Z Skrypty dla studentów Ekonofizyki UPGOW
(→Model Markowitza) |
(→Model Markowitza) |
||
Linia 36: | Linia 36: | ||
<center> <math>\sum_{i}w_i=1</math></center> | <center> <math>\sum_{i}w_i=1</math></center> | ||
Jak pamiętamy z kursu analizy matematycznej, problem taki można na ogół rozwiązać korzystając z metody czynników Lagrange'a. W tym celu definiujemy lagrangian: | Jak pamiętamy z kursu analizy matematycznej, problem taki można na ogół rozwiązać korzystając z metody czynników Lagrange'a. W tym celu definiujemy lagrangian: | ||
- | <center> <math>L(\overline{r_1},...,\overline{r_n})=\sum_{ij}w_iw_j\sigma_{ij}-\lambda (\sum_{i}w_i\overline{r_i}-\overline{r})- \mu (\sum_{i}w_i-1).</math></center> | + | <center> <math>L(\overline{r_1},...,\overline{r_n},\lambda ,\mu)=\sum_{ij}w_iw_j\sigma_{ij}-\lambda (\sum_{i}w_i\overline{r_i}-\overline{r})- \mu (\sum_{i}w_i-1).</math></center> |
- | Szukamy minimum<ref>Tak na prawdę to metoda ta znajduje ekstremum lub tzw. punkt siodłowy; musimy jeszcze sprawdzić czy jest to rzeczywiście minimum</ref> funkcji <math>L(\overline{r_1},...,\overline{r_n})</math> | + | Szukamy minimum<ref>Tak na prawdę to metoda ta znajduje ekstremum lub tzw. punkt siodłowy; musimy jeszcze sprawdzić czy jest to rzeczywiście minimum</ref> funkcji <math>L(\overline{r_1},...,\overline{r_n},\lambda ,\mu)</math>. Warunkiem koniecznym jest znikanie pochodnych cząstkowych: |
+ | <center><math>\frac{\partial L}{\partial \overline{r_i}}=0, \ i=1,...,n</math></center> | ||
+ | <center><math>\frac{\partial L}{\partial \lambda}=0</math></center> | ||
+ | <center><math>\frac{\partial L}{\partial \mu}=0.</math></center> | ||
= Przypisy = | = Przypisy = | ||
<references/> | <references/> |
Wersja z 13:53, 7 maj 2010
Spis treści |
Analiza portfela i wycena aktywów
Zwykle, myśląc o inwestycji mamy do dyspozycji pewien kapitał własny lub pożyczony. W tej części ograniczymy się do inwestycji na rynkach kapitałowych. Przyjmiemy też upraszczające założenie, że pieniądze są inwestowane w chwili początkowej i interesuje nas wartość naszego portfela w pewnej chwili końcowej
Zarządzanie portfelem instrumentów finansowych
Przypomnijmy, że pomijając podatki i koszty transakcji, zysk (zwrot) \(R_z\) i stopę zwrotu \(r_z\) z inwestycji możemy zdefiniować następująco:
- Wniosek (dywersyfikacja)
Załóżmy, że wszystkie składniki portfela mają taką samą oczekiwaną stopę zwrotu a i jej wariancję s. Wtedy dla \(w_i=1/n,\ i=1,...n\) mamy
Oznacza to, że rozkładając inwestycję na n równorzędnych składników możemy zmiejszyć oczekiwane ryzyko z inwestycji (mierzone wariancją portfela).
Jeśli pójdziemy dalej tym tropem i będziemy używać wariancji jako "miary ryzyka", często nazywanej volatility w tym kontekście, to możemy "uprościć" nasz problem i analizować tylko zależność oczekiwanej stopy zwrotu z portfela od parametru ryzyka (czyli wariancji).
Model Markowitza
H. Markowitz zaproponował następujące podejście do teorii portfela
minimalizuj
pod warunkiem, że
i
Jak pamiętamy z kursu analizy matematycznej, problem taki można na ogół rozwiązać korzystając z metody czynników Lagrange'a. W tym celu definiujemy lagrangian:
Szukamy minimum
Przypisy
- ↑ Zauważmy, że założenie to trudno uzasadnić w przypadku portfela akcji, ale okazuje się że stosunkowo łatwo można omawiane procedury uogólnić tak by uniknąć tego typu ograniczeń, co również zrobimy w dalszej części.
- ↑ Idea ta została przedstawiona w słynnej pracy Markowitz, H. (1952), ‘Portfolio Selection’, Journal of Finance, 7(1), 77-91.
- ↑ Tak na prawdę to metoda ta znajduje ekstremum lub tzw. punkt siodłowy; musimy jeszcze sprawdzić czy jest to rzeczywiście minimum