Z Skrypty dla studentów Ekonofizyki UPGOW
Spis treści
|
Funkcje - podstawowe własności
Funkcja jest podstawowym pojęciem w analizie matematycznej. W trakcie tego wykładu podamy definicję funkcji, omówimy jej podstawowe własności, podamy przykłady najczęściej używanych funkcji, a zakończymy wprowadzeniem pojęcia granicy i ciągłości funkcji.
Funkcja - definicja
W zbiorze liczbowym \(X\) jest określona funkcja \(f\) jeżeli każdemu \(x \in X\) przyporządkowana jest dokładnie jedna liczba \(y \in Y\). Zbiór \(X\) nazywamy dziedziną funkcji, a zbiór \(Y\) to zbiór wartości funkcji, nazywany także przeciwdziedziną.
Jest to definicja funkcji liczbowej jednej zmiennej \(x\) i jeżeli nie określimy tego inaczej będziemy rozpatrywać funkcje zmiennej rzeczywistej o wartościach w zbiorze lub podzbiorze liczb rzeczywistych. Poniżej przypomnimy zakończenie wykładu z logiki.
Funkcją określoną na zbiorze \(X \ne \oslash\) o wartościach w zbiorze \(Y \ne \oslash\) nazywamy realcję \(f \subset X \times Y\) spełniającą następujące dwa warunki:
\[\bigwedge_{x \in X} \bigwedge_{y_1,y_2 \in Y} ((x,y_1) \in f \land (x,y_2) \in f) \Rightarrow y_1 = y_2, \nonumber\\\]
\[\bigwedge_{x \in X} \bigvee_{y \in Y} (x,y) \in f.\nonumber\]
Zgodnie z tymi warunkami funkcja jest relacją prawostronnie jednoznaczną, której dziedziną jest zbiór \(X\). Zatem relacja \(f\), czyli funkcja \(f\) przyporządkowuje każdemu elementowi ze zbioru \(X\) (każdemu elementowi dziedziny funkcji) dokładnie jeden (prawostronna jednoznaczność) element przeciwdziedziny (zbioru wartości funkcji \(Y\)). Zwróćmy uwagę, że różnym wartościom \(x \in X\) mogą być przyporządkowane takie same wartości \(y\), co znaczy tyle, że dla poprawnego zdefiniowania funkcji nie jest wymagana lewostronna jednoznaczność.
Jak widać definicja podana na początku tego rozdziału jest uproszczeniem definicji podanej na wykładzie z logiki.
Prawostronna jednoznaczność jest niezbędnie konieczna aby można było zdefiniować poprawnie funkcję. Widać to dobrze w przypadku funkcji zdefiniowanej następującym przepisem słownym: Godzinie 12:00 przyporządkuj temperaturę zmierzoną w Katowicach (i tak dla kolejnych dni). Ta funkcja jest zdefiniowana poprawnie, ponieważ o godzinie 12-tej zmierzymy jedną (i tylko jedną) wartość temperatury. Oczywiście gdyby wymaganie prawostronnej jednoznaczności nie było spełnione to o godz. 12:00 mielibyśmy np. 3 różne wartości temperatury, co jest "bez sensu", ponieważ na termometrze odczytujemy jedną wartość temperatury.
Wykres jest graficznym przestawieniem funkcji \(f(x)\) w układzie współrzędnych. Najczęściej stosowanym układem współrzędnych jest układ prostokątny, nazywany też kartezjańskim. Tworzą go dwie osie: pozioma oś odciętych \(x\) oraz pionowa oś \(y\) (oś rzędnych) narysowane na płaszczyźnie utworzonej przez iloczyn kartezjański dwóch zbiorów liczb rzeczywistych. Wykres funkcji \(y = f(x)\) tworzy zbiór punktów \((x,y): x \in X, y \in Y\).
Zazwyczaj funkcję określamy przy pomocy wzoru \(y = f(x)\). Np.
- \(y = f(x) = x^2\), funkcja kwadratowa,
- \(y = sinx\), funkcja trygonometryczna \(sinus\).
W tym wykładzie będziemy używać określenia funkcji wzorem, ale nie zawsze jest to możliwe. W przypadku gdy nie nie można podać funkcji wzorem posługujemy się tabelą lub przepisem słownym. Przyporządkowanie kolejnemu rokowi studiów pierwszego stopnia liczby studentów może być przykładem zdefiniowania funkcji przy pomocy tabeli:
| \(x\) (rok studiów) | 1 | 2 | 3 |
| \(y\) (liczba studentów) | 86 | 58 | 33 |
Zdefiniowaniem funkcji przepisem słownym było przyporządkowanie godzinie 12-tej temperatury zmierzonej w Katowicach. Innym przykładem jest: każdej liczbie naturalnej \(x\) przyporządkuj jej odwrotność \(y\). Oczywiście tak zdefiniowana funkcja \(y(x)\) może być podana zarówno wzorem \(y(x)=1/x\), jak i przy pomocy tabeli
| \(x\) | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | \(\ldots\) |
| \(y\) | 1 | \(\frac{1}{2}\) | \(\frac{1}{3}\) | \(\frac{1}{4}\) | \(\frac{1}{5}\) | \(\ldots\) |
Teraz omówimy ogólne własności funkcji.
Różnowartościowość
Funkcja \(y=f(x)\) jest różnowartościowa w przedziale \((a,b)\) jeżeli
\[\begin{aligned} \bigwedge_{x_1,x_2 \in (a,b)} (x_1 \neq x_2) \Rightarrow f(x_1) \neq f(x_2).\nonumber\end{aligned}\]
Np. funkcja kwadratowa \(f(x)=x^2\) jest różnowartościowa dla \(x \in [0,\infty )\), a także dla \(x \in (-\infty ,0]\). Natomiast nie jest różnowartościowa dla \(x \in (- \infty, \infty)\), ponieważ np. dla wartości \(x_1=2\) i \(x_2=-2, (x_1 \neq x_2)\) otrzymujemy \(f(x_1) = f(x_2) = 4\).
Monotoniczność
Znalezienie przedziałów monotoniczności funkcji to inaczej znalezienie przedziałów w których funkcja jest rosnąca bądź malejąca. I tak funkcja \(y = f(x)\) jest rosnąca (gdy rośnie argument funkcji to i wartości funkcji rosną) w przedziale \((a,b)\) jeżeli
\[\begin{aligned} \bigwedge_{x_1,x_2 \in (a,b)} (x_1 < x_2) \Rightarrow f(x_1) < f(x_2).\nonumber\end{aligned}\]
I podobnie (inny znak nierówności) funkcja \(y = f(x)\) jest malejąca (gdy argumenty funkcji maleją to wartości funkcji rosną) przedziale \((a,b)\) jezeli
\[\begin{aligned} \bigwedge_{x_1,x_2 \in (a,b)} (x_1 < x_2) \Rightarrow f(x_1) > f(x_2).\nonumber\end{aligned}\]
Funkcja \(y = f(x)\) jest stała w przedziale \((a,b)\) jeżeli
\[\begin{aligned} \bigwedge_{x \in (a,b)} f(x) =c, \nonumber\end{aligned}\]
gdzie \(c\) jest wartością stałą, czyli niezależną od \(x\).
Jak przekonamy się w dalszej części wykładu, badanie monotoniczności nie jest zadaniem trudnym jeśli wykorzystamy pochodną funkcji.
Funkcja odwrotna
Jeżeli funkcja \(y = f(x)\) jest różnowartościowa w przedziale \([a,b]\), a \([f(a),f(b)]\) jest zbiorem wartości funkcji \(f(x)\), wtedy funkcja \(x = f^{-1}(y)\) jest funkcją odwrotną do funkcji \(f(x)\) jeżeli każdemu \(y_0 \in [f(a),f(b)]\) przyporządkowany jest \(x_0 \in [a,b]\) taki że \(y_0 = f(x_0)\).
Zauważmy, że argumentem funkcji odwrotnej \(x = f^{-1}(y)\) jest \(y\), który należy do zbioru wartości funkcji \(f(x)\). Funkcja \(f(x)\) i funkcja odwrotna \(f^{-1}(y)\) mają taki sam wykres, ale w układach współrzędnych w których osie są zamienione miejscami: dla funkcji odwrotnej oś \(y\) jest osią odciętych. Rozpatrywanie wykresu w takcih współrzędnych jest kłopotliwe, i dlatego dla wygody dokonujemy zamiany współrzędnych \(x \leftrightarrow y\). Wtedy wykresy obu funkcji, \(f(x)\) i \(f^{-1}(x)\) mogą być przedstawioen w tym samy układzie współrzędnych z osią odciętych \(x\), a osią symetrii ich wykresów jest prosta \(y = x\).
Zobaczymy to na przykładzie funkcji \(y = f(x) = x^2\), która jak pamiętamy jest różnowartościowa dla \(x \in [0,\infty )\). Dlatego w tym przedziale argumentów możemy utworzyć funkcję odwrotną \(x = \sqrt y, y \in [0, \infty )\). A po zamianie zmiennych \(x \leftrightarrow y\) funkcją odwrotną dla funkcji \(y = x^2\) jest funkcja \(y = \sqrt x\). Patrz Rys. 3.
Jak widać obie funkcje \(y = x^2\) oraz \(y = \sqrt x\) są rosnące. I nie jest to przypadek. Można udowodnić, że monotoniczność funkcji i funkcji do niej odwrotnej jest taka sama.
Funkcja złożona
Dotychczas rozważaliśmy funkcje, których argumentem była zmienna niezależna \(x\), ale nie zawsze tak musi być. Argumentem funkcji może być inna funkcja której argumentem jest zmienna niezależna. Wtedy mówimy o funkcji złożonej. I tak, jeżeli \(w = g(x), x \in X, w \in W\), a \(y = h(w), w \in W, y \in Y\) to funkcje \(g\) i \(h\) przyporządkowują \(x \in X\) dokładnie jeden \(y \in Y\) i tym samym określają nową funkcję \(h(g(x))\). Funkcja \(h\) jest funkcją złożoną. Funkcję \(g\) nazywamy funkcją wewnętrzną, a funkcję \(h\) funkcją zewnętrzną. Czasami zamiast oznaczenia \(h(g(x))\) można spotkać \(f \circ g\). Ilustrację graficzną funkcji złożonej przedstawia Rys 4.
Przykładem funkcji złożonej może być \(y = sin (x^2)\), w której \(w = g(x) = x^2\) jest funkcją wewnętrzną (podniesienie do kwadratu), a \(h(w) = h(x^2) = sin (x^2)\) jest funkcją zewnętrzną (obliczenie sinusa). Dziedziną tej funkcji jest zbiór liczb rzeczywistych \(\Re\).
Można tworzyć funkcje wielokrotnie złożone, np. \(y = \sqrt {sin (x^2)}\), gdzie do złożenia dwóch funkcji z poprzedniego przykładu dodaliśmy obliczenie pierwiastka. Natomiast funkcja \(y = ln\sqrt {sin (x^2)}\) jest funkcją czterokrotnie złożoną.
Funkcja okresowa
Funkcja \(y = f(x)\) jest funkcją okresową jeżeli istnieje liczba \(k \neq 0 \in \Re\) taka że (\(D\) oznacza dziedzinę funkcji \(y\))
\[\begin{aligned} \bigwedge_{x \in D} f(x) = f(x+k),\nonumber\end{aligned}\]
gdzie \(k\) jest okresem funkcji. Najczęściej używanymi funkcjami okresowymi są funkcje trygonometryczne, które będą omawiane w dalszej części wykładu. Tutaj ograniczymy sie do podania jednego przykładu funkcji okresowej \(f(x) = sin x\), której okresem jest \(k = 2\pi\), ponieważ
\[\begin{aligned} \bigwedge_{x \in \Re} sin x = sin (x + 2\pi).\nonumber\end{aligned}\]
Parzystość funkcji
Funkcja może posiadać własność parzystości lub nieparzystości, które definiujemy następująco:
\[ y = f(x)\] jest parzysta \(\Leftrightarrow \bigwedge_{x \in D} f(-x) = f(x)\),
\[ y = f(x)\] jest nieparzysta \(\Leftrightarrow \bigwedge_{x \in D} f(-x) = -f(x)\).
Przykładem funkcji parzystej może być \(f(x) = x^2\), ponieważ \(f(-x) = (-x)^2 = x^2\). Wykres funkcji parzystej jest symetryczny względem prostej \(x = 0\). Natomiast funkcja \(f(x) = x^3\) jest nieparzysta, bowiem \(f(-x) = (-x)^3 = -x^3\). Wykres funkcji nieparzystej jest symetryczny względem początku układu współrzędnych - punkt \((0,0)\).
Należy zauważyć, że są funkcje które nie posiadają określonej parzystości bądź nieparzystości.
Przegląd najważniejszych funkcji jednej zmiennej rzeczywistej
Funkcja wielomianowa - wielomian stopnia \(n\)
Wielomianem \(W(x)\) stopnia \(n\) nazywamy funkcję postaci
\[\begin{aligned} W(x) = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + ... + a_{n-a} x^{n-1} + a_n x^n,\nonumber\end{aligned}\]
gdzie, \(x \in \Re\), \(a_0,...,a_n \in \Re\), \(a_n \neq 0\), oraz \(n \in N \cup {0}\).
Liczba \(x_0\) jest miejscem zerowym wielomianu (inaczej pierwiastkiem wielomianu) \(W(x)\) jeżeli \(W(x_0) = 0\). Można udowodnić bardzo ważne twierdzenie: wielomian stopnia \(n\) posiada \(n\) pierwiastków w zbiorze liczb zespolonych. Nasz wykład dotyczy liczb rzeczywistych i dlatego to ważne twierdzenie musimy nieco zmodyfikować: wielomian stopnia \(n\) ma co najwyżej \(n\) pierwiastków rzeczywistych.
Przykładami wielomianów najniższych rzędów są dobrze nam znane funkcje:
- \(n = 0, W(x) = a_0\), funkcja stała (\(y = c\)),
- \(n = 1, W(x) = a_0 + a_1 x\), funkcja liniowa (\(y = ax + b\)),
- \(n = 2, W(x) = a_0 + a_1 x + a_2 x^2\), funkcja kwadratowa (\(y = ax^2 + bx + c\)).
Funkcja wymierna
W wyniku podzielenia dwóch wielomianów \(W_1(x)\) i \(W_2(x)\) otrzymujemy funkcję wymierną
\[\begin{aligned} f(x) = \frac{W_1(x)}{W_2(x)}, x \in \Re - \{ \text{pierwiastki }W_2(x) \} \nonumber.\end{aligned}\]
Przykładem funkcji wymiernej jest
\[\begin{aligned} f(x) = \frac{4x + 2}{x^2 - 4x - 5}, x \in \Re - \{ -1, 5 \}, \nonumber\end{aligned}\]
gdzie -1 oraz 5 są pierwiastkami trójmianu kwadratowego z mianownika funkcji wymiernej.
Funkcja wykładnicza
Funkcję postaci
\[\begin{aligned} f(x) = a^x, x \in \Re, a \in \Re_{+}, \nonumber\end{aligned}\]
nazywamy funkcją wykładniczą. Zwrócmy uwagę, że inaczej niż w przypadku funkcji wielomianowej, zmienna \(x\) znajduje się w wykładniku, a nie w podstawie wyrażenia potęgowego. Zbiorem wartości funkcji wykładniczej jest zbiór liczb rzeczywistych dodatnich \(\Re_{+}\). Monotoniczność funkcji wykładniczej zależy od wartości podstawy \(a\). I tak
- dla \(a \in (0,1)\) funkcja wykładnicza jest malejąca,
- dla \(a = 1\) funkcja wykładnicza jest funkcją stałą,
- dla \(a \in (1,+\infty)\) funkcja wykładnicza jest rosnąca.
Na Rys. 7 przedstawiono dwie funkcje wykładnicze \(f(x) = (\frac{1}{2})^x\) oraz \(f(x) = 2^x\). Zauważamy, że dla \(a \neq 1\) funkcja wykładnicze jest funkcją różnowartościową, co oznacza, że można utworzyć funkcję odwrotną do funkcji wykładniczej - funkcję logarytmiczną.
Widzimy, że wykresy funkcji (Rys. 7) \(f(x) = (\frac{1}{2})^x\) oraz \(f(x) = 2^x\) są symetryczne względem prostej \(x = 0\).
Funkcja logarytmiczna
Funkcję postaci
\[\begin{aligned} f(x) = log_a x, x \in \Re_{+}, a \in \Re_{+} \land a \neq 1, \nonumber\end{aligned}\]
nazywamy funkcją logarytmiczną (logarytm ma podstawę \(a\)). Jak już wspomnieliśmy w poprzednim rozdziale funkcja logarytmiczna jest funkcją odwrotną dla funkcji wykładniczej. I tak dziedzina funkcji wykładniczej \(\Re\) staje się zbiorem wartości funkcji logarytmicznej, a zbiór wartości funkcji wykładniczej \(\Re_{+}\) jest równocześnie dziedziną funkcji logarytmicznej. Ponadto monotoniczność funkcji wykładniczej i logarytmicznej jest taka sama: obie są rosnące dla \(a \in (1,+\infty)\), obie są malejące dla \(a \in (0,1)\). Ich wykresy są symetryczne względem prostej \(y = x\), oczywiście dla tej samej wartości podstawy \(a\). Na poniższym wykresie przedstawiono funkcje logarytmiczne \(f(x) = log_{\frac{1}{2}} x\), \(f(x) = log_2 x\) oraz funkcję wykładniczą \(f(x) = 2^x\).
Szczególną i ważną podstawą funkcji logarytmicznej jest liczba niewymierna \(e = 2.71828...\). Taką funkcję oznaczmy \(f(x) = lnx\), a nie \(f(x) = log_{e} x\). Podobnie \(f(x) = log x\) (bez podania podstawy) oznacza podstawę 10, czyli logarytm dziesiętny.
Funkcje trygonometryczne
Jak pewnie pamiętamy z trygonometrii w trójkącie prostokątnym można zdefiniować funkcje wyrażone stosunkami długości boków. Można utworzyć sześć takich funkcji, z których cztery \(sinus\), \(cosinus\), \(tangens\) i \(cotangens\) są najczęściej używane. Argumentami tych funkcji są miary kątów wewnętrznych trójkąta prostokątnego. Podamy definicje tych funkcji i ich podstawowe własności, przy czym zdefiniujemy je przy pomocy kąta skierowanego \(\alpha\) w prostokątnym układzie współrzędnych, co pozwoli od razu zobaczyć przedziały w których mają wartości dodatnie/ujemne. Przypomnijmy jeszcze, że wartość kąta \(\alpha\) może być wyrażona zarówno w mierze kątowej (stopnie), jak i w mierze łukowej (radiany). Kąt pełny, czyli \(360^0\) to \(2\pi\) radianów, czyli 1 radian to ok. \(57^0\). Argumenty funkcji trygonometrycznych będziemy oznaczali przez \(\alpha\) lub \(x\) (tak jak dla wszystkich funkcji jednej zmiennej rzeczywistej).
Funkcja \(f(x)\) = \(sin (x)\)
\[\begin{aligned} sin (\alpha) = \frac{b}{r}, \nonumber\end{aligned}\]
przy czym dla \(\alpha < 90^0\) jest to stosunek długości przyprostokątnej leżącej naprzeciw kąta \(\alpha\) do długości przeciwprostokątnej. Dziedziną funkcji \(sinus\) jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych \(\Re\), a zbiór wartości funkcji \(y \in [-1,1]\). Jest to funkcja okresowa, a wartość okresu podstawowego wynosi \(2\pi\). Funkcja \(f(x)\) = \(sin x\) posiada nieskończenie wiele miejsc zerowych (w punktach \(x = k\pi, k = 0, \pm 1, \pm 2,...\)), nieskończenie wiele maksimów (w punktach \(x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi\)) oraz nieskończenie wiele minimów (w punktach \(x = \frac{3\pi}{2} + 2k\pi\)). Jest funkcją nieparzystą. Funkcja \(f(x)\) = \(sin x\) jest funkcją różnowartościową jedynie w pewnych przedziałach, np. dla \(x \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]\) i jest w tym przedziale rosnąca.
Funkcja \(f(x)\) = \(cos(x)\)
\[\begin{aligned} cos (\alpha) = \frac{a}{r}, \nonumber\end{aligned}\]
przy czym dla \(\alpha < 90^0\) jest to stosunek długości przyprostokątnej leżącej przy kącie \(\alpha\) do długości przeciwprostokątnej. Dziedziną funkcji \(cosinus\) jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych \(\Re\), a zbiór wartości funkcji \(y \in [-1,1]\). Jest to funkcja okresowa, a wartość okresu podstawowego wynosi \(2\pi\). Funkcja \(f(x)\) = \(cos x\) posiada nieskończenie wiele miejsc zerowych (w punktach \(x = k\frac{\pi}{2}, k = \pm 1, \pm 2,...\)), nieskończenie wiele maksimów (w punktach \(x = 2k\pi\)) oraz nieskończenie wiele minimów (w punktach \(x = \pi + 2k\pi\)). Jest funkcją parzystą. Funkcja \(f(x)\) = \(cos x\) jest funkcją różnowartościową jedynie w pewnych przedziałach, np. dla \(x \in [0, \pi]\) i jest w tym przedziale malejąca.
Funkcja \(f(x)\) = \(tg(x)\)
\[\begin{aligned} tg (\alpha) = \frac{b}{a}, \nonumber\end{aligned}\]
przy czym dla \(\alpha < 90^0\) jest to stosunek długości przyprostokątnej leżącej naprzeciw kąta \(\alpha\) do długości drugiej przyprostokątnej. Dziedziną funkcji \(tangens\) jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych \(\Re\) oprócz \(x = k\frac{\pi}{2}\), a zbiór wartości funkcji \(y \in [-\infty,+\infty]\). Jest to funkcja okresowa, a wartość okresu podstawowego wynosi \(\pi\). Funkcja \(f(x)\) = \(tg x\) posiada nieskończenie wiele miejsc zerowych (w punktach \(x = k\pi\)) oraz nieskończenie wiele asymptot pionowych (w punktach \(x = k\frac{\pi}{2}\)). Jest funkcją nieparzystą. Funkcja \(f(x)\) = \(tg x\) jest funkcją różnowartościową jedynie w pewnych przedziałach, np. dla \(x \in [-\frac{\pi}{2}, +\frac{\pi}{2}]\) i jest w tym przedziale rosnąca.
Funkcja \(f(x)\) = \(ctg (x)\)
\[\begin{aligned} ctg (\alpha) = \frac{a}{b}, \nonumber\end{aligned}\]
przy czym dla \(\alpha < 90^0\) jest to stosunek długości przyprostokątnej leżącej przy kącie \(\alpha\) do długości drugiej przyprostokątnej. Dziedziną funkcji \(cotangens\) jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych \(\Re\) oprócz \(x = k\pi\), a zbiór wartości funkcji \(y \in [-\infty,+\infty]\). Jest to funkcja okresowa, a wartość okresu podstawowego wynosi \(\pi\). Funkcja \(f(x)\) = \(ctg x\) posiada nieskończenie wiele miejsc zerowych (w punktach \(x = k\frac{\pi}{2}\)) oraz nieskończenie wiele asymptot pionowych (w punktach \(x = k\pi\)). Jest funkcją nieparzystą. Funkcja \(f(x)\) = \(ctg x\) jest funkcją różnowartościową jedynie w pewnych przedziałach, np. dla \(x \in [0, \pi]\) i jest w tym przedziale malejąca.
Funkcje cyklometryczne (kołowe)
Jak zauważyliśmy funkcje trygonometryczne są różnowartościowe w pewnych przedziałach i w tych przedziałach można dla nich utworzyć funkcje odwrotne. Argumentami tych funkcji będą zbiory liczbowe (wartości funkcji trygonometrycznych \(sinus\), \(cosinus\), \(tangens\) i \(cotangens\)), a zbiory wartości funkcji kołowych będą zbiorami kątów. Czyli funkcje kołowe przyporządkowują wartości funkcji trygonometrycznej odpowiednią wartość kąta. Omówimy teraz cztery podstawowe funkcje kołowe, przy czym ich własności wynikają z twierdzeń o funkcjach odwrotnych.
Funkcja \(f(x) = arcsin (x)\)
\(arcus\) \(sinus\) jest funkcją odwrotną do funkcji \(sinus\) rozpatrywanej dla \(x \in \left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]\). W tym przedziale \(sinus\) posiada funkcję odwrotną, jest bowiem w tym przedziale funkcją rosnącą (a zatem różnowartościową). Funkcja \(f(x) = arcsin (x)\) jest określona w przedziale \(\left[-1; 1\right]\), jej wartości należą do przedziału \(\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]\). I jest w tym przedziale funkcją rosnącą, tak jak funkcja \(f(x) = sin (x)\) jest rosnąca dla \(x \in \left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]\).
Funkcja \(f(x) = arccos (x)\)
\(arcus\) \(cosinus\) jest funkcją odwrotną do funkcji \(cosinus\) rozpatrywanej dla \(x \in \left[0,\pi\right]\). W tym przedziale \(cosinus\) posiada funkcję odwrotną, jest bowiem w tym przedziale funkcją malejącą (a zatem różnowartościową). Funkcja \(f(x) = arccos (x)\) jest określona w przedziale \(\left[-1; 1\right]\), jej wartości należą do przedziału \(\left[\pi, 0\right]\). I jest w tym przedziale funkcją malejącą, tak jak funkcja \(f(x) = cos (x)\) jest malejącą dla \(x \in \left[0,\pi\right]\).
Funkcja \(f(x) = arctg (x)\)
\(arcus\) \(tangens\) jest funkcją odwrotną do funkcji \(tangens\) rozpatrywanej dla \(x \in \left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]\). W tym przedziale \(tangens\) posiada funkcję odwrotną, jest bowiem w tym przedziale funkcją rosnącą (a zatem różnowartościową). Funkcja \(f(x) = arctg (x)\) jest określona w przedziale \(\left[-\infty, +\infty\right]\), jej wartości należą do przedziału \(\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]\). I jest w tym przedziale funkcją rosnącą, tak jak funkcja \(f(x) = tg (x)\) jest rosnąca dla \(x \in \left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]\). Zauważmy ciekawą własność funkcji \(f(x) = arctg (x)\) \(-\) odwzorowuje ona zbiór liczb rzeczywistych \(\Re\) na zbiór \(x \in \left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]\).
Funkcja \(f(x) = arcctg (x)\)
\(arcus\) \(cotangens\) jest funkcją odwrotną do funkcji \(cotangens\) rozpatrywanej dla \(x \in \left[0,\pi\right]\). W tym przedziale \(cotangens\) posiada funkcję odwrotną, jest bowiem w tym przedziale funkcją malejącą (a zatem różnowartościową). Funkcja \(f(x) = arcctg (x)\) jest określona w przedziale \(\left[-\infty; +\infty\right]\), jej wartości należą do przedziału \(\left[\pi, 0\right]\). I jest w tym przedziale funkcją malejącą, tak jak funkcja \(f(x) = ctg (x)\) jest malejącą dla \(x \in \left[0,\pi\right]\).
Granica funkcji
Zdefiniujemy granicę lewostronną i prawostronną funkcji w punkcie \(x_0\). Powiemy, że liczba \(g\) jest granicą lewostronną (\(x \rightarrow x_0^-\))funkcji \(y = f(x)\) wtedy i tylko wtedy gdy:
\[\begin{aligned} \lim_{x \rightarrow x_0^-} f(x) = g \Leftrightarrow \bigwedge_{\epsilon > 0} \bigvee_{\delta > 0} \bigwedge_{x \in (x_0 - \delta, x_0)} \mid f(x) - g \mid < \epsilon.\nonumber\end{aligned}\]
I podobnie liczba \(g\) jest granicą prawostronną (\(x \rightarrow x_0^+\)) funkcji \(y = f(x)\) wtedy i tylko wtedy gdy:
\[\begin{aligned} \lim_{x \rightarrow x_0^+} f(x) = g \Leftrightarrow \bigwedge_{\epsilon > 0} \bigvee_{\delta > 0} \bigwedge_{x \in (x_0, x_0 + \delta}) \mid f(x) - g \mid < \epsilon.\nonumber\end{aligned}\]
Zauważmy, że liczba \(g\) będąca granicą prawostronną (lewostronna) nie musi należeć do dziedziny funkcji \(y = f(x)\). Jeżeli obie granice, lewostronna i prawostronna istnieją w punkcie \(x = x_0\) i są sobie równe to mówimy, że funkcja \(y = f(x)\) ma granicę \(g\) dla \(x = x_0\)
Możemy również definiować tzw. granice niewłaściwe funkcji \(y = f(x)\), czyli granice dla \(x \rightarrow - \infty\), \(x \rightarrow +\infty\), a także granice dla \(x \rightarrow x_0\) równe \(- \infty\) lub +\(\infty\). I tak niewłaściwa granica lewostronna \(+\infty\) funkcji jest definowana następująco
\[\begin{aligned} \lim_{x \rightarrow x_0^-} f(x) = +\infty \Leftrightarrow \bigwedge_{M > 0} \bigvee_{\delta > 0} \bigwedge_{x \in (x_0 - \delta, x_0)} f(x) > M,\nonumber\end{aligned}\]
a lewostronna granica niewłaściwa \(-\infty\)
\[\begin{aligned} \lim_{x \rightarrow x_0^-} f(x) = -\infty \Leftrightarrow \bigwedge_{M > 0} \bigvee_{\delta > 0} \bigwedge_{x \in (x_0 - \delta, x_0)} f(x) < -M. \nonumber\end{aligned}\]
Oczywiście, zastępując w powyższych wyrażeniach \(x_0^-\) przez \(x_0^+\) oraz \(x \in (x_0 - \delta, x_0)\) przez \(x \in (x_0, x_0 + \delta)\) otrzymujemy definicje granic prawostronnych funkcji \(f(x)\).
A teraz definicja granicy niewłaściwej (dla \( x \rightarrow +\infty\)) funkcji \(f(x)\)
\[\begin{aligned} \lim_{x \rightarrow +\infty} f(x) = g \Leftrightarrow \bigwedge_{\epsilon > 0} \bigvee_{M > 0} \bigwedge_{x > M} \mid f(x) - g \mid < \epsilon,\nonumber\end{aligned}\]
i podobnie w przypadku granicy niewłaściwej dla \( x \rightarrow -\infty\)
\[\begin{aligned} \lim_{x \rightarrow -\infty} f(x) = g \Leftrightarrow \bigwedge_{\epsilon > 0} \bigvee_{M < 0} \bigwedge_{x < M} \mid f(x) - g \mid < \epsilon.\nonumber\end{aligned}\]
Dla przykładu pokażemy teraz, na podstawie definicji, że granica funkcji \(f(x) = 2/x\) dla \( x \rightarrow +\infty\) wynosi \(g = 0\). Wybierzmy np. \(\epsilon = 1/100\) \(-\) pamiętamy, że zgodnie z definicją \(\epsilon\) jest dowolne. I dla dowolnej wartości \(\epsilon\) musimy znaleźć taką wartość liczby \(M\) dla której zachodzi
\[\begin{aligned} \mid f(x) - g \mid < \epsilon, \mid 2/x - 0 \mid < 1/100. \nonumber\end{aligned}\]
Rozwiązując powyższą nierówność otrzymujemy \(M > 200\). Gdybyśmy np. wybrali \(\epsilon = 1/200\) to \(M > 400\). Zatem widać, że dla dowolnej wartości \(\epsilon\) wystarczy aby \(M > 2/\epsilon\).
Ciągłość funkcji
Funkcja \(y = f(x)\) jest ciągła w punkcie \(x_0 \in D\) (\(D\) oznacza dziedzinę funkcji) wtedy i tylko wtedy gdy granica funkcji dla \(x = x_0\) jest równa wartości funkcji w tym punkcie \(f(x_0)\)
\[\begin{aligned} \lim_{x \rightarrow x_0} f(x) = f(x_0).\nonumber\end{aligned}\]
Jeśli funkcja \(f(x)\) jest ciągła dla wszystkich wartości \(x \in (a,b)\) to mówimy, że funkcja \(f(x)\) jest ciągła w przedziale \((a,b)\).
Funkcje: wielomianowa, wykładnicza oraz funkcje \(sinus\) i \(cosinus\) są ciągłe dla \(x \in \Re\), a funkcją logarytmiczna dla \(x \in \Re_+\). Natomiast funkcja wymierna może posiadać punkty nieciągłości jeżeli jej mianownik ma miejsca zerowe. A funkcje \(\text{tangens}\) i \(\text{cotangens}\) mają nieskończenie wiele punktów nieciągłości \(-\) są to punkty w których te funkcje nie są określone, czyli \(x = \pi/2 + k\pi\) dla funkcji \(\text{tangens}\) oraz \(x = k\pi\) dla funkcji \(\text{cotangens}\) (\(k\) jest liczbą całkowitą).
Potocznie (i praktycznie) możemy powiedzieć, że wykres funkcji ciągłej w przedziale \((a,b)\) możemy narysować jednym pociągnięciem ołówka, czyli bez odrywania go od kartki papieru. Natomiast jeśli w przedziale \((a,b)\) funkcja \(f(x)\) ma punkty nieciągłości to rysując wykres funkcji w tych punktach będziemy musieli oderwać ołówek od kartki papieru.
Zadania
- Narysuj wykres funkcji.
- \( y = -x \)
- \( y = 2x+1 \)
- \( y = -3x + 4 \)
- \( y = sin(2x) \)
- \( y = log_3{x} \)
- Wyznacz dziedzinę funkcji danej wzorem:
- \( y = (x-5)(2-x) \)
- \( y = \frac{x+3}{x}+\frac{2x-3}{x+7} \)
- \( y = \sqrt{x-7} \)
- \( y = \sqrt{x-1}+\sqrt{x} \)
- Wyznacz zbiór wartości funkcji
- \( y = \frac{1}{2}x^2\) dla \( x \in\{-2,-1,0,1,2\} \)
- \( y = x-3 \) dla \( x \in <0;2) \)
- \( y =|x| \) dla \( x \in <-3;3)\)
- O funkcji \(f\) wiadomo, że \(f(1)=2\) oraz, że do wykresu należy punkt \(P=\{-2,3\}\). Wyznacz wzór funkcji \(f\)
- Oblicz najmniejszą wartośc funkcji kwadratowej \(f(x)=x^2\) w przedziale \(<0;1>\)
- Oblicz największą i najmniejszą wartość funkcji \(f(x)=2x^2-4x+11\) przedziale \(A=<0;4>\)