Z Skrypty dla studentów Ekonofizyki UPGOW
Spis treści |
Elementy matematyki finansowej
Jednym z ważniejszych zadań matematyki finansowej jest wycena instrumentu finansowego. Wycena instrumentu finansowego to termin odnoszący się do obliczenia wartości tego instrumentu w chwili bieżącej (momencie otwierania lub zamykania przez inwestora pozycji).
Wycena obligacji
Obligacja jest to papier wartościowy (instrument finansowy), stwierdzający zaciągnięcie przez emitenta obligacji długu wobec posiadacza obligacji – zwanego obligatariuszem i zawierający zobowiązanie wobec obligatariusza do wykupu obligacji - jako zwrotu zaciągniętego długu oraz wypłacenia odsetek za korzystanie z użyczonych pieniędzy oraz terminowość wypłat. Odsetki mogą mogą być wypłacane w określonych momentach (tzw. kupony) lub w postaci dyskonta w momencie emisji (obligacja zerokuponowa).
Cechy charakterystyczne określające obligacje:
- wartość nominalna – jest to wartość zaciągniętego długu, od której nalicza się odsetki, i która jest płacona w momencie wykupu przez emitenta posiadaczowi obligacji;
- termin wykupu – jest to termin, w którym obligatariusz otrzymuje od emitenta kwotę równą wartości nominalnej; w terminie wykupu obligacja podlega wykupowi;
- oprocentowanie – stopa procentowa określająca wielkość odsetek wypłaconych obligatariuszowi;
- terminy płacenia odsetek – czyli częstotliwość wypłat odsetek. Przykładowo: raz na rok, raz na pól roku, kwartalnie.
- cena emisyjna – to cena, po której obligacja jest sprzedawana jej pierwszemu posiadaczowi w momencie emisji. Cena ta może być zarówno niższa jak i wyższa od ceny nominalnej. Decyzja emitenta zależy w tym przypadku do przewidywanego zainteresowania i oprocentowania obligacji.
OBLIGACJA I JEJ CENA.
W charakterystycznych cechach obligacji wymienione zostały dwie ceny związana z obligacją. Były to cena nominalna i cena emisyjna. W rynkowym obrocie obligacjami używa się jeszcze terminów ceny rynkowej i rozliczeniowej. Cena rynkowa (kurs giełdowy), jest ustalana na codziennych sesjach giełdowych jako wypadkowa popytu i podaż
Wycena obligacji.
Cena godziwa ( fair price)
Jeśli mamy obligację, której emitent zobowiązuje się do płacenia odsetek regularnie raz do roku i zamierza zwrócić zaciągnięte zobowiązanie (wartość nominalną) w chwili wykupu, na koniec życia zobowiązania, to godziwa cena takiego instrumentu jest wynikiem zdyskontowanej wartości bieżacej przepływów pieniężnych generowanych przez takie zobowiązanie. Stopa dyskontowa jest określana przez rynek.
\(\ P_o=\sum\limits_{i=1}^n\frac{C}{(1+r)^i} +\frac{P_N}{(1+r)^n},\)
gdzie C – odsetki (ang. coupon)
\(P_o\) – wartość obligacji
\(P_n\) – wartość nominalna
r - stopa dyskontowa
- Przykład
- (obligacja ze stałym kuponem)
Jaka jest wartość obligacji o terminie wykupu przypadającym za dwa lata. Wartość nominalna tej obligacji wynosi 100, oprocentowanie 6%, odsetki płacone są co rok. Wymagana stopa dochodu określona przez inwestora wynosi 7% w skali roku.
Po podstawieniu do wzoru otrzymujemy:
\(\ P_o=\frac{6}{(1+0,07)^1} +\frac{106}{(1+0,07)^2}.\)
W naszym przypadku:
\(C=0,06x100 = 0,06\)
\(R = 7% = 0,07.\)
(Wartość nominalna wynosi 100 czyli w 2 roku nastąpi wpływ \(\frac{100+6}{(1+0,07)^2} \) )
Dla naszego inwestora wartość tej obligacji wynosi 98,2 jednostek.
Cena godziwa dla obligacji wieczystych
Obligacje wieczyste zwane konsolami nie są nigdy wykupywane, a ich posiadacz otrzymuje nieskończony strumień odsetek, zwany rentą wieczystą. W tym przypadku n= \(\infty\,\). Więc cena godziwa \(\ P_o = \frac {C}{r}\ \) (jest to suma szeregu geometrycznego).
Obligacja zerokuponowa
Obligacje zerokuponowe to typowe instrumenty dyskontowe. Ich cena jest wyznaczana poprzez dyskontowanie ich wartości nominalnej do dnia wyceny. Wzór stosowany dotychczas do wyceny obligacji przybierze postać:
\(\ P_o=\sum\limits_{i=1}^n\frac{C}{(1+r)^i} +\frac{P_N}{(1+r)^n}= \sum\limits_{i=1}^n\frac{0}{(1+r)^i} +\frac{P_N}{(1+r)^n}\ = \frac{P_N}{(1+r)^n}\ \)
Podany wyżej wzór dotyczy obligacji wypłacającej kupon jeden raz na rok. Dla większej ilości okresów odsetkowych aby obliczyć wartość obligacji należy zdyskontować strumienie pieniężne jakie generuje do czasu wykupu.
Jej wartość można wyrazić następująco:
\(\ P_o=\sum\limits_{i=1}^n\frac{C_i/m}{(1+r/m)^i} +\frac{P_N}{(1+r/m)^n}\)
Gdzie: m – liczba płatności odsetkowych w roku
n – to liczba okresów odsetkowych w roku, n= mT
T - długość życia obligacji w latach
\(P_n\) - wartość nominalna obligacji.
\(C_i\) – wysokość kuponu w i-tym okresie odsetkowym.
i - i-ty okres odsetkowy ( i zawiera się między 1 a n)
r - stopa dyskontowa.
Wycena przy kapitalizacji ciągłej
Powyższe wyliczenia dotyczą kapitalizacje dyskretnej obligacji . Dla ciągłego procesu kapitalizacji i stałego kuponu wartość obligacji będzie opisywana zależnością:
\(\ P_o=\sum\limits_{i=1}^n\ {(C/m)}{exp(-r t_i)} +\ {P_N}{exp(-rt_n)},\)
gdzie:
\(t_i\) - moment wypłaty i–tego kuponu
pozostałe oznaczenia jak wyżej.
RENTOWNOŚĆ OBLIGACJI
Obligacja jest instrumentem dłużnym . Jeśli inwestor zainwestował pieniądze w czyjś dług spodziewa sie nagrody za czas , w którym jego pieniędzmi dysponuje ktoś inny. Oczywiście w przypadku obligacji inwestor oprócz kwoty nominalnej pożyczki której zwrot następuje po zakończeniu życia zobowiązania dostaje regularnie wypłacane co okres odsetki. Ale obligacja może zmienić właściciela miedzy okresami wypłaty kuponu. Każdy z posiadaczy tej obligacji rości sobie prawo do partycypacji w tym kuponie, gdyż każdy z inwestorów przez określona ilość dni finansuje dług. Każdy z nich chce udziału w kuponie proporcjonalnie do czasu w jakim był posiadaczem obligacji w okresie miedzy wypłatą kuponu. Cena rozliczeniowa obligacji to pewna wartość zwana ceną czystą obligacji + należne odsetki za okres posiadania. Zależność jest liniowa.
Tak zdefiniowana cena nazywa się cena „brudna” i po takiej cenie rozliczają się tak naprawdę uczestnicy rynku. Cena brudna, a właściwie jej zachowanie w czasie posiada kształt przypominający zęby piły.
Dodatkowo należy wspomnieć o następującej sytuacji. Kupon jest wypłacany właścicielowi obligacji. Właścicielowi, w dniu naliczania kuponu. Jeśli miedzy dniem naliczenia kuponu a dniem wypłacenia fizycznego pieniędzy obligacja zmieni właściciela to nowy można powiedzieć ,ze stary właściciel dostaje pieniądze za czas kiedy obligacja do niego nie należy. W takiej sytuacji nowy właściciel jest „wynagradzany” przez starego właściciela tym ,ze cena brudna w tym czasie jest niższa od ceny czystej . Rysunek obok modelowo obrazuje taka sytuacje i zachowanie się w czasie cen obligacji.
Zgodnie z (David Blake - Fin. Mark. Analysis) narosłe odsetki są równe
\(\ A_i =d\frac{{N_a}-{N_b}}{365}\,\)
Gdzie :
Ai – należne odsetki
Na- ilość dni miedzy dniem naliczenia odsetek i datą wypłaty kuponu
Nb – liczba dni miedzy data naliczenia kuponu a dniem transakcji
d- wartość płatności kuponu
Stopa zwrotu z obligacji.
Ze względu na często skomplikowane strumienie pieniężne jakie generują obligacje , trudne jest je porównywać na podstawie ceny, raczej robi się to poprzez porównywania stopy zwrotu. Istnieje kila różnych stóp zwrotu.
Stopa bieżąca
Najprostszym sposobem oceny obligacji jest określenie stopy bieżącej.
Jest ona definiowana jako stosunek kuponu czyli oprocentowania obligacji w skali roku do ceny czystej
\(r_c=\frac{d}{P}\)
Gdzie:
Rc- bieżąca stopa P- cena czysta d- oprocentowanie obligacji w skali roku
Właściwszym byłoby, w zasadzie używać ceny brudnej do takiej oceny, gdyż właściwie taką cenę płaci się za obligacje . Jednakże należy pamiętać o jej podobieństwie do piły i stopa bieżąca tez miałby taki charakter.
Stopa zwrotu w terminie do wykupu ( Yield to maturity)
Do tego momenty mówiąc o cenie obligacji używając wzoru:
\(\ P_o=\sum\limits_{i=1}^n\frac{C_i/m}{(1+r/m)^i} +\frac{P_N}{(1+r/m)^n}\)
Wyceniając ciąg płatności zakładaliśmy wartość stopy dyskontowej.
Na rynku mamy sytuacje nieco inna znamy raczej bieżące, ceny rynkowe obligacji. Aby wiec wycenić jej stopę zwrotu czyli stopę od chwili nabycia do końca życia instrumentu powinno się za stronę lewą równania wstawić wartość rynkowa obligacji i wyliczyć stopę zwrotu.
Tak wyliczona stopa zwrotu to jest nic innego niż wewnętrzna stopa zwrotu ( IRR) z inwestycji.
Stopa zwrotu w terminie do dnia wykupu ( YTM) liczona przy założeniu reinwestowania kuponów po rentowności YTM.
Wylicza się rozwiązując powyższe równanie względem r.
Łatwiej jest napisać rozwiązując niż to zrobić. Nie znamy analitycznej postaci rozwiązania - stosuje się w tym przypadku metody przybliżone.
Rozumienie koncepcji stopy zwrotu w terminie do wykupu.
Takie zdefiniowanie powyższej wielkości ma szereg implikacji i wskazuje na wiele istotnych aspektów.
Po pierwsze stopa zwrotu do wykupu to metoda określenia ceny obligacji. Mając ceną rynkową potrafimy ( bardziej lub mniej dokładnie ) wyliczyć stopę zwrotu i odwrotnie ( co łatwiejsze) mając stopę YTM można wyznaczyć cenę obligacji. Druga interpretacja to taka ,że YTM odpowiada „ekwiwalentnej” stopie procentowej depozytu bankowego. Tzn. Ze gdyby zdeponować środki na depozycie bankowym oprocentowanym stopą YT to zachowywać się będzie jak inwestycja w obligacje ( i odwrotnie). Ta analogia ekwiwalentu stopy depozytowej stwarza możliwość używania YTM jako sposobu porównywania rożnych obligacji o różnych kuponach, czasie życia i rożnych cenach rynkowych.
Innymi słowy, przykładowo, daje to inwestorowi łatwy wybór czy ma zainwestować w które konto czy oprocentowane np. na 6% czy na 5,5% ( oba porównywalnie co do ryzyka i sposobu naliczania procentu). Jeśli stanie przed takim wyborem z pewnością wybierze konto wyżej oprocentowane.
W przypadku stopy oprocentowania rachunku, która jest jedyna miara inwestycji w przypadku YTM nie można powiedzieć ,ze jest to jedyna i ostateczna wielkość pomiaru wartości inwestycji. W kontekście porównania do rachunku bankowego należy wskazać trzy zasadnicze miejsca gdzie analogia załamuje się. ( s.Homer i L.Leibowitz- N.Y Insitute of Finance.)
Pierwszy punkt to, to , ze inwestor sam dowolnie decyduje wypłatach ze swojego konta ( co do wielkości i terminów).Tak nie jest w przypadku obligacji, którą inwestor nabywa wraz ze specyficznym dla niej realizacja kuponu i datą zapadalności. Ponadto inwestor działa w ramach swoich potrzeb finansowania i pod względem czasu i wielkości i kierunku przepływów środków. W związku z tym nawet mając do wyboru dwie obligacje o tym samym YTM ale generujących różne czasowo przepływy wybierze tą której właśnie przepływy będą bardziej mu odpowiadały.
Szukanie podobieństwa zawodzi w przypadku stałości oprocentowania rachunku bankowego. Inwestor nie martwi się o poziom przyszłych stóp procentowych bo ma jest ustalone. Nie jest tak w przypadku obligacji , gdy wpływy z kuponów są inwestowane na bieżąco iw dostępne rynkowo instrumenty , których stopa zwrotu nie musi być równa stopie YTM pierwszego instrumentu.
Dalej ciągnąc tę myśl jest to ze wypłata nominału jest związaną z datą zapadalności. Różnica występuje gdy właściciel nominału zainwestowane chce go wyciągać przed data zapadalności. Właściciel konta bankowego zna wielkość nominału depozytu w każdym czasie bez względu na poziom stóp procentowych. W przypadku obligacji jedyne co może zrobić to sprzedać obligacje po cenach rynkowych. Inwestor w obligacje wie jedynie, że rynek obligacji stwarza możliwości i ryzyka związane z jego kapitałem w czasie do zapadalności.
Należy jeszcze zwrócić uwagę na jeden aspekt. YTM jako stopa procentowa w określeniu wartości przyszłej dzisiejszej inwestycji. W tym miejscu często popełniane są błędy. W określeniu wartości przyszłej stopa procentowa jest stopa po której zostanie zainwestowany ( reinwestowany) kupon w chwili kiedy stanie się dostępny. Mimo podobnej konstrukcji matematycznej, YTM nie jest prognozą stopy reinwestycji i nie może( chyba ,że przypadkowo) reprezentować stopy wzrostu wartości przyszłej. Tak naprawdę może reprezentować tą stopę tylko wtedy gdy reinwestycje nastąpią ze stopą równa stopie YTM.
Stopa YTM jest stopą określoną w danym dniu dla danej ceny. Jest niezwykle pomocnym instrumentem przy podejmowaniu decyzji ale nie jedynym parametrem uzasadniającym decyzje inwestycyjne.
RYZYKO STOPY PROCENTOWEJ
Krzywe dochodowości
Związek miedzy stopą zwrotu danej klasy obligacji a czasem życia tych papierów ilustruje krzywa rentowności. Ta zależność jest potocznie zwana czasowa strukturą stóp procentowych. Są rożne kształty krzywej dochodowości.
Krzywa opadająca, stała , rosnąca i z garbem. Typowy kształt krzywej to stopy procentowe dla dłuższych okresów są wyższe niż dla krótszych okresów. Wiąże się to z niepewnością odległej przyszłości, trudniejszym do przewidzenia zachowaniem gospodarki i uczestników rynku, nieprzewidzianych zdarzeń, za co jest przewidziana wyższa nagrodą dla odważnych inwestorów. W krótszym okresie wydaję się ,ze znane są wszystkie kluczowe fakty i łatwiej przewidzieć można to co może stać się na rynku i jest to już wkalkulowane w cenę ryzyka instrumentu.
Nachylenie krzywej ma tez znaczenie. Jeśli krzywa ma dodatnią stromiznę wskazuje to na oczekiwanie przez rynek wzrostu stóp. Jeśli jest stromo ujemna - może to wskazywać na oczekiwanie spadku stóp.
Są trzy teorie wyjaśniające kształty tych krzywych. Każda z tych teorii potrafi wyjaśnić każdy z zaprezentowanych kształtów krzywych ale wskazując na nieco inne mechanizmy i czynniki jako źródła kształtu. Są to teorie szalenie ciekawe wskazujące na bardzo złożony charakter procesów kształtowania równowagi miedzy ryzykiem rynkowym a jego cena Teorie te :
- Teoria Oczekiwań
- Teoria preferencji płynności
- Teoria segmentacji rynku.
Ryzyka inwestycji w obligacje.
Ryzyko inwestycji w obligacji wiążę się z kilkoma jego źródłami.
Ryzyko wiąże się z:
- Możliwością niedotrzymania umowy przez emitenta( ryzyko bilansu)( default risk)
- Zmianami cen obligacji na rynku związany ze zmianą stóp procentowych.
Pierwsze ryzyko można poznać albo przez dokładna analizę sytuacji finansowej emitenta wykonaną osobiście albo korzystając z ocen agencji ratingowej. Wykonanie analizy pozwala na dokonanie oceny ryzyka ale nie usuwa jego istnienia.
Ryzyko drugie czyli ryzyko zmian stóp procentowych wiążę się z obiektywnie istniejacymi na na rynku pieniężnym zmianami cen instrumentów. Rynek finansowyn podlega szeregowi wpływów a ceny obligacji , podobnie jak każdego instrumentu wycenianego przez rynek, reagują na każdą istotna informacje gospodarczą. Nawet intuicyjnie widać ,że ryzyko zmiany stóp procentowych dla obligacji jest większe im dłuższy jest czas życia tego instrumentu. Różne rodzaje obligacji są narażone na tego typu ryzyko w różnym stopniu. Najbardziej wrażliwe są ceny obligacji o stałym oprocentowaniu oraz obligacje o najdłuższych terminach do wykupu. Ryzyko wiąże się z niepewnością co do wielkości dochodu z obligacji w przyszłości, jak i możliwością niekorzystnej zmiany ich ceny. Ceny obligacji o stałym oprocentowaniu (w tym zerokuponowych) spadają, gdy rosną oficjalne i rynkowe stopy procentowe. Przy spadających stopach procentowych rosnąć będą ceny tych obligacji, ale także tych o zmiennym oprocentowaniu, które zapewniają odsetki wyższe niż nowo emitowane papiery.
Aby zilustrować mechanizm zmiany ceny obligacji przy zmianie stóp procentowych zanalizujmy poniższy przykład: Inwestor zakupił 10 letnią obligację oprocentowaną na 8% rocznie. Oznacza to tyle, że przez najbliższe 10 lat będzie otrzymywał roczne odsetki w wysokości 8 zł. To gwarantuje mu zakupiona obligacja, bez względu na poziom stóp procentowych na rynku. Niech wartość nominalna obligacji wynosi 100 PLN. Jednakże stopy procentowe zostały np. decyzją Rady Polityki Pieniężnej podniesione. Zaraz po tej decyzji emitent wypuścił nową obligację oprocentowaną na 10%rocznie. Inwestor widzi ,że jego inwestycja nie jest tak dobra jak byłaby nowa inwestycja w nową obligacje. Rozsądnie postępując powinien on sprzedać „starą” obligacje i kupić nową, bardziej dochodowa obligację. Ale jak sprzedać stara nisko oprocentowana gdy na rynku dostępne są obligacje o wyższej rentowności? Aby sprzedać Inwestor musi obniżyć cenę posiadanej obligacji tak by nowa cena kompensowała nabywcy niższe odsetki. Jest to możliwe gdy zaoferuję posiadaną obligację ( o wartoci nominalnej 100PLN) za 80 PLN. Przy takiej cenie nowy inwestor widzi ,że może kupić albo „stara „ obligacje za 80 PLN od Inwestora i przynoszącą 8 PLN rocznie ( czyli 10%) albo nową obligację z rynku o wartości 100 zł przynoszący 10 zł zysku. W każdym przypadku zarobi 10 procent. Czyli, przy takiej cenie obligacji może brać pod uwagę propozycje sprzedaży Inwestora.
Inwestor doznał konsekwencji ryzyka zmiany stopy procentowej i przy jej wzroście poniósł stratę na swojej inwestycji.
Związek między ceną obligacji a jej rentownością przypomina krzywa na rysunku obok. Jej pokazanie ma na celu pokazanie ,ze związek miedzy ceną a rentownością nie jest liniowy, gdyż aby podać jej cenę należy wyliczyć jej Po czyli wartość aktualną ze wzoru przytaczanego wcześniej gdzie stopa procentowa występuje w mianowniku ułamka dyskontującego. Kształt tej krzywej jest różny dla różnego czasu życia obligacji( w wyliczeniach należy wtedy brać pod uwag ę więcej okresów kuponowych czyli sumować więcej wyrazów w których stopa procentowa występować będzie w wyższych potęgach. Innymi słowy obligacje o długim okresie zapadalności mają bardziej stromą krzywa rentowność/ cena niż obligacje o krótkim okresie życia. Zatem są bardziej wrażliwe na zmiany rynkowych stóp procentowych niż te o krótszym życiu . Zatem czas do zapadalności nie jest najlepszą miarą wrażliwości obligacji.
Aby ocenić ryzyko zmiany stóp procentowych w przypadku obligacji można użyć kilku metod.
Dyskontując płatności generowane przez obligacje widzimy ,że wartość aktualna ( present) tych przepływów zachowuje się podobnie do schematu przedstawionego na rysunku. Ostatnie płatność to kupon wraz z nominałem. Duration (D) instrumentu o stałym dochodzie możemy zdefiniować jako średnią ważoną chwil czasowych, w których dokonywane są płatności gotówkowe. Wagami są wartości aktualna ( present) poszczególnych przepływów gotówkowych. Przypuśćmy, ze przepływy gotówkowe otrzymywane są w chwilach \(t1, t2, . . . , t_n\). Wtedy duration takiego strumienia płatności dane jest następująco:
\(D=\frac{PV(t_1)t_1+PV(t_2)t_2 + … PV(t_N)t_N}{P_o}\)
Gdzie :
\(\ P_o\) to wartość aktualna strumienia płatności czyli wartość obligacji
\(\ PV(t_i)\)- to wartość aktualna i- tej płatności kuponu w chwili \(t_i\)
Tak zdefiniowane duration (D) to średnia czasu wpłat ważonych ich wielkością. Zatem D będzie mieścić się miedzy pierwsza a ostatnią płatnością . Jest to średni ważony termin wykupu. Będzie to czas przypadający miedzy pierwsza a ostania płatnością . Dla obligacji zero kuponowej jest on równy czasowy życia czyli czasowi do zapadalności. Obligacja kuponowa będzie miała duration krótsze od czasu do zapadalności.
Duration według Macaulay’a - Duration obligacji przy kapitalizacji dyskretnej.
Cena obligacji jako aktualna wartość płatności generowanych przez obligacje opisana jest wzorem:
\(\ P_o=\sum\limits_{i=1}^n\frac{C_i/m}{(1+r/m)^i} +\frac{P_N}{(1+r/m)^n}\)
Jeśli policzymy pierwsza pochodna ceny względem stopy to otrzymamy:
\(\ dp/dr=\sum\limits_{i=1}^n\frac{(-i/m)C_i/m}{(1+r/m)^i+1} +\frac{P_N}{(1+r/m)^n+1}\)
Wyłączając czynnik 1/ 1+y/m przed nawias a następnie dzieląc obie strony przez cenę obligacji
Możemy przekształcić wzór do postaci:
\(\ ( dp/dr)1/P=\sum\limits_{i=1}^n\frac{(-i/m)C/m}{(1+r/m)^i} 1/P+\frac{P_N}{(1+r/m)^n}1/P\)
Porównują wyrażenie po prawej stronie równania widać, że jest to nic inne jak Duration D zdefiniowana już poprzednio jako średni ważony okres do zapadalności. Czyli, z dokładnością do znaku,
\((dp/dr)1/P=D\frac{1}{1+r}\)
Lewa strona równania określa elastyczność ceny względem zmiany stopy procentowej.
Rysunek obok ilustruje sens duration na wykresie lnP w zależności od ln stopy procentowej ( YTM)
Duration ilustruje stromość , nachylenie krzywej w punkcie r.
Zmodyfikowane duration \(M_D\)
Zmodyfikowane duration jest zdefiniowane jako:
\(\ M_D = \frac{D}{(1+r)}\)
Znaczy to, ze między ceną obligacji a zmodyfikowana duration zachodzi zwiazek :
\(\ \Delta P = -P M_D \Delta r \)
Wypukłość
O ile duration jest miarą pierwszego rzędu stopy procentowej bo mierzy nachylenie krzywej wartości bieżącej dla danej stopy YTM, to wypukłość jest miarą drugiego rzędu. Mierzy ona krzywiznę krzywej wartości bieżącej stopy procentowej. Duration służy do oceny ryzyka stopy procentowej. Lepsze wyniki można jednak uzyskać dodając wyraz drugiego rzędu rozwinięcia funkcji ceny obligacji P w szereg Taylora. Wyraz drugiego rzędu w tym rozwinięciu związany jest z wypukłością (convexity) obligacji i odpowiada za stopień krzywizny relacji ceny od wartości YTM.
Pojęcie wypukłości jest niezwykle przydatne przy omawianiu metod zarządzania portfelem obligacji.
Cena obligacji zależy od stopy procentowej, terminu zapadalności. Różniczkując dwukrotnie funkcje ceny obligacji względem r czyli
\(\ P_o=\sum\limits_{i=1}^n\frac{C_i/m}{(1+r/m)^i} +\frac{P_N}{(1+r/m)^n}\)
Rozwijając funkcje w szereg Taylora i ograniczając się do drugiego wyrazu rozwinięcia czyli
Można wykazać istnienie równości
\(\ F(x + \Delta x) = \ f(x) +\Delta x\frac{\delta f}{\delta x} + 1/2! \frac{\delta^2 f(x)}{\delta x^2}(\Delta x)^2\)
Gdy za funkcje f(x) użyjemy ceny obligacji, możemy rozwinięcie tej funkcji doprowadzić do postaci zapisu:
\(\ \Delta P_d =-MD P_d ( \Delta r) + (C/2)P_d ( \Delta r)^2\)
Gdzie C – jest wypukłością obligacji.
Można wykazać ,że wypukłość wzrasta z kwadratem zapadalności. Maleje ze wzrostem wartości kuponu i rentowności.
Rysunek obok pokazuje cechy tej miary ryzyka stopy procentowej na przykładzie dwu obligacji, obligacji A i obligacji B.
Obligacje te są na rynku w tej samej cenie i maja taką samą rentowność do zapadalności ( YTM) i maja taka samą „duration”. Obligacja B jest bardziej wypukła niż obligacja A. Obligacja B jest bardziej pożądana przez inwestorów w porównaniu z A. Dlatego ,ze będzie zawsze generować lepsze wyniki inwestycji bez względu na to co stanie się ze stopami na rynku. Jeśli, przykładowo stopy wzrastają , cena B spadnie mniej niż cena A, a jeśli stopy spadają , cena B rośnie więcej niż wzrasta cena A.
Wysoka wypukłość to niezwykle pożądana cecha obligacji.
Szacowanie ceny akcji
Akcje jako papiery wartościowe zostały omówione w szerzej w „ Rynkach finansowych” . Ze wspomnianego omówienia wynika m.in. ze akcje jako papier wartościowy są dokumentem uprawniającym posiadacza do czerpania praw z bycia Akcjonariuszem spółki akcyjnej, w tym prawa do udziału w potencjalnych zyskach spółki wypłacanych jako dywidenda.
Dla posiadacza akcji a szczególnie dla inwestora zamierzającego wejść w posiadanie akcji ważnym jest rozumienie finansowej struktury spółki zanim jeszcze weźmie pod uwagę cenę akcji. To rozumienie jest istotne albowiem akcjonariusz ma prawa do udziału w wartości spółki. O ile posiadacze papierów dłużnych mają prawo roszczenia do majątku spółki ( spłata zaciągniętych przez spółkę zobowiązań ,lub tez zaspokojenie roszczeń jeśli spółka nie jest w stanie spłacić długu) przed posiadaczami akcji. Posiadaczy zobowiązań dłużnych struktura finansowa spółki interesuje o ile ma wpływ na ryzyko posiadanego instrumentu. Akcjonariusza jako właściciele spółki są zainteresowani we wzroście jej wartości i taki cel wyznaczają zazwyczaj zarządzającym spółka . Akcjonariusze chcą mieć pewność, ze wartość spółki rośnie. Dlatego ich zainteresowanie spółką i jej finansami jest dużo większe niż posiadaczy wierzytelności dłużnych.
O ile posiadacz obligacji może łatwo porównać dwa papiery dłużne i jeśli posiadają ta sama wartość nominalną i taki sam sposób wypłacania odsetek i ten sam cza zapadalności to wie ,ze przepływy pieniężne wynikające z jedne z tych instrumentów będą takie same jak przepływy z drugiego. Jeśli z jednych przepływów potrafi wyznaczyć stopę dyskonta to może ją zastosować do drugiego instrumentu.
Posiadacze akcji mają bardziej skomplikowana sytuacje. Jeśli nawet dwie spółki maja taki sam zysk albo nawet taki sam rachunek przepływów pieniężnych to parametry wyliczone z dla jednej spółki nie bardzo nadają się do aproksymacji wyniku finansowego w drugiej spółce. Powodem tego jest inne zdefiniowanie planu kont i przyjętego sposobu księgowania zdarzeń finansowych. W przypadku akcji , do ich oceny wymagana jest znacznie głębsza znajomość operacji finansowych spółki.
Cena godziwa akcji.
Celem analizy fundamentalnej jest określenie godziwej ceny akcji. Jeśli jest znana, można ją porównać z ceną rynkową i ocenić czy bieżąca cena rynkowa jest:
- niższa ( akcja niedoceniona , warto kupić bo cena jej powinna wzrosnąć i można zarobić na różnicy miedzy dzisiejsza ceną kupna i przyszłą ceną sprzedaży)
- rynek ceni akcje wyżej niż jej wartość godziwa , więc cena jej spadnie w przyszłości . W takim razie albo jej nie kupujemy albo , jeśli posiadamy należy się jej pozbyć dziś bo w przyszłości jej cena będzie niższa.
Oczywiście jeśli właściwie wyceni się wartość godziwą biorąc pod uwagę istotne dla jej zachowania czynniki.
Generalnie przyjmuje się dwa sposoby podejścia do znalezienia ceny godziwej. Jedno podejście to ocena biorąc pod uwagę oczekiwaną dywidendę a drugie bierze pod uwagę oczekiwane zyski.
Model dyskontowania dywidendy
Wycena w oparciu o oczekiwaną dywidendę. ( jeden okres)
Inwestor kupuje akcje firmy na okres jednego roku. Kupując liczy na zysk w postaci dywidendy i wzrostu ceny akcji spółki. Analizując taką inwestycje przy założeniu ,że wielkość stopy dyskontowej dla inwestora jest r., cena dzisiejsza akcji będzie spełniać równanie:
\(\ P_o =\frac{(Di_1+P_1)}{1+r}\)
Gdzie
\(\ Di_1\) - to dywidenda wypłacona w pierwszym roku posiadania akcji
\(\ P_1\) - cena akcji po pierwszym roku
r – stopa dyskontowa inwestora.
Gdyby z tego równania wyliczyć stopę dyskontowa r to:
\(\ r = \frac{Di_1}{P_o}+ \frac{(P_1-P_o)}{ P_o}\)
Powyższe równanie wskazuje, że całkowita stopa zwrotu Inwestora składa się z dwu składników . Pierwszego oczekiwanego stopy zwrotu z dywidendy i z oczekiwane gej stopy zwrotu z inwestycji kapitałowej.
Przykład:
Inwestor spodziewa się wypłaty dywidendy w roku bieżącym w wysokości 1,80PLN za akcję, której wartość pod koniec roku osiagnie36 PLN, żądając od inwestycji stopy zwrotu 10%. Cena godziwa akcji to:
\(\ P_o = \frac {1,8+36}{1,1}= 34,4\)
Wycena w przypadku wieli okresów
Równanie ceny \(\ P_o = \frac {Di_1+P_1}{1+r}\) można przepisać w nieco innej równoważnej formie.
\(\ P_o = \frac {Di_1}{(1+r)}+ \frac{P_1}{(1+r)}\)
Jeśli inwestor zamierza zatrzymać akcje kolejny rok wtedy wyceniając jej cene otrzyma
\(\ P_1 = \frac {Di_2}{(1+r)}+ \frac{P_2}{(1+r)}\)
Wstawiając drugie równanie do pierwszego otrzymamy:
\(\ P_o = \frac {Di_1}{(1+r)}+ \frac{Di_2}{(1+r)^2} + \frac{P_2}{(1+r)^2} \)
Postępując podobnie kolejne razy otrzymamy ogólny wzór:
\(\ P_o=\sum\limits_{i=1}^n\frac{Di_i }{(1+r)^i} +\frac{P_N}{(1+r)^n}\)
Należy pamiętać, że jeśli akcje kupujemy na nieznany okres to należy traktować spółkę jako źródło dywidendy na okres nieskończony. Spółka bowiem nie ma zdefiniowanego czasu życia (no, może w szczególnym przypadku, który nie jest istotny dla istoty tej analizy).
Jeśli tak to w tym przypadku n= \(\infty\) to dla skończonej ceny w nieskończoności
Otrzymujemy
\(\ P_o=\sum\limits_{i=1}^n\frac{Di_i }{(1+r)^i} \)
Model powyższy określania ceny godziwej akcji jest zwany modelem dyskontowanej dywidendy.
Należy podkreślić w tym miejscu kilka aspektów stosowania modeli. Pierwszy aspekt , należy pamiętać, ze jest to model. Założenie nieskończonego życia spółki powoduje, ze wycenę dzisiejszej wartości spółki nie wymaga znajomości przyszłej ceny akcji. Model ten wskazuje ,ze w cenie aktualnej akcji są „zawarte” nieskończony ciąg przyszłych dywidend.
Wycena w oparciu o oczekiwany wzrost.
Jeśli w tytule wyczuwa się problem wzrostu czego to powód tego jest następujący.
Jeśli weźmie się do analizy zyski firmy to uwaga, ze firma niezwykle rzadko przeznacza cały zysk na dywidendę jest niezwykle trafna uwagą. Konsekwencja takiego myślenia jest, ze cena wyliczona z dywidend, które zazwyczaj są mniejsze niż zyski firmy może dać wartość mniejsza niż w oparciu o wzrost zysków. Ale dla tego modelu przyjmuje się jeszcze jedno założenie- jeśli zyski firmy rosną, to dywidenda też powinna rosnąc w tym samym tempie.
Przypadek stałego wzrostu. Wzrost zerowy dywidendy.
Załóżmy, że spółka płaci stała dywidendę nie ma szans na jej wzrost w rozsądnej przyszłości.
Czyli
\(\ Di_1\) = \(\ Di_2\)=.....=\(\ Di\)
Stąd stały strumień pieniądza generowany przez wypłatę dywidend do nieskończoności jako sumy szeregu nieskończonego daje wynik:
\(\ P_o = \frac {Di}{r}\)
Czyli renta wieczysta.
Innymi słowy cena akcji jest równa wartości wieczystej dywidendy dzielonej przez stopę dyskontową. Jeśli stopa dyskontowa jest stopą rynkową dyskonta ( właściwą dla ryzyka inwestycji w tą akcje) to tak uzyskana cena jest ceną rynkową. Chociaż liczba firm wypłacających w nieskończoność stałą dywidendę jest praktycznie raczej niewielka, to ten model jest przydatny do wyceny jeśli aktualnie wypłacane dywidendy nie zmieniają się od pewnego czasu. Z pewnością równanie takie można stosować dla wyceny akcji uprzywilejowanych ( co do wielkości wypłaty dywidendy).
Stały wzrostu. Wzrost większy od zera.
Powtarzając sposób myślenia zaprezentowany przez „David Blake- Financial Market Analysis -Mc Graw-Hill Book Company 1990str.135. Przyjmujemy ze dywidenda wzrasta z oku na rok o czynnik g.
Cena z modelu dyskontowego dywidendy jest
\(\ P_o=\sum\limits_{i=1}^n\frac{Di_i }{(1+r)^i} \)
Jeśli wzrost dywidendy jest stały możemy kolejne dywidendy zapisac korzystając z dywidendy okresu poprzedniego i czynnika wzrostu
\(\ Di_1=(Di_o )(1+g) \)
Gdzie
g - jest procentowym wzrostem dywidendy ( zysków)
W kolejnym roku
\(\ Di_2=(Di_1 )(1+g) \)
Czyli
\(\ Di_2=(Di_o )(1+g)^2 \)
Dla i- tego roku
\(\ Di_i=(Di_o )(1+g)^i \)
Wstawiając tak wyliczoną i- ta dywidende do wzoru na cene akcji w modelu dyskontowania dywidendy otrzymamy:
\(\ P_o=\sum\limits_{i=1}^n\frac{Di_o (1+g)^i}{(1+r)^i} \)
Niech
\(\ (1+h)=\frac{(1+g)}{(1+r)} \)
Czyli
\(\ \sum\limits_{i=1}^n(1+h)^i \)
Dla n= \(\infty\) i jeśli stopa wzrostu czyli współczynnik g jest mniejszy od stopy dyskonta.
Otrzymujemy sumę ciągu geometrycznego
\(\ \sum\limits_{i=1}^n(1+h)^i=-\frac{(1+h)}{h}= \frac{(1+g)}{(r-g)} \)
Wstawiając ten wynik do wzoru na cenę akcji uzyskujemy:
\(\ P_o=\frac{Di_o (1+g)}{(r-g)}= \frac{Di_1}{(r-g)} \)
To ostatnie równanie jest zwane równaniem modelu Gordona i jest najczęściej stosowanym równaniem dla dywidendowej wyceny. Nazwa równanie Gordona jest przyjęte w literaturze mimo, kilka lat wcześniej równoważny model została zaprezentowany przez J.B.Williams’a w „Theory of Investment Value”( Cambridge, MA: Harvard University Press, 1938).
Na pytanie co w przypadku gdy g jest większe od r??? odsyłamy do rozważań przedstawionych w pozycjach: Ramesh Rao „Financial Management” –Uniwersity of TexasSoth Western College Publishing1995i lub R.A.Brealey, S.T.Myers-„ Priciple of corporate Finance” McGraw HillComp-1996.
Wycena opcji
Jak pisaliśmy wcześniej, wycena instrumentu finansowego to termin odnoszący się do obliczenia wartości tego instrumentu w chwili bieżącej. W przypadku instrumentu pochodnego jest to zadanie niezwykle trudne, gdyż trzeba uwzględniać wiele specyficznych warunków definiujących ten instrument oraz oszacować prawdopodobieństwo przyszłego zachowania się instrumentu bazowego, stóp procentowych itp. Na ogół nie jest możliwe uzyskanie zwartych analitycznych formuł i trzeba zadowolić się pewnymi uproszczonymi modelami. Zilustrujemy to ma przykładzie opcji europejskiej na akcję nie przynoszącą dywidendy. Czytelnika zainteresowanego wyceną "bardziej skomplikowanych" jesteśmy zmuszeni odesłać do literatury specjalistycznej (ostrzegamy, że w wielu przypadkach nie jest znane rozwiązanie problemu). Modele wyceny opcji można podzielić na dwie kategorie:
- modele z czasem dyskretnym
- modele z czasem ciągłym.
W modelach z czasem dyskretnym przyjmuje się, że cena instrumentu bazowego "sprawdzana" jest w pewnych odstępach czasu określanych poprzez podział czasu życia opcji na skończoną liczbę podokresów. W każdym z takich podokresów rozważamy wszystkie możliwe w danym modelu ruchy cen i tworzymy graf (drzewo) opisujący wszystkie możliwe trajektorie "ścieżki"