Z Skrypty dla studentów Ekonofizyki UPGOW
Spis treści |
Definicja i wykres funkcji dwóch zmiennych
Zgodnie z definicją funkcją dwóch zmiennych \(z=f(x,y)\) będziemy nazywać przyporządkowanie parze liczb rzeczywistych \((x,y)\) dokładnie jednej liczby rzeczywistej \(z\)Czyli obszarem zmienności funkcji dwóch zmiennych nazywamy zbiór wszystkich par \((x,y)\) dla których dana funkcja może przyjmować wartości. Można go przedstawiać jako pewien obszar na płaszczyźnie \(XY\). Ponadto wykres funkcji dwóch zmiennych jest może być przedstawiony w przestrzeni trójwymiarowej \(XYZ\) (Rys. 1).
Przykład
Pochodna cząstkowa I-go rzędu funkcji dwóch zmiennych
Pochodna cząstkowa dla danej funkcji dwóch zmiennych jest to pochodna względem jednej z jej zmiennych przy ustaleniu drugiej.
Symbol pochodnej cząstkowej ∂ to zaokrąglona wersja litery alfabetu greckiego delta. Pochodną cząstkową możemy zapisać w następujący sposób
- \(f^\prime_x,\ f_x,\ \partial_x f, \frac{\partial}{\partial x}f, \text{ lub } \frac{\partial f}{\partial x}\)
Niech funkcja \(f\) będzie określona przynajmniej na otoczeniu punktu \((x_0, y_0)\).
Pochodną cząstkową pierwszego rzędu funkcji \(f\) względem zmiennej \(x\) w punkcie \((x_0, y_0)\) określamy wzorem
\[\frac{ \partial }{\partial x }f(x_0,y_0) = \lim_{\Delta x \rightarrow 0}{ f(x_0 + \Delta x,y_0) - f(x_0,y_0) \over{\Delta x} }\]
Pochodną cząstkową pierwszego rzędu funkcji \(f\) względem zmiennej \(y\) w punkcie \((x_0, y_0)\) określamy wzorem
\[\frac{ \partial }{\partial y }f(x_0,y_0) = \lim_{\Delta y \rightarrow 0}{ f(x_0,y_0 + \Delta y) - f(x_0,y_0) \over{\Delta y} }\]
Przykład
Pochodna cząstkowa funkcji \(z=f(x,y)=x^3y^3-2x^2\)
- Pochodna względem zmiennej \(x\),
\(\frac{ \partial }{\partial x }f(x,y) = 3x^2y^3-4x\)
- Pochodna względem zmiennej \(y\),
\(\frac{ \partial }{\partial y }f(x,y) = x^3 3y^2\)
Pochodne cząstkowe II-go rzędu funkcji dwóch zmiennych
Niech funkcja \(f(x,y)\) ma pochodne cząstkowe \(\frac{\partial f}{\partial x}\) i \(\frac{\partial f}{\partial y}\) przynajmniej na otoczeniu punktu \((x_0, y_0)\). To pochodne cząstkowe drugiego rzędu tej funkcji w punkcie \((x_0, y_0)\) określamy wzorami: \[\frac{\partial^2f(x_0,y_0)}{\partial x^2} = \frac{\partial}{\partial x} ( {\partial f(x_0,y_0)\over{\partial x}}) \text{, }\frac{\partial^2f(x_0,y_0)}{\partial x \partial y} = \frac{\partial}{\partial x} ( {\partial f(x_0,y_0)\over{\partial y}})\] \[\frac{\partial^2f(x_0,y_0)}{\partial y^2} = \frac{\partial}{\partial y} ( {\partial f(x_0,y_0)\over{\partial y}})\text{, }\frac{\partial^2f(x_0,y_0)}{\partial y \partial x} = \frac{\partial}{\partial y} ( {\partial f(x_0,y_0)\over{\partial x}})\]
Można je oznaczyć np. następującymi symbolami \(f_{xx}(x_0,y_0),f_{xy}(x_0,y_0),f_{yy}(x_0,y_0),f_{yx}(x_0,y_0)\)
Ekstremum lokalne funkcji dwóch zmiennych
- Funkcja \(f(x,y)\) ma w punkcie \((x_0, y_0)\) minimum lokalne, jeżeli istnieje otoczenie tego punktu takie, że dla dowolnego \((x, y)\) z tego otoczenia zachodzi nierówność \(f(x, y) \ge f(x_0, y_0)\).
- Funkcja \(f(x,y)\) ma w punkcie \((x_0, y_0)\) maksimum lokalne, jeżeli istnieje otoczenie tego punktu takie, że dla dowolnego \((x, y)\) z tego otoczenia zachodzi nierówność \(f(x, y) \le f(x_0, y_0)\).
Warunek konieczny istnienia lokalnego ekstremum
Jeżeli funkcja \(f(x,y)\) ma ekstremum lokalne w punkcie \((x_0, y_0)\) oraz istnieją pochodne cząstkowe \( \frac{\partial f(x_0,y_0)}{\partial x}\) i \(\frac{\partial f(x_0,y_0)}{\partial y}\) to \[\frac{\partial f(x_0,y_0)}{\partial x}=\frac{\partial f(x_0,y_0)}{\partial y}=0\]
Warunek wystarczający istnienia lokalnego ekstremum
Jeżeli spełniony jest warunek konieczny istnienia lokalnego ekstremum oraz \[ W(x_0,y_0) = \begin{vmatrix} \frac{\partial^2f(x_0,y_0)}{\partial x^2} & \frac{\partial^2f(x_0,y_0)}{\partial x \partial y} \\ \frac{\partial^2f(x_0,y_0)}{\partial y \partial x} & \frac{\partial^2f(x_0,y_0)}{\partial y^2} \end{vmatrix} >0 \] Wtedy funkcja \(f(x,y)\) ma w punkcie \((x_0, y_0)\) ekstremum lokalne i jest to minimum, jeżeli \(\frac{\partial^2f(x_0,y_0)}{\partial x^2}>0 \text{ lub } \frac{\partial^2f(x_0,y_0)}{\partial y^2}>0\) albo maksimum, jeżeli \(\frac{\partial^2f(x_0,y_0)}{\partial x^2}<0 \text{ lub } \frac{\partial^2f(x_0,y_0)}{\partial y^2}<0\)
Ponadto
- Jeżeli \( W(x_0,y_0) < 0 \) to funkcja \(f(x,y)\) nie ma ekstremum w punkcie \((x_0, y_0)\),
- Jeżeli \( W(x_0,y_0) = 0 \) to nie można wnioskować o istnieniu bądź nie ekstremum w punkcie \((x_0, y_0)\).
Ekstremum warunkowe funkcji dwóch zmiennych
Rozważaliśmy już znajdowanie ekstremów lokalnych funkcji dwóch zmiennych \(f(x,y)\). Gdy na ekstremum funkcji \(f(x,y)\) w punkcie o współrzędnych \((x_0,y_0)\) nałożymy dodatkowy warunek \(w(x,y)=0\), to otrzymamy ekstremum warunkowe funkcji \(f(x,y)\) przy warunku \(w(x,y)=0\). Oczywiście musi zachodzić \(w(x_0,y_0)=0\).
Warunkiem koniecznym istnienia lokalnego ekstremum warunkowego funkcji \(f(x,y)\) przy warunku \(w(x,y)=0\) jest
\(\left| \begin{array}{cc} \frac{\delta f}{\delta x}(x_0,y_0) & \frac{\delta f}{\delta y}(x_0,y_0) \\ \frac{\delta w}{\delta x}(x_0,y_0) & \frac{\delta w}{\delta y}(x_0,y_0) \\ \end{array} \right| = 0\)
Oznacza to, że rozwiązując następujący układ równań:
\(w(x,y) = 0, \quad \left| \begin{array}{cc} \frac{\delta f}{\delta x} & \frac{\delta f}{\delta y} \\ \frac{\delta w}{\delta x} & \frac{\delta w}{\delta y} \\ \end{array} \right| = 0\)
dostaniemy zbiór punktów \((x,y)\), w których może być ekstremum. Jest to jedynie warunek konieczny, co oznacza, że w każdym z otrzymanych punktów należy zbadać, czy funkcja \(f(x,y)\) ma ekstremum. Do znajdowania ekstremum warunkowego funkcji dwóch zmiennych \(f(x,y)\) przy warunku \(w(x,y)=0\) najczęściej stosuje się metodę czynników nieoznaczonych Lagrange’a, w której tworzymy tzw. funkcję pomocniczą Lagrange’a
\(\begin{aligned} P(x,y) = f(x,y) + \lambda w(x,y), \nonumber \end{aligned}\)
gdzie \(\lambda\) jest czynnikiem nieoznaczonym. Kolejnym krokiem jest utworzenie układu równań z pochodnymi cząstkowymi funkcji \(P(x,y)\)
\(\left\{ \begin{array}{ccc} \frac{\delta P}{\delta x} & = & 0 \\ \frac{\delta P}{\delta y} & = & 0 \\ \end{array} \right.\)
a po wyeliminowaniu z niego czynnika nieoznaczonego \(\lambda\), do rozwiązania dołączamy warunek \(w(x,y)=0\) i po rozwiązaniu otrzymanego układu równań dostajemy zbiór punktów, w których funkcja \(f(x,y)\) może mieć ekstremum przy warunku \(w(x,y)\). I jak zwykle, na przykładzie pokażemy jak stosować metodę czynników nieoznaczonych Lagrange’a.
Znaleźć ekstremum funkcji \(f(x,y)=x^2+y^2\) przy warunku \(w(x,y)=x+y-1=0\).
Funkcja pomocnicza Lagrange’a ma postać
\(\begin{aligned} P(x,y) = x^2 + y^2 + \lambda (x+y-1), \nonumber \end{aligned}\)
a układ równań z jej pochodnymi cząstkowymi
\(\left\{ \begin{array}{cccc} \frac{\delta P}{\delta x} & = 2x + \lambda & = & 0 \\ \frac{\delta P}{\delta y} & = 2y + \lambda & = & 0 \\ \end{array} \right.\)
po wyeliminowaniu czynnika \(\lambda\) ma rozwiązanie \(y=x\). Do rozwiązania pozostaje układ równań
\(\left\{ \begin{array}{ccc} y & = & x \\ x + y -1 & = & 0 \\ \end{array} \right.\)
którego rozwiązaniem jest jeden punkt \(A(1,1)\). Jest to punkt podejrzany o to, że może w nim być ekstremum warunkowe. Albo innymi słowy: jeżeli funkcja \(f(x,y)=x^2+y^2\) posiada ekstremum warunkowe to tylko w punkcie \(A(1,1)\). Musimy sprawdzić warunek wystarczający istnienia ekstremum. Z warunku \(w(x,y)=0\) otrzymujemy \(y=1-x\), a funkcja \(f(x,y)=x^2+y^2=x^2+(1-x)^2=2x^2-2x+1=g(x)\) staje się funkcją jednej zmiennej (otrzymujemy tutaj tzw. funkcję uwikłaną i taką funkcją w ogólności trzeba się tutaj zajmować - to jednak wykracza poza zakres naszego kursu). Badając znanymi nam sposobami ekstremum funkcji \(g(x)\) znajdujemy, że \(g'(x)=2x-2\), \(g'(x)=0\) dla x=1, a także \(g''(1)=2>0\). Zatem ekstremum warunkowe funkcji \(f(x,y)=x^2+y^2\) przy warunku \(w(x,y)=x+y-1=0\) znajduje się w punkcie \(A(1,1)\).
Zadania
- Wyznacz dziedzinę następujących funkcji:
- \(f(x,y)={3x+5 \over{x^2+(y-1)^2}}\)
- \(f(x,y)=\ln(x^2+y^2+6x+8y)-10x+\sqrt{3}\)
- \(f(x,y)=\sqrt[4]{6-3x^2-3y^2}+{1 \over{2x+y}}\)
- Wyznaczyć poziomice dla funkcji \(f(x,y)=x+y^2-6\)
- Obliczyć pochodne cząstkowe funkcji
- \(f(x,y)=x^{\frac{2}{y}}-\log_{10}(xy^2) \text{ dla } x>0 \text{ i } y \ne 0 \)
- \( f(x,y) = \begin{cases} {\sin(x^2y) \over{x^2+y^2}} & \text{ dla } & (x,y) \ne (0,0) \\ 0 & \text{ dla } & (x,y)=(0,0) \end{cases} \)
- \( f(x,y) = \begin{cases} {x^2-y+1) \over{\sqrt{x^2+(y-1)^2}}} & \text{ dla } & (x,y) \ne (0,1) \\ 0 & \text{ dla } & (x,y)=(0,1) \end{cases} \)
- Wyznaczyć pochodne cząstkowe rzędu drugiego dla:
- \(f(x,y)=\sqrt{5x^4+y^8}\)
- \(f(x,y)=\arctan{\frac{y^2}{x}} \text{ dla } x \ne 0\)
- Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji
- \(f(x,y)=e^{3x-2y}(3x^2-y^2)\)
- \(f(x,y)=-8x^3+y^3-24xy-4\)
- \(f(x,y)=3x^8+3y^8+8x^3y^3\)
- \(f(x,y)=y^2-3x^2y-x^3y\)
- \(f(x,y)=24xy-2x^3y-4xy^2\)