Z Skrypty dla studentów Ekonofizyki UPGOW
(→Model Markowitza) |
(→Model Markowitza) |
||
Linia 46: | Linia 46: | ||
<center> <math>\sum_{i}w_i=1,\, </math></center> | <center> <math>\sum_{i}w_i=1,\, </math></center> | ||
; Przykład (lemat o dwóch funduszach) : | ; Przykład (lemat o dwóch funduszach) : | ||
- | Model Markowitza ma wiele interesujących właściwości. Omówimy tu jedną z nich, która wynika z formy opisujących go równań. Załóżmy, że znamy rozwiązania dla dwóch różnych wartości <math>\overline{r}</math>, powiedzmy <math>\overline{r^1}</math> i <math>\overline{r^2}</math>. Łatwo zauważyć, że kombinacja liniowa tych rozwiązań ze współczynnikami <math>\alpha</math> i <math>(1-\alpha)</math> jest rozwiązaniem dla dla oczekiwanej stopy zwrotu <math>\alpha\overline{r^1} +(1-\alpha)\overline{r^2}</math> | + | Model Markowitza ma wiele interesujących właściwości. Omówimy tu jedną z nich, która wynika z formy opisujących go równań. Załóżmy, że znamy rozwiązania dla dwóch różnych wartości <math>\overline{r}</math>, powiedzmy <math>\overline{r^1}</math> i <math>\overline{r^2}</math>. Łatwo zauważyć, że kombinacja liniowa tych rozwiązań ze współczynnikami <math>\alpha</math> i <math>(1-\alpha)</math>, gdzie <math>\alpha</math> jest dowolną liczbą rzeczywistą jest rozwiązaniem dla dla oczekiwanej stopy zwrotu <math>\alpha\overline{r^1} +(1-\alpha)\overline{r^2}</math>. Oznacza to, że można skonstruować dwa portfele przy pomocy, których można replikować dowolny portfel o zadanej oczekiwanej stopie zwrotu i wariancji. W praktyce, oznacza to, że jeśli nasze kryterium wyboru portfela uwzględnia tylko oczekiwaną stopę zwrotu ijej wariancję, to na danym rynku można wykorzystać do tego celu dwa fundusze inwestycyjne. |
= Przypisy = | = Przypisy = | ||
<references/> | <references/> |
Wersja z 20:30, 8 maj 2010
Spis treści |
Analiza portfela i wycena aktywów
Zwykle, myśląc o inwestycji mamy do dyspozycji pewien kapitał własny lub pożyczony. W tej części ograniczymy się do inwestycji na rynkach kapitałowych. Przyjmiemy też upraszczające założenie, że pieniądze są inwestowane w chwili początkowej i interesuje nas wartość naszego portfela w pewnej chwili końcowej
Zarządzanie portfelem instrumentów finansowych
Przypomnijmy, że pomijając podatki i koszty transakcji, zysk (zwrot) \(R_z\) i stopę zwrotu \(r_z\) z inwestycji możemy zdefiniować następująco:
- Wniosek (dywersyfikacja)
Załóżmy, że wszystkie składniki portfela mają taką samą oczekiwaną stopę zwrotu a i jej wariancję s. Wtedy dla \(w_i=1/n,\ i=1,...n\) mamy
Oznacza to, że rozkładając inwestycję na n równorzędnych składników możemy zmiejszyć oczekiwane ryzyko z inwestycji (mierzone wariancją portfela).
Jeśli pójdziemy dalej tym tropem i będziemy używać wariancji jako "miary ryzyka", często nazywanej volatility w tym kontekście, to możemy "uprościć" nasz problem i analizować tylko zależność oczekiwanej stopy zwrotu z portfela od parametru ryzyka (czyli wariancji).
Model Markowitza
H. Markowitz zaproponował następujące podejście do teorii portfela
minimalizuj
pod warunkiem, że
i
Jak pamiętamy z kursu analizy matematycznej, problem taki można na ogół rozwiązać korzystając z metody czynników Lagrange'a. W tym celu definiujemy lagrangian:
Szukamy minimum
Prowadzi to do układu n+2 równań liniowych z n+2 niewiadomymi, który na ogół ma rozwiązanie:
- Przykład (lemat o dwóch funduszach)
Model Markowitza ma wiele interesujących właściwości. Omówimy tu jedną z nich, która wynika z formy opisujących go równań. Załóżmy, że znamy rozwiązania dla dwóch różnych wartości \(\overline{r}\), powiedzmy \(\overline{r^1}\) i \(\overline{r^2}\). Łatwo zauważyć, że kombinacja liniowa tych rozwiązań ze współczynnikami \(\alpha\) i \((1-\alpha)\), gdzie \(\alpha\) jest dowolną liczbą rzeczywistą jest rozwiązaniem dla dla oczekiwanej stopy zwrotu \(\alpha\overline{r^1} +(1-\alpha)\overline{r^2}\). Oznacza to, że można skonstruować dwa portfele przy pomocy, których można replikować dowolny portfel o zadanej oczekiwanej stopie zwrotu i wariancji. W praktyce, oznacza to, że jeśli nasze kryterium wyboru portfela uwzględnia tylko oczekiwaną stopę zwrotu ijej wariancję, to na danym rynku można wykorzystać do tego celu dwa fundusze inwestycyjne.
Przypisy
- ↑ Zauważmy, że założenie to trudno uzasadnić w przypadku portfela akcji, ale okazuje się że stosunkowo łatwo można omawiane procedury uogólnić tak by uniknąć tego typu ograniczeń, co również zrobimy w dalszej części.
- ↑ Idea ta została przedstawiona w słynnej pracy Markowitz, H. (1952), ‘Portfolio Selection’, Journal of Finance, 7(1), 77-91.
- ↑ Tak na prawdę to metoda ta znajduje ekstremum lub tzw. punkt siodłowy; musimy jeszcze sprawdzić czy jest to rzeczywiście minimum