Z Skrypty dla studentów Ekonofizyki UPGOW
(→Portfel – poszukiwanie portfela efektywnego) |
(→Ryzyko a efektywności zarządzania portfelem instrumentów finansowych) |
||
| Linia 1: | Linia 1: | ||
| + | [[Plik:kl.png|200px|thumb|left|Instrumenty rynków finansowych]][[Plik:Ue.png|200px|thumb|right|Instrumenty rynków finansowych]] | ||
| + | |||
| + | <center>Projekt finansowany przez</center> | ||
| + | |||
| + | |||
| + | |||
| + | |||
| + | |||
| + | |||
| + | |||
| + | |||
==Ryzyko a efektywności zarządzania portfelem instrumentów finansowych== | ==Ryzyko a efektywności zarządzania portfelem instrumentów finansowych== | ||
===Ryzyko i niepewność.=== | ===Ryzyko i niepewność.=== | ||
Wersja z 12:03, 7 maj 2010
Spis treści |
Ryzyko a efektywności zarządzania portfelem instrumentów finansowych
Ryzyko i niepewność.
Ceny instrumentów finansowych zmieniają się w czasie Zależne są bowiem od wielu czynników. Bardzo rzadko się zdarza taki instrument i taka sytuacja na rynku ,ze wszystkie czynniki mające wpływ na cenę instrumentu są znane. A nawet gdyby założyć, ze znane są wszystkie czynniki jakie mają wpływ na cenę instrumentu to nie wiadomo czy informacje te dotarły do wszystkich uczestników rynku. Gdyby nawet dotarły to i tak nie jest pewne jak zostały by potraktowane przez innych inwestorów, czy i które uznali by za ważne. A ich decyzje inwestycyjne tworzą podaż i popyt na instrumenty , co głównie ma wpływ na cenę instrumentu. Jeśli dotychczas wywód nie budzi sprzeciwów to zapewnie nie wzbudzi sprzeciwu następujące stwierdzenie.
Na rynku nie pewności co do przyszłej ceny instrumentu. Popularnie mówi się ,ze „tylko rynek zna cenę”. Stwierdzenie to wskazuje na duża pokorę doświadczonych uczestników rynków i potwierdza ich stan niepewności. Cena rynkowa to cena ostatniej takiej samej transakcji. Ale i dzisiejsza cena aktywa nie gwarantuje znajomości jego jutrzejszej ceny. Nie gwarantuje przyszłej ceny.
Na pewno można się zgodzić, że istnieje stan niepewności i niepewność istnieje obiektywnie.
Często spotykać się można ze słowem ryzyko. Ze zdefiniowaniem tego terminu jest jeszcze większy kłopot i filozofowie na ten temat spierają się do dziś.
Z ryzykiem spotkać się można w każdym aspekcie życia a szczególnie w działalności gospodarczej. Intuicyjnie można przyjąć ,że ryzyko to wymierna niepewność co do osiągnięcia zaplanowanego celu( prawdopodobieństwo niepowodzenia), odmiennego przebiegu zdarzeń), którego konsekwencje są negatywne co do oczekiwań. Jak widać ryzyko wiąże się z niepewnością. Jednak odwrotne stwierdzenie nie jest prawdziwe. Można mówić o, i odczuwać niepewność ale dopiero podjecie decyzji powoduje istnienie ryzyka. Ryzyko wiąże się oceną i najczęściej z oceną prawdopodobieństwa przebiegu procesu . Ocena prawdopodobieństwa bowiem jest podstawa podjęcia decyzji.
W Pomarańczowej Księdze- opracowanie dotyczącym ryzyka i zarządzaniu nim jako o minimalizowaniu jego ewentualnych negatywnych skutków wydanej przez Ministerstwo Skarbu Jej Królewskiej Mości
Uczestnicy rynków finansowych traktują ryzyko jako realna i istotna cześć ich działań i nie starają się wgłębiać w dyskusje filozoficzne ale raczej starają się ograniczać negatywne scenariusze ich wyborów poprzez działania nazywane zarządzaniem ryzykiem. Nic dziwnego stosują wybieg zastosowany przez Markowitza w jego pracy doktorskiej> Markowitz nie definiując ryzyka , zaproponował stwierdzenie ,które legło u podstaw myślenia o portfelu , inwestowaniu i ryzyku. …”inwestor bierze pod uwagę( lub powinien brać pod uwagę )-oczekiwany zwrot na inwestycji jako rzecz która chce osiągnąć i wariancje tego zwrotu jako rzecz niezamierzoną” …
Markowitz zaproponował cos bardzo atrakcyjnego- miarę ryzyka jako wariancje . Wariancje uzyskiwanego przychodu, ceny instrumentu etc.
pomiar wielkości, nawiazanie do doświadczeń własnych.
Jest to bardzo użyteczne podejście ,które tez będzie podejściem używanym na dalszych kartach tego opracowania.
W miejscu tym należy wspomnieć o wiadomościach które były niezwykle przydatne w wykonywaniu ćwiczeń na I pracowni fizycznej. A szczególności z tym co wiązało sie z analiza błędów mierzonych wielkości. Jak wiadomo każdy pomiar wielkości jest związany z błędem , wiec zachodzi pytanie jaka jest prawdziwa wielkość?
Odpowiedz uzyskujemy poprzez wielokrotny pomiar wielkości i analizę otrzymanych wyników.
Jeśli \(\ r_i \) to wynik kolejnego pomiaru jednego z n- pomiarów
To wartość średnia \(\ r_a \) jest równa
\[\ r_a= \sum\limits_{i=1}^n\frac{r_i}{n}\]
Odchylenie standardowe to dla tego zbioru wyników pomiarów (a właściwie jego kwadrat)
\[\sigma^2= \sum\limits_{i=1}^n\frac{(r_i-r_a)^2}{n}\]
Czyli
\[\sigma= \sqrt {\sum\limits_{i=1}^n\frac{(r_i-r_a)^2}{n}}\]
Przykład:
Prędkość chodziarza mierzona w km/ godz wynosiła: 9.6, 9.8, 10, 9.9, 10.1, 9.8, 9.9, 9.7, 10, 10.2
Czyli wartość średnia \(\ v_a\)= 9,9
Odchylenie standardowe \(\sigma \) wynosi 0,18
Z obserwacji i pomiarów wynika, że prawdziwa wartość prędkości z 68% prawdopodobieństwem będzie znajdować się w przedziale od miedzy 9,72 a 10,08 a z 95%pewnością będzie znajdować się miedzy 9,54 a 10,2.
Błędy pomiarowe tworzą bardzo charakterystyczny kształt rozkładu. Wartości większe od wartości rzeczywistej i mniejsze od niej wystąpią z różnym prawdopodobieństwem tworząc pewien rozkład symetryczny wokół średniej nazwany „krzywą dzwonowa”. Taka typowa krzywa jest pokazana na rysunku obok.
Średnie odchylenie standardowe wyznacza obszar w którym z 68% prawdopodobieństwem będzie można znaleźć wartość realna a zakresie 2 x \(\sigma \) można znaleźć te wielkośc z prawdopodobieństwem równym 95%.
Ryzyko a praktyka rynkowa.
Ryzyko towarzyszy każdej działalności człowieka. Przeważnie intuicyjnie wiązane jest ze stratą a raczej z jej możliwością wystąpienia. Ryzyko nie jest zjawiskiem absolutnie złym. Gdyby nie istniało, nie istniały by emocje rynków finansowych, instytucje ubezpieczeniowe nie miały by racji bytu, i powtarzając za F. Knight’em
Jednak, mało kto uważa ryzyko za zjawisko korzystne. Ryzyko oznacza przecież niepewność efektów działań, możliwość straty.
Czy można je ograniczać, skoro nie można go wyeliminować?
Metodami ograniczania ryzyka są: unikanie ryzyka ,transfer ryzyka do innego podmiotu, zmniejszanie prawdopodobieństwa ryzyka i zmniejszanie skutków ryzyka. Unikanie ryzyka niestety oznacza rezygnację z potencjalnych zysków. inwestor, który by unikał wszelkiego ryzyka, trzymał by pieniądze w bezpiecznym sejfie a inflacja zmniejszałaby ich wartość. Transfer ryzyka kosztuje ale i pozwala na zachowanie szans na zyski. Można ograniczać prawdopodobieństwo wystąpienia ryzyka poprzez posiadanie wiedzy o rynku i zachowaniu się instrumentów finansowych. Można też starać się ograniczać rozmiar ewentualnej szkody( ubezpieczenie i zabezpieczenie). Takie działania też powodują powstanie dodatkowych kosztów. Ważnym jest by koszty te były mniejsze niż efekt uzyskanego obniżenia prawdopodobnych strat.
Natura ryzyka na rynkach finansowych.
Ryzyko operacji na rynkach finansowych ma wiele postaci i wiele źródeł pochodzenia.
Literatura fachowa podaje wiele ich klasyfikacji. Przykładowo zaproponowana przez Bank Rozrachunków Międzynarodowych (Bank for International Settlements – BIS)
BIS zaproponował wyodrębnienie pięciu podstawowych pod kategorii ryzyka finansowego:
- ryzyko kredytowe – rozumiane jako ewentualność, ze Klient, druga strona transakcji może nie wywiązać się z warunków umowy.
- ryzyko rynkowe – wiąże się z możliwością zmiany cen instrumentów na rynkach finansowych co w konsekwencji prowadzi do zmiany wyniku finasowego transakcji.
- ryzyko płynności – a właściwie jej braku. Ryzyko to może dotyczyć instrumentu lub strony transakcji. Ryzyko braku płynności instrumentu występuje jeśli warunki rynkowe uniemożliwiają dokonanie transakcji kupna/sprzedaży danego instrumentu (np. mała aktywność w tym segmencie rynku, brak notowań), Ryzyko barku płynności strony transakcji ( instytucji) wystepuje jeśli dana instytucja nie posiada w danym momencie środków płynych na wywiazanie się z warunków umowy.
- ryzyko operacyjne – to zagrożenie możliwości osiągnięcia zamierzonych celów w wyniku błędów funkcjonowania, usterek systemów informacyjnych błędach pracowników, niewłaściwej kontroli wewnętrznej instytucji finansowej.
- ryzyko prawne – to ryzyko poniesienia straty z powodu niewłaściwej dokumentacji, złych zapisów w umowach, konfliktu interpretacji prawnych czy systemów prawnych.
Źródło definicji ( Bank for International Settlement) jest wiodącym źródłem dla zasad zarządzania ryzykiem obowiązujących banki. Banki operują głównie kapitałem klientów wiec szczególna ostrożność prowadzenia operacji jest wymagana. Bezpieczeństwo systemu bankowego i jego operacji zostało omówione w rozdziale „Bezpieczeństwo systemu finansowego- Rynki Finansowe. Zarządzanie ryzykiem banki opierają na zasadach Nowej Umowy kapitałowej ( Basel II). W kształtowaniu zarządzania ryzykiem Bank BIS odgrywa wiodąca rolę.
Inwestor w swych operacjach na rynkach finansowych spotkać się może z ryzykami powodującymi inne od zamierzonego efektami prowadzonych operacji inwestowania. Biorąc pod uwagę instrumenty finansowe to wiążące się z nimi ryzyk można pogrupować:
- Ryzyka związane ze zmiennością na rynkach finansowych
- Ryzyko stopy procentowej– dotyczy inwestycji w instrumenty dłużne. Jeśli , na rynku finansowym zmieniają sie stopy procentowe, to taka zmiana powoduje to zmiany stóp dochodu z posiadanych instrumentów. Inne dochody powodują inna wycenę wartości instrumentów.Wzrost stopy procentowej powoduje spadek ceny instrumentu dłużnego, a spadek stopy procentowej wzrost ceny instrumentu.
- Ryzyko zmiany kursów walut– występuje, gdy instrument finansowy, jest denominowany w innej walucie niż waluta rozliczania instrumentu. Zmiany kursu walutowego powodują to , że stopy zwrotu wyrażone w dwóch różnych walutach nie są takie same.
- Ryzyko inflacji, – występuje wtedy, gdy inflacja zmienia siłę nabywcza dochodu z inwestycji.
- Ryzyko rynku – to ryzyko zmiany ceny na rynkach finansowych. Ceny na rynkach finansowych zmieniają sie pod wpływem wielu czynników zarówno fundamentalnych ( czynniki gospodarcze) jak i emocji uczestników rynku.
- Ryzyko braku płynności instrumentu – występuje w przypadku instrumentów finansowych handlowanych rynku o niewielkiej aktywności uczestników. A takich rynkach instrumenty stosunkowo trudno jest sprzedać po godziwej cenie.
- Ryzyka wiążące się z zachowaniem drugiej strony transakcji.
- Ryzyko niedotrzymania warunków emisji instrumentu (default risk) – występuje wtedy, gdy emitent instrumentu finansowego nie może dotrzymać warunków umowy emisji. Przykładowo - nie wypłaca odsetek( instrument dłużny).
- Ryzyko zarządzania– wynika błędów w zarządzania spółką emitującą papiery wartościowe mających wpływ na uzyskiwane przez nią wyniki finansowe , co w rezultacie przekłada się na wartość instrumentu finansowego. Skrajną formą tego ryzyka jest ryzyko bankructwa emitenta.
- Ryzyko finansowe– występuje jeśli skutkiem błędów w zarządzaniu lub zmiany otoczenia rynkowego spółki jej lewarowanie długiem powoduje straty w wyniku finansowym.
- Ryzyko braku płynności emitenta- wiąże się z wystąpieniem braku możliwości do wypełnienia zobowiązań finansowych emitenta w terminie.
- Ryzyko biznesu– nazywane ryzykiem operacyjnym, wynika ze zmienności dochodów uzyskiwanych przez emitenta instrumentu finansowego skutkiem zmiany otoczenia rynkowego emitenta lub błędów w zarządzaniu.
- Ryzyka otoczenia rynków.
- Ryzyko polityczne – występuje wtedy, gdy rząd, parlament lub inne władze uchwalają regulacje prawne lub podejmuje decyzje dotyczące wpływające na sytuacje inwestorów, lub emitentów (np. decyzje dotyczące opodatkowania) lub . Ryzyko polityczne może występować w skali ponad państwowej ( konflikty polityczne, wojny) .
Instrumenty finansowe. Ryzyko i jego miary.
Inwestor podejmując decyzje inwestowania kapitału ( allokacji) ocenia poziom dochodu, jakiego może się spodziewać z danej inwestycji oraz ocenia wielkość ryzyka związanego z inwestycją. Stopa zwrotu z inwestycji jest podstawową miarą określającą wielkość dochodu przypadającego na każdą jednostkę zainwestowanego kapitału. Jest ona zdefiniowana jako:
- \(\ R_i=\frac{P_i - P_o}{P_o}\)
gdzie: Ri – stopa zwrotu instrumentu finansowego w okresie i, P0 – wartość początkowa instrumentu finansowego (znana), Pi– wartość końcowa instrumentu finansowego (zmienna losowa). Oczekiwana stopa zwrotu, która w tym przypadku pełni rolę średniej ważonej możliwych do osiągnięcia stóp zwrotu (wagami są prawdopodobieństwa zrealizowania tych stóp), może być liczona jako miara dochodu wyznaczona na podstawie rozkładu stopy zwrotu: \[\ R= \sum\limits_{i=1}^n p_i r_i\] gdzie: R – oczekiwana stopa zwrotu,
pi – prawdopodobieństwo uzyskania i-tej możliwej wartości stopy zwrotu,
ri – i-ta prawdopodobna do uzyskania wartość stopy zwrotu,
n – ilość możliwych do uzyskania wartości stopy zwrotu.
Jeśli nie jest znany rozkład stóp zwrotu można posłużyć się przybliżeniem średniej arytmetycznej. Średnią arytmetyczną stóp zwrotu wyliczyć można w następujący sposób:
\[ R=1/n \sum\limits_{i=1}^n\ r_i\]
gdzie: ri – stopa zwrotu instrumentu finansowego (aktywu) zrealizowanego w okresie i, n – liczba okresów z których pochodzą dane.
Miary ryzyka- Odchylenie standardowe
Wariancja stopy zwrotu.
Wariancje stopy zwrotu wylicza się jako:
- \( S= \sum_{i=1}^n p_i (r_i - r)^2\)
Ze wzoru wynika, że wariancja stopy zwrotu papieru wartościowego jest to średnia ważona z kwadratów odchyleń możliwych stóp zwrotu od oczekiwanej stopy zwrotu, gdzie wagami są prawdopodobieństwa wystąpienia możliwych stóp zwrotu. Wariancja jest liczbą dodatnią.
Odchylenie standardowe.
Odchylenie standardowe stopy zwrotu inwestycji jest pierwiastkiem kwadratowym z wariancji stopy zwrotu i jest wyznaczane według następującego wzoru:
\[\sigma = \sqrt {S} = \sqrt{\sum_{i=1}^n p_i (r_i - r)^2}\]
gdzie: \(S\) - wariancja stopy zwrotu papieru wartościowego,
\(p_i\) – prawdopodobieństwo osiągnięcia i-tej możliwej wartości stopu zwrotu,
\(r_i\) - i-ta możliwa wartość stopy zwrotu,
\(r\) – oczekiwana stopa zwrotu danego papieru wartościowego.
Odchylenie standardowe stopy zwrotu wskazuje, o ile przeciętnie odchylają się przeciętne możliwe stopy zwrotu od oczekiwanej stopy zwrotu. Im wyższe odchylenie standardowe, tym większe ryzyko związane z daną inwestycją Odchylenie standardowe jest obliczane jako pierwiastek kwadratowy z wariancji i podawane jest w takich samych jednostkach jak badana cecha. Przyjmuje wartości dodatnie
Odchylenie standardowe będzie równe 0, gdy wszystkie dane podlegające obserwacji będą jednakowe. W takiej sytuacji ryzyko nie będzie występowało. Przy odchyleniu standardowym można także wyznaczyć typowy obszar zmienności stopy zwrotu, który odnosi się do 68% wartości wszystkich jednostek badanej cechy mieszczącej się w tym przedziale. Czyli podobnie jak to ma miejsce w rachunku błędów, stopa zwrotu w i-tym okresie będzie sie różnić od średniej stopy zwrotu o (+/-) odchylenie standardowe z prawdopodobieństwem 68%, a z prawdopodobieństwem 95% będzie różnić się od średniej o (+/-)2 razy odchylenie standardowe.
Odchylenie standardowe jako miara ryzyka.
Ryzyko całkowite definiowane jest jako całkowita zmienność stóp zwrotu z danego waloru. Miarą ryzyka w tym ujęciu jest odchylenie standardowe (σ) oraz wariancja. Odchylenie standardowe stopy zwrotu obliczane jest według wzoru:
\[\sigma= \sqrt {\sigma^2} = \sqrt {\frac {\sum_{i=1}^n(r_i-E(r))^2}{n-1}}\]
gdzie:
\(\sigma^2\)– wariancja stopy zwrotu
ri – stopa zwrotu uzyskana w i-tym okresie
E( r) - oczekiwana stopa zwrotu
n - liczba okresów
Ryzyko całkowite (mierzone wariancją lub odchyleniem standardowym stopy zwrotu) składa się z dwóch części – ryzyka dywersyfikowalnego oraz niedywersyfikowalnego. Ryzyko dywersyfikowalne (też: niesystematyczne) to ta część ryzyka całkowitego, która jest charakterystyczna dla emitenta danego papieru wartościowego. Istnieje możliwość redukcji tego rodzaju ryzyka poprzez łączenie różnych walorów w zdywersyfikowany portfel. W przeciwieństwie do ryzyka dywersyfikowalnego, ryzyko specyficzne nie może zostać wyeliminowane.
Model (W.F.) Sharpe’a
Punktem wyjścia rozważań przeprowadzonych przez W.F. Sharpa była obserwacja dotycząca zachowania się kursu akcji a zachowanie się rynku. Nie można się nie zgodzić z tym, że gdy rynki wzrastają bardzo prawdopodobnym jest ,ze kurs upatrzonej przez nas akcji też wzrasta. W czasie hossy kursy akcji rosną. Oczywiście nie wszystkich akcji tak samo i niekonieczie wszystkie rosną, jednak taka obserwacja jest prawdziwa. Sharp założył, że stopy zwrotu z akcji zależą od działania czynnika rynku. Miarą tego czynnika może być indeks rynku giełdowego. ( Takim indeksem może być np. dla polskiego rynku akcji- np.WIG 20). Rzeczywiście wzrostowi indeksu towarzyszy wzrost cen większości akcji, a spadkowi – spadek większości notowań. Sharp zaproponował swój model ceny akcji w którym powiazał stope zwrotu z instrumentu( np. akcji), z zachowaniem się indeksu. Zależność między stopą zwrotu z akcji a stopą zwrotu z rynku wyraża następujące równanie:
\[r_i=\alpha_i+\beta_ir_m+U_t\]
gdzie:
\(r_i\) – stopa zwrotu z i-tej akcji,
\(r_m\) – stopa zwrotu z rynku mierzona stopą zwrotu z indeksu giełdowego,
\(\alpha_i\), \(\beta_i\) – parametry strukturalne równania,
\(U_t\) – składnik losowy równania.
Współczynnik beta.
Parametr ten pozwalana porównanie jak wybrany instrument zachowuje się w relacji do zachowania rynku. Gdy współczynnik ten równy 1, wskazuje to na pełną, dodatnia korelację z rynkiem. Instrument zachowuje się jak rynek.
Współczynnik \(\beta\) >1 oznacza, instrument zachowuje się bardziej radykalnie niż rynek ( wzrasta szybciej i spada szybciej) . Stopa zwrotu z takiego instrumenty jest przypadku bardzo podatna na zmiany zachodzące na rynku. Tak zachowujące się instrumenty nazywa się agresywnymi.
Współczynnik β > 0, ale mniejszy od 1 oznacza , że stopa zwrotu z instrumentu jest w mało podatna na zmiany rynku. Takie instrumenty nazywa się defensywnymi.
Współczynnik β = 0 oznacza brak podatności na zmiany rynku. Tak zachowuje się instrument wolny od ryzyka np. obligacja skarbu Państwa.
Ujemne wartości współczynnika β oznacza korelację negatywną.
Wartość współczynnika β można wyznaczyć korzystając ze wzoru:
\[\beta= \tfrac{\sum_{i=1}^n (r_mt - r_m)(r_it-r_i)} {\sum_{i=1}^n (r_mt-r_m)^2}\]
gdzie: t – okres na którego podstawie wyznacza się parametry równania,
ri i rm - średnie stopy zwrotu, odpowiednio z akcji i rynku.
Stała alfa można wyliczyć przekształcając wzór do postaci:
\[\alpha= r_i - \beta_ir_m\]
Współczynnik \[\beta\] jest miara ryzyka instrumentu związanego z ryzykiem rynku.
\(\beta\) jako miara ryzyka systematycznego.
Ryzyko systematyczne (niedywersyfikowalne) to ta część całkowitej zmienności stóp zwrotu, która spowodowana jest czynnikami jednocześnie wpływającymi na ceny wszystkich instrumentów. Źródłem tego rodzaju ryzyka są zmiany w gospodarczym, politycznym i społecznym otoczeniu rynków. Ze względu na systematyczny charakter tego typu zmian, nie można ich wyeliminować za pomocą dywersyfikacji. Miarą niedywersyfikowalnego ryzyka jest współczynnik beta. rynkowego. Inaczej możemy go zapisać:
\[\beta_i= \frac {cov(r_i ,r_m)}{var(r_m)}\]
gdzie:
\(\beta_i\) beta instrumentu
cov (ri, rm)- kowariancja między stopą zwrotu z papieru wartościowego a stopą zwrotu z portfela rynkowego
var (rm)- wariancja stopy zwrotu z portfela rynkowego.
Portfel instrumentów finansowych.Ryzyko, dywersyfikacja.
Do tego miejsca mówiąc o inwestycji mówiliśmy o inwestycji w instrument finansowy. Gdyby jednak inwestycje w kilka instrumentów finansowych potraktować jako jedność to mięlibyśmy do czynienia z portfelem. Nawet kierując się wyłącznie intuicja widać, ze gdyby posiadany kapitał zainwestować w kilka różnych instrumentów a nie w kilka takich samych instrumentów to szansa na poniesienie straty jest mniejsza go można spodziewać się ,ze któryś z instrumentów przyniesie zysk jeśli nawet jakiś inny wygeneruje stratę. Jeśli mamy w portfelu jeden rodzaj instrumentu i on wygeneruje stratę , to jej wymiar jest równy wielokrotności posiadanego instrumentu.
Proces dobierania instrumentów do portfela w celu zmniejszenia całkowitego ryzyka portfela beż zmniejszania zwrotu tegoż portfela nazywa się dywersyfikacją.
Portfel w warunkach rynkowych, Miary ryzyka.Dywersyfikacja.
Zwrot z portfela to średnia ważona zwrotów poszczególnych instrumentów wchodzących w skład portfela. Wagami w tym przypadku są ważone wartością udziały poszczególnych instrumentów w portfelu.
\[\ r_p= \sum\limits_{i=1}^n\theta _i r_i\]
Gdzie :
rp – zwrot z portfela
n- liczba instrumentów w portfelu
ri- zwrot na i-tym instrumencie
\( \theta _i\)- wazony wartością udział w portfelu instrumentu.
Oczekiwany zwrot na portfelu jest do wyliczenia jako ważona kapitałem średnia zwrotów z poszczególnych instrumentów
\(r_{ap}= \sum\limits_{i=1}^n\theta _i r_{ai}\)
Gdzie :
rap = E(rp)=- oczekiwany zwrot z portfela
rai= E(ri)= oczekiwany zwrot na i- tym instrumencie.
Wariancja zwrotu z portfela jest do wyliczenia używając dwu ostatnich wzorów:
\(\sigma_p^2=E(r_p-r_{ap})^2=E[\sum\limits_{i=1}^n\theta_i(r_i-r_{ap})]^2= \sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{j=1}^n\theta_i\theta_j\sigma_{ij}=\sum\limits_{i=1}^n \sum\limits_{j=1}^n\theta_i\theta_j\sigma_i\sigma_j\rho_{ij}\)
Gdzie:
\(\sigma_p^2\) = wariancja zwrotu na portfelu
\(\sigma_{ij}=\sigma_i^2=E(r_i-r_{ai})^2\)=wariancja zwrotu na i-tym instrumencie
\(\sigma_i= \sqrt E(r_i-r_{ai})^2\)= odchylenie standardowe zwrotu na i- tym instrumencie.
\(\sigma_{ij}=E(r_i-r_{ai})(r_j-r_{aj})\)= kowariancja zwrotów instrument i-tego z j-tym.
\(\rho_{ij}=(definicja)=\frac {\sigma_{ij}}{\sigma_i\sigma_j}\) = współczynnik korelacji zwrotów na i-tym i j-tym instrumencie.
Jak widać zwrot na portfelu i jego ryzyko zależy od dwu grup czynników: zwrotów i ryzyk poszczególnych instrumentów. O ile zwroty instrumentów zalezne sa od rynku i nwestor ma na nie ograniczony wpływ to grupa ryzyk instrumentów zależy od ryzyka poszczególnych instrumentów , do czego warto zastosowac wszelkie wiadomości zwiazane z natura ryzyka instrumentu finansowego zawarte w poprzednim rozdziale , ale,, Pojawił sie nowy czynnik. Czynnikiem tym jest dywersyfikacja, czyli dobór instrumentów do portfela. Ryzyko bowiem portfela wiąże sie z korelacjami miedzy instrumentami.
Rozpatrzmy przykładowo dywersyfikacje w przypadku gdy zwroty z instrumentów są w pełni skorelowane dodatnio.
Dla uproszczenia rozważmy portfel składający się z dwu instrumentów i przy założeniu, że \( \rho_{ij}=1\). Innymi słowy zwroty z każdego z instrumentów rośną lub maleją zawsze razem. Oczekiwany zwrot z przykładowego portfela jest niezmienny \[\ r_{ap}=\theta_1r_{a1}+\theta_2r_{a2}\]
Wariancja wyniesie
\[\sigma_p^2=\theta_1^2\sigma_1^2+\theta_2^2\sigma_2^2+2\theta_1\theta_2\sigma_1\sigma_2= (\sigma_1\theta_1+\theta_2\sigma_2)^2\]
Podczas gdy odchylenie standardowe wynosi
\[\sigma_p=\theta_1\sigma_1+\theta_2\sigma_2,\]
Jak widać z powyższych wzorów, gdy \(\rho_12=1\) to \( r_{ap}\) i\(\sigma_p\) są liniowo zwiazane z sobą jak \(\theta_1 \) i \(\theta_2\).
Jak widać w takim przypadku nie występuje zmniejszenie ryzyka portfela . Taka dywersyfikacja nie ma sensu ze względu na ryzyko.
Przykładowy portfel(2) gdy zwroty z instrumentów są w pełni skorelowane ujemnie.
Gdy \(\rho_{12}= -1\) , zwroty z instrumetów zachowują się przeciwnie. Oczekiwany zwrot jest co prawda taki jak wyliczony poprzednio ale ;
\[\sigma_p^2=\theta_1^2\sigma_1^2+\theta_2^2\sigma_2^2-2\theta_1\theta_2\sigma_1\sigma_2= (\sigma_1\theta_1-\theta_2\sigma_2)^2\]
A odchylenie standardowe
\[\sigma_p=\theta_1\sigma_1-\theta_2\sigma_2\]
Co znaczy , że , biorąc pod uwagę \(\theta_1=(1-\theta_2)\)
To
\[\theta_1= \frac{\sigma_2}{\sigma_1+\sigma_2}\]
A
\[\theta_2= \frac{\sigma_1}{\sigma_1+\sigma_2}\]
A w takim przypadku portfel nie zawiera ryzyka albo inaczej jego ryzyko wynosi zero.
Czyli taka dywersyfikacja ma sens.
Przykład 3. Dywersyfikacja gdy zwroty z instrumentów są nieskorelowane.
W praktyce niezmiernie rzadko się zdarza by instrumenty w portfelu były w pełni skorelowane ujemnie . Jest to zasada zabezpieczenia się przed ryzykiem rynkowym w przypadku używania kontraktów terminowych i opcji., ale w praktyce zarządzania portfeli inwestycji rynkowych np. funduszy inwestycyjnych czy portfeli dedykowanych ( asset management) taka sytuacja występuje bardzo rzadko.
Niemniej jednak jeśli w portfel znajduje się wiele instrumentów a ich dochody nie są z sobą w pełni dodatni skorelowane to taka dywersyfikacja daje pozytywne wyniki. Jak dotąd dla uproszczenia omawiane były portfele składające się dwu instrumentów . Obecnie korzyści z dywersyfikacji poprzez budowę portfela składającego się z wielu nieskorelowanych instrumentów. Niech N instrumentów znajduje się w portfelu.
W tym przypadku odchylenie standardowe portfela wynosi:
\[\sigma_p= \sqrt{ \theta_1^2\sigma_1^2+\theta_2^2\sigma_2^2+ \dots+\theta_N^2\sigma_N^2}\]
Jeśli każdy instrument ma równy udział w portfelu ( tzn. \(\theta_i=1/N\)) i taka sama wariancję ( tzn. \(\sigma_i^2=\sigma^2\))to ostatnie równanie uzyskuje postać:
\[\sigma_p^2=[(1/N)^2\sigma^2+ (1/N)^2\sigma^2+\dots+(1/N)^2\sigma^2]=[N(1/N)^2\sigma^2=(1/N)\sigma^2\]
Innymi słowy gdy N wzrasta odchylenie standardowe portfela maleje.
Powyższa zasada jest myślą przewodnią funkcjonowania firm ubezpieczeniowych, które biorą coraz więcej do swych portfeli nieskorelowanego ryzyka.
Portfel – poszukiwanie portfela efektywnego
Weźmy pod uwagę N instrumentów finansowych. Każdy z nich pocharakteryzuje historyczne wartości stóp zwrotu i odchylenia standardowego jako miary ryzyka. Każdy można umiejscowić na wykresie zwrot / ryzyko. Można utworzyć dowolne kombinacje portfeli tych N instrumentów zmieniając ich udział w portfelu, czyli zmieniając wagi \(\theta_i\) tak by ich suma zawsze była równa 1.Zbiór wszystkich możliwych portfeli nazywany jest zbiorem dopuszczalnym. Zbiór ten to dwuwymiarowy obszerna wykresie zwrot/ryzyko a w jego wnętrzu będą zawarte wszystkie możliwe portfele.
Szerszą dyskusje tego zagadnienia można znaleźć w
Gdyby obszar o którym mówimy przeciąć linia pozioma dla danej stopy zwrotu to przebiegała by ona poprzez wszystkie portfele o tej samej stopie zwrotu ale o różnym ryzku. Naturalnym jest, ze inwestorzy mając do dyspozycji ten sam zysk a różne ryzyko wybierać będą portfele i mniejszym ryzyku.
Gdyby obszar ten przeciąć prostymi pionowymi to przebiegać one będą przez portfele o tym samym ryzyku ale o różnym zwrocie na portfelu. Przy tym samym ryzyku inwestorzy wybiorą najprawdopodobniej portfele o wyższym zwrocie.
Jak widać z powyższego obszar górny tego zbioru portfeli będzie interesował inwestorów a szczególnie portfele leżące na krzywej będącej górnym ograniczeniem zbioru.
Jednym ze sposobów określania efektywnego zbioru dopuszczalnego jest metoda Markowitza
Za rozwiązanie tego problemu ( wcale nie prostego matematycznie) Harry Markowitz został w 1991 roku uhonorowany nagroda Nobla.
Ale rynek jest olbrzymi i ilośc wspóletc....
Przypadek gdy istnieje instrument bez ryzyka- Capital Market line- CAPM- Sharp
Miary ryzyka portfelii wyników zarzadzana porfelem
Sharpe, Treynor, Jensen
XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX
obliczanie zwrotu z portfela.-Podejscie praktyczne.
Powszechnie stosowaną metodą wyznaczania stopy zwrotu z portfela jest obliczenie zależności :
\[\ R_p= \frac{PG+\Delta P_i}{P_o}\]
gdzie: PG – przychody gotówkowe (dywidendy lub dochody z odsetek) otrzymane w ciągu badanego okresu;
\( \Delta P_i\) zmiana wartości portfela w t-tym okresie
Po – wartość rynkowa portfela na początku badanego okresu- liczona jako suma wartoscii instrumentów wchodzących w skład portfela razy ich ilość w portfelu.
Powyższa metoda obliczania stopy zwrotu sprawdza się jednak tylko w przypadku portfeli o charakterze statycznym, to jest takich, których środki przeznaczone na konstrukcję portfela nie zmieniają się w badanym przedziale czasu, dla którego wyliczana jest stopa zwrotu. Oznacza to, iż w analizowanym okresie do portfela nie dopływają żadne dodatkowe fundusze, ani też wcześniej zainwestowane środki nie są z niego wyprowadzane. Jednak jest to uproszczenie gdyż skład portfela i jego wartość będzie zmienia się czasie, do portfela mogą napływać nowe środki.
Stopa zwrotu ważona pieniędzmi.
Stopa zwrotu ważona wartościami (money-weighted rate of return) stosuje się w przypadku portfeli o charakterze dynamicznym> Portfele dynamiczne to portfele w których środki przeznaczone na budowę portfela ulegają częstym zmianom w okresie, dla którego wyznaczana jest stopa zwrotu. Ta metoda, uwzględnia fakt, iż portfele odnotowują wpłaty i wypłaty środków pieniężnych za które zakupowane sa instrum,enty finansowe. Ta miara to nic innego jak wewnętrzną stopą zwrotu (internal rate of return) i wyznaczana jest z poniższego równania przy założeniu, że dywidendy i dochody z odsetek otrzymywane są na koniec okresu.
\(\ VP_o= \sum\limits_{i=1}^n\frac{D_i}{(1+r)^i} + \sum\limits_{i=1}^m\frac{W_i}{(1+r)^i} +\frac{VP_in}{(1+r)^n}\)
gdzie:
r – wartość ważonej wartościami stopy zwrotu;
VPo – wartość portfela na początku okresu;
VPin – wartość portfela na koniec okresu;
Di – wartość dokonanej w momencie t wpłaty nowych środków do portfela;
Wi – wartość wycofanych z portfela środków w momencie i,
n – liczba wpłat dokonanych w danym okresie;
m - liczba wypłat dokonanych w danym okresie.
Przypisy
- ↑ Sprawa definicji jest niezwykle ciekawa a zainteresowanym poleca się artykuł Glyn A. Holton „ Defining Risk” opublikowany w rozdziale Perspectives- Financial Analyst Journal-Vol.60nr.6.2004rok.
- ↑ Oczywiście nie podjecie decyzji działania jest również decyzją. Jak widać , filozoficznie problem jest bardzo złożony.
- ↑ Pomarańczowa księga Zarządzania ryzykiem Ministerstwo Skarbu JKM GB–Pazdziernik 2004 www.hm-treasury.gov.uk
- ↑ Nie tylko to stwierdzenie znajduje się w pracy doktorskiej H.Markowitza ale , co jest łatwiej dostępne H.Markowitz- Portfolio selection_ Journal of Finance_Vol & nr.1_Marzec 1952 r
- ↑ Frank Knight- „Risk, Uncertainty and Profit” New York 1921- Hart, Scaffner&Marx
- ↑ http://www.bis.org.
- ↑ http://home.agh.edu.pl/~dzieza/fixed_income/tp_not_agh.pdf
- ↑ H.Markowitz(1959Portfolio Selection; Efficient Diversification of Investments, John Wiley
- ↑ z wielu opracowań a ten temat można polecić przykładowo dostepna w Internecie publikacje autorstwa Jerzego Dzieży- http://home.agh.edu.pl/~dzieza/fixed_income/tp_not_agh.pdf