta x} & = 2x + \lambda & = & 0 \\ \frac{\delta P}{\delta y} & = 2y + \lambda & = & 0 \\ \end{array} \right.\]

po wyeliminowaniu czynnika \(\lambda\) ma rozwiązanie \(y=x\). Do rozwiązania pozostaje układ równań

\[\left\{ \begin{array}{ccc} y & = & x \\ x + y - 2 & = & 0 \\ \end{array} \right.\]

którego rozwiązaniem jest jeden punkt \(A(1,1)\). Jest to punkt podejrzany o to, że może w nim być ekstremum warunkowe. Albo innymi słowy: jeżeli funkcja \(f(x,y)=x^2+y^2\) posiada ekstremum warunkowe to tylko w punkcie \(A(1,1)\). Musimy sprawdzić warunek wystarczający istnienia ekstremum. Z warunku \(w(x,y)=0\) otrzymujemy \(y=2-x\), a funkcja \(f(x,y)=x^2+y^2=x^2+(2-x)^2=2x^2-4x+4=g(x)\) staje się funkcją jednej zmiennej (zazwyczaj otrzymujemy tutaj tzw. funkcję uwikłaną i taką funkcją w ogólności trzeba się tutaj zajmować - to jednak wykracza poza zakres naszego kursu). Badając znanymi nam sposobami ekstremum funkcji \(g(x)\) znajdujemy, że \(g'(x)=4x-4\), \(g'(x)=0\) dla \( x=1 \), a także \(g''(1)=4>0\). Zatem ekstremum warunkowe funkcji \(f(x,y)=x^2+y^2\) przy warunku \(w(x,y)=x+y-2=0\) znajduje się w punkcie \(A(1,1)\).

Definicja funkcji trzech zmiennych

Funkcją trzech zmiennych \(w=f(x,y,z)\) będziemy nazywać przyporządkowanie trzem liczbą rzeczywistym \((x,y,z)\) dokładnie jednej liczby rzeczywistej \(w\). Zatem dziedziną funkcji \(f(x,y,z)\) będzie zbiór \(D \subset R^3 \) taki, że dla dowolnych trzech liczb \((x,y,z) \in D \) istnieje \(w=f(x,y,z)\). Dziedzinę można go przedstawiać jako pewien obszar w przestrzeni trójwymiarowej \(XYZ\). \[f: R^3 \supset D \ni (x,y,z) \to f(x,y,z) \in R\] Nie ma prostego przedstawienia wykresu funkcji trzech zmiennych (wykres leży w przestrzeni czterowymiarowej)

Zadania

1. Wyznacz dziedzinę następujących funkcji:
   1. \(f(x,y)={3x+5 \over{x^2+(y-1)^2}}\)
   2. \(f(x,y)=\ln(x^2+y^2+6x+8y)-10x+\sqrt{3}\)
   3. \(f(x,y)=\sqrt[4]{6-3x^2-3y^2}+{1 \over{2x+y}}\)
2. Obliczyć pochodne cząstkowe funkcji
   1. \(f(x,y)=x^{\frac{2}{y}}-\log_{10}(xy^2) \text{ dla } x>0 \text{ i } y \ne 0 \)
   2. \( f(x,y) = \begin{cases} {\sin(x^2y) \over{x^2+y^2}} & \text{ dla } & (x,y) \ne (0,0) \\ 0 & \text{ dla } & (x,y)=(0,0) \end{cases} \)
   3. \( f(x,y) = \begin{cases} {x^2-y+1) \over{\sqrt{x^2+(y-1)^2}}} & \text{ dla } & (x,y) \ne (0,1) \\ 0 & \text{ dla } & (x,y)=(0,1) \end{cases} \)
3. Wyznaczyć pochodne cząstkowe rzędu drugiego dla:
   1. \(f(x,y)=\sqrt{5x^4+y^8}\)
   2. \(f(x,y)=\arctan{\frac{y^2}{x}} \text{ dla } x \ne 0\)
4. Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji
   1. \(f(x,y)=e^{3x-2y}(3x^2-y^2)\)
   2. \(f(x,y)=-8x^3+y^3-24xy-4\)
   3. \(f(x,y)=3x^8+3y^8+8x^3y^3\)
   4. \(f(x,y)=y^2-3x^2y-x^3y\)
   5. \(f(x,y)=24xy-2x^3y-4xy^2\)