Z Skrypty dla studentów Ekonofizyki UPGOW
(→Model Markowitza) |
(→Model Markowitza) |
||
Linia 47: | Linia 47: | ||
; Przykład (lemat o dwóch funduszach) : | ; Przykład (lemat o dwóch funduszach) : | ||
Model Markowitza ma wiele interesujących właściwości. Omówimy tu jedną z nich, która wynika z formy opisujących go równań. Załóżmy, że znamy rozwiązania dla dwóch różnych wartości <math>\overline{r}</math>, powiedzmy <math>\overline{r^1}</math> i <math>\overline{r^2}</math>. Łatwo zauważyć<ref>Wystarczy przejść do macierzowej reprezentacji układu równań liniowych.</ref>, że kombinacja liniowa tych rozwiązań ze współczynnikami <math>\alpha</math> i <math>(1-\alpha)</math>, gdzie <math>\alpha</math> jest dowolną liczbą rzeczywistą jest również rozwiązaniem, ale dla oczekiwanej stopy zwrotu <math>\alpha\overline{r^1} +(1-\alpha)\overline{r^2}</math>. Oznacza to, że można skonstruować dwa portfele przy pomocy, których można replikować dowolny portfel o zadanej oczekiwanej stopie zwrotu i wariancji. W praktyce, oznacza to, że jeśli nasze kryterium wyboru portfela uwzględnia tylko oczekiwaną stopę zwrotu i jej wariancję, to na danym rynku można wykorzystać do tego celu dwa fundusze inwestycyjne. | Model Markowitza ma wiele interesujących właściwości. Omówimy tu jedną z nich, która wynika z formy opisujących go równań. Załóżmy, że znamy rozwiązania dla dwóch różnych wartości <math>\overline{r}</math>, powiedzmy <math>\overline{r^1}</math> i <math>\overline{r^2}</math>. Łatwo zauważyć<ref>Wystarczy przejść do macierzowej reprezentacji układu równań liniowych.</ref>, że kombinacja liniowa tych rozwiązań ze współczynnikami <math>\alpha</math> i <math>(1-\alpha)</math>, gdzie <math>\alpha</math> jest dowolną liczbą rzeczywistą jest również rozwiązaniem, ale dla oczekiwanej stopy zwrotu <math>\alpha\overline{r^1} +(1-\alpha)\overline{r^2}</math>. Oznacza to, że można skonstruować dwa portfele przy pomocy, których można replikować dowolny portfel o zadanej oczekiwanej stopie zwrotu i wariancji. W praktyce, oznacza to, że jeśli nasze kryterium wyboru portfela uwzględnia tylko oczekiwaną stopę zwrotu i jej wariancję, to na danym rynku można wykorzystać do tego celu dwa fundusze inwestycyjne. | ||
+ | |||
+ | W modelu Markowitza definiuje się portfel efektywny jako taki portfel dla którego | ||
+ | *nie istnieje portfel, który ma niższe ryzyko przy danej oczekiwanej stopie zwrotu | ||
+ | *nie istnieje portfel, który ma wyższą oczekiwaną stopę zwrotu przy danym poziomie ryzyka. | ||
+ | |||
+ | Racjonalny inwestor powinien więc ograniczyć się do portfeli efektywnych. | ||
+ | ===Uogólnienia klasycznej teorii portfela=== | ||
+ | Uważny, Czytelnik zapewne zauważył, że inwestor może użyć odmiennych kryteriów przy konstrukcji portfela. Do najważniejszych należą modele oparte o | ||
+ | *inne miary ryzyka | ||
+ | *bardziej rozbudowane zagadnienia optymalizacji | ||
= Przypisy = | = Przypisy = | ||
<references/> | <references/> |
Wersja z 10:47, 10 maj 2010
Spis treści |
Analiza portfela i modele rynku
Zwykle, myśląc o inwestycji mamy do dyspozycji pewien kapitał własny lub pożyczony. W tej części ograniczymy się do inwestycji na rynkach kapitałowych. Przyjmiemy też upraszczające założenie, że pieniądze są inwestowane w chwili początkowej i interesuje nas wartość naszego portfela w pewnej chwili końcowej
Zarządzanie portfelem instrumentów finansowych
Przypomnijmy, że pomijając podatki i koszty transakcji, zysk (zwrot) \(R_z\) i stopę zwrotu \(r_z\) z inwestycji możemy zdefiniować następująco:
- Wniosek (dywersyfikacja)
Załóżmy, że wszystkie składniki portfela mają taką samą oczekiwaną stopę zwrotu a i jej wariancję s. Wtedy dla \(w_i=1/n,\ i=1,...n\) mamy
Oznacza to, że rozkładając inwestycję na n równorzędnych składników możemy zmiejszyć oczekiwane ryzyko z inwestycji (mierzone wariancją portfela).
Jeśli pójdziemy dalej tym tropem i będziemy używać wariancji jako "miary ryzyka", często nazywanej volatility w tym kontekście, to możemy "uprościć" nasz problem i analizować tylko zależność oczekiwanej stopy zwrotu z portfela od parametru ryzyka (czyli wariancji).
Model Markowitza
H. Markowitz zaproponował następujące podejście do teorii portfela
minimalizuj
pod warunkiem, że
i
Jak pamiętamy z kursu analizy matematycznej, problem taki można na ogół rozwiązać korzystając z metody czynników Lagrange'a. W tym celu definiujemy lagrangian:
Szukamy minimum
Prowadzi to do układu n+2 równań liniowych z n+2 niewiadomymi, który na ogół ma rozwiązanie:
- Przykład (lemat o dwóch funduszach)
Model Markowitza ma wiele interesujących właściwości. Omówimy tu jedną z nich, która wynika z formy opisujących go równań. Załóżmy, że znamy rozwiązania dla dwóch różnych wartości \(\overline{r}\), powiedzmy \(\overline{r^1}\) i \(\overline{r^2}\). Łatwo zauważyć
W modelu Markowitza definiuje się portfel efektywny jako taki portfel dla którego
- nie istnieje portfel, który ma niższe ryzyko przy danej oczekiwanej stopie zwrotu
- nie istnieje portfel, który ma wyższą oczekiwaną stopę zwrotu przy danym poziomie ryzyka.
Racjonalny inwestor powinien więc ograniczyć się do portfeli efektywnych.
Uogólnienia klasycznej teorii portfela
Uważny, Czytelnik zapewne zauważył, że inwestor może użyć odmiennych kryteriów przy konstrukcji portfela. Do najważniejszych należą modele oparte o
- inne miary ryzyka
- bardziej rozbudowane zagadnienia optymalizacji
Przypisy
- ↑ Zauważmy, że założenie to trudno uzasadnić w przypadku portfela akcji, ale okazuje się że stosunkowo łatwo można omawiane procedury uogólnić tak by uniknąć tego typu ograniczeń, co również zrobimy w dalszej części.
- ↑ Idea ta została przedstawiona w słynnej pracy Markowitz, H. (1952), ‘Portfolio Selection’, Journal of Finance, 7(1), 77-91.
- ↑ Tak na prawdę to metoda ta znajduje ekstremum lub tzw. punkt siodłowy; musimy jeszcze sprawdzić czy jest to rzeczywiście minimum
- ↑ Wystarczy przejść do macierzowej reprezentacji układu równań liniowych.