Z Skrypty dla studentów Ekonofizyki UPGOW

Wersja z 13:26, 15 mar 2010

Instrumenty rynków finansowych

Część pierwsza

Wstęp

W przeciągu ostatniego półwiecza matematyka finansowa przerodziła się z rachunków rzadko wykraczających poza oprocentowanie i dyskontowanie bazujące na ciągach arytmetycznych i geometrycznych w samodzielną dyscyplinę nauki wykorzystującą zaawansowany formalizm matematyki, teorii prawdopodobieństwa, teorii informacji, fizyki statystycznej, a ostatnio nawet mechaniki kwantowej. Zmiany te są wynikiem niezwykle intensywnego rozwoju rynków i instytucji finansowych spowodowanych globalizacją i informatyzacją. Inwestycja finansowa jest tu rozumiana w bardzo szerokim sensie, a celem wykładu jest przedstawienie idei rynku finansowego, podstaw zmiany wartości kapitału w czasie, metod wyceny (modelowania wartości) strumieni przepływów kapitałowych, instrumentów pochodnych oraz portfeli inwestycyjnych. Do zrozumienia materiału wystarczy znajomość matematyki uzyskana w czasie pierwszych dwóch lat studiów (ekonofizyka). Ze względu na informacyjno-wprowadzający charakter wykładu omawiane są najważniejsze i najbardziej reprezentatywne instrumenty i narzędzia. Główny akcent jest położony na praktyczne aspekty dyskutowanych problemów.

Kilka słów o rynkach finansowych

Rynek najczęściej definiuje się jako system organizacyjno-prawny, który umożliwia zawieranie transakcji między oferującymi towary (dobra) sprzedawcami a nabywcami tych towarów (dóbr). Celem wykładu jest analiza szczególnego przypadku jakim jest rynek finansowy (financial market). Rolę wymienianych dóbr pełnią instrumenty finansowe - aktywa obecnie najczęściej reprezentowane w formie elektronicznego zapisu w pewnej bazie danych najczęściej podlegającej kontroli organizacyjno-prawnej danego państwa. Na rynku finansowym tradycyjnie wyróżnia się następujące segmenty:

• rynek pieniężny (money market)
• rynek kapitałowy ( capital market)
• rynek walutowy (foreign exchange market)
• rynek instrumentów pochodnych (derivatives market),

chociaż trzeba zaznaczyć, że podział ten jest czysto techniczny i często trudno jest organizacyjnie je wyodrębnić. Często przytaczany jest też podział na

• rynek kasowy (spot market) zwany też gotówkowym (cash market)
• rynek terminowy (future market, forward market)
• rynek pierwotny (primary market), na którym emitenci nowych instrumentów (np akcji lub obligacji) sprzedają je najczęściej za pośrednictwem instytucji finansowych, które zwykle później są już przedmiotem normalnego obrotu na tzw. rynku wtórnym (secondary market).

Nadzór nad publiczną emisją papierów wartościowych oraz ich obrotem sprawuje zwykle państwo poprzez wyspecjalizowane instytucje (w Polsce jest to Komisja Papierów Wartościowych). Rynek najczęściej ma formę rynku publicznego, czyli zorganizowanego, w postaci giełd i regulowanego rynku pozagiełdowego lub prywatnego (mniej nieformalnego, na którym można obracać również papierami niedopuszczonymi do obrotu publicznego). Inwestorzy (investors), czyli uczestnicy rynku, zwykle dzieleni są na indywidualnych i instytucjonalnych. Ci pierwsi, w większości tzw. drobni inwestorzy na rozwiniętych rynkach zazwyczaj nie odgrywają znaczącej roli. Ci drudzy, dysponujący zwykle bardzo dużymi funduszami, to przede wszystkim

• banki
• firmy ubezpieczeniowe
• domy maklerskie
• fundusze emerytalne
• fundusze powiernicze

Pierwsze prawnie uregulowane giełdy towarowe (commodity exchange) powstały w XVI wieku w Europie. Już w 1608 roku na giełdzie w Amsterdamie pojawiły się kontrakty terminowe (na tulipany!) - ta forma obrotu stała się z upływem lat dominująca i giełdy towarowe w większości przeobraziły się w giełdy terminowe (future exchange) w dzisiejszym rozumieniu tego terminu. Największą na świecie tego typu giełdą jest Chicago Board of Trade (CBOT), która powstała w 1848 roku. Na ziemiach polskich pierwsza giełda towarowa została założona w Warszawie w 1817 roku. Chociaż udziałami w spółkach handlowano już w XVII wieku, pierwsza giełda papierów wartościowych otwarta została w Londynie dopiero w 1773 roku. W 1792 roku założono New York Stock Exchange, czyli giełdę w Nowym Jorku (NYSE). W 1991 reaktywowano działalność Giełdy Papierów Wartościowych w Warszawie (GPWW) - jest ona jedyną działającą obecnie w Polsce giełdą papierów wartościowych^[1]. Akcje tej samej spółki mogą (i często są!) być notowane jednocześnie na różnych giełdach. Obecnie obserwuje się tendencję łączenia się mniejszych, mających lokalne znaczenie giełd, w wyniku takich sojuszy powstają giełdy mające ponadnarodowe znaczenie. Popularnym sposobem opisu zachowania (tzw. trendów) na rynkach finansowych są tzw. indeksy giełdowe. Są to wszelkiej maści średnie ważone mające w miarę wiernie odzwierciedlać ogólną sytuację panującą na rynku lub tylko na pewnej jego części (np. sektor bankowy, sektor dużych spółek itp.). Indeksy największych giełd są pilnie obserwowane przez inwestorów na całym świecie^[2]. Najprostsze indeksy są średnią arytmetyczną cen akcji wchodzących w jego skład. Przykładem może być wspomniany już index Dow Jones Industrial Average (DJIA)^[3], który opisuje zachowanie cen akcji 30 największych spółek notowanych na giełdzie w Nowym Yorku. Bardziej wiarygodne indeksy uzyskuje się poprzez uwzględnienie wartości rynkowej (kapitalizacji) spółek wchodzących w skład danego indeksu. Do takich należą najpopularniejsze indeksy podawane dla GPW Warszawie:

• Indeks WIG - to tzw. indeks dochodowy ważony uwzględniający dywidendy i prawa poboru w kapitalizacji . Indeks WIG konstruowany jest w oparciu o praktycznie wszystkie spółki giełdowe spełniające minimalne kryteria co do procentu i wartości akcji w wolnym obrocie, zarówno krajowe jak i zagraniczne. Wpływ jednej spółki na WIG nie może przekroczyć 10%, a udział jednego sektora w indeksie nie może być większy niż 30%. Indeks WIG publikowany jest co 60 sekund (w czasie sesji).
• Indeks WIG20 to tzw. indeks cenowy ważony uwzględniający 20 największych spółek notowanych na GPWW^[4]. Indeks WIG20 publikowany jest co 15 sekund (w czasie sesji).
• Indeks mWIG40^[5] - to tzw. indeks średnich spółek. W jego skład wchodzi stała liczba 40 spółek. Spółki do indeksu mWIG40 wybierane są na postawie tego samego rankingu, co do WIG20 jako 40 kolejnych spółek po 20 spółkach zakwalifikowanych do WIG20.
• Indeks sWIG80^[6]. to indeks małych spółek notowanych na warszawskiej giełdzie. W jego skład wchodzi stała liczba 80 spółek. Spółki do indeksu sWIG80 wybierane są na postawie tego samego rankingu, co do WIG20 i mWIG40 jako 80 kolejnych spółek, które nie weszły do WIG20 i mWIG40.

Indeksy cenowe ważone mWIG40 oraz sWIG80 publikowane są w czasie sesji co 60 sekund publikowany jest co 60 sekund (w czasie sesji). Wszystkie te indeksy obliczane są według ogólnego wzoru:

gdzie \(M(t)\) oznacza kapitalizację portfela indeksu w czasie t, \(M(0)\) kapitalizację portfela indeksu w dniu bazowym (16.04.1991 dla WIG, 16.04.1994 dla WIG20 i 31.12.1997 dla MIDWIG), a \(K(t)\) to tzw. współczynnik korygujący indeksu w chwili t uwzględniający zmiany w składzie indeksu itp. Współczynnik korygujący oblicza się według wzoru:

gdzie poszczególne symbole oznaczają współczynnik korygujący na sesji t (\(K(t)\)), zmodyfikowaną wartość kapitalizacji giełdowej dla sesji t (\(Mz(t)\)). Wprowadzenie współczynnika korygującego ma na celu neutralizowanie zmian wielkości kapitalizacji giełdy, takich jak zmiany w składzie portfela indeksu, wypłaty dywidendy. Zmiany składu indeksów opisujących zachowanie GPWW mogą być przeprowadzane są cztery razy w roku (po ostatniej sesji lutego, maja, sierpnia i listopada). Analogicznie (współczynnik \(1000 \rightarrow 10\)) obliczany jest też inny popularny indeks Standards & Poor's 500 (S&P500),który, oprócz spółek notowanych na NYSE, uwzględnia również około 100 spółek amerykańskich z rynku pozagiełdowego. Inne popularne indeksy to Duetsche Aktienindex (DAX), Financial Times Stock Exchange 100 Index (FTSE-100, Footsie), Nikkei 225 oraz mniej znany Value Line Composite Index (VLIC), który jest klasycznym indeksem cenowym. Składy indeksów giełdowych są często modyfikowane; aktualne dane są dostępne na stronach internetowych giełd i instytucji finansowych.

Przypisy

1. ↑ W dobie Internetu uwaga ta nie jest precyzyjna, gdyż obecnie łatwo można otwierać rachunki inwestycyjne w zagranicznych domach maklerskich (nie zawsze jest to zgodne z obowiązującym prawem!)
2. ↑ Niestety (?), na rynkach instynkty stadne wśród inwestorów często biorą górę nad zdrowym rozsądkiem - podana w wiadomościach informacja, że index DJIA spadł o np. 2% może wywołać niezłą panikę na Giełdzie w Warszawie w następnym dniu.
3. ↑ System indeksów Dow Jones obejmuje jeszcze trzy analogicznie obliczane lecz mniej popularne indeksy : Dow Jones Transportation Average, Dow Jones Utilities Average i Dow Jones Composite Average.
4. ↑ Indeks cenowy to indeks giełdowy liczony na podstawie wartości spółek danego portfela. Przy obliczaniu wartości bierze się pod uwagę jedynie ceny zawartych w nim spółek, nie uwzględnia się zaś dochodów z akcji (dywidend, praw poboru). Liczba spółek wchodzących w skład indeksu cenowego jest stała. Indeksy cenowe zmieniają się skokowo po wypłacie dywidendy
5. ↑ Do Od 19.03.2007 indeks ten nazywał się MIDWIG.
6. ↑ Do Od 19.03.2007 indeks ten nazywał się WIRR

Rynkowe stopy procentowe - cena czasu i ryzyko

Arytmetyka finansowa

Z wyjątkiem okresów hiperinflacji, w życiu codziennym rzadko musimy uwzględniać zmienność wartości pieniądza w czasie. Jednak planując poważniejsze inwestycje (np kupno domu) musimy już tę zmienność uwzględniać. W matematyce finansowej analiza zjawiska zmiany wartości pieniądza jest jednym z najważniejszych problemów, a przyjęte założenia i ich konsekwencje mają istotny wpływ na wnioski dotyczące szerokiej klasy zagadnień ekonomicznych. Problem ten komplikuje dodatkowo fakt, że większość instytucji finansowych operuje tzw. czasem bankowym, który często różni się od czasu rzeczywistego zwanego również czasem kalendarzowym. Nietrywialne jest też często uwzględnienie okresów, gdy pewne instytucje są nieczynne lub czynności niemożliwe (np w nocy). W tym paragrafie omówimy pojęcie czasu bankowego, które ma istotny wpływ na proces kapitalizacji odsetek. Zgodnie z obowiązującym w Polsce prawem bankowym, rok bankowy ma 360 dni i dzieli się na 12 miesięcy bankowych, o długości 30 dni każdy.

Przykład Obliczmy różnicę między czasem bankowym a rzeczywistym w okresie od 01.03.07 do 31.05.07. Według czasu bankowego upłynęły 3 miesiące, czyli 90 dni. W rzeczywistości upłynęło 31+30+31=92 dni. Bardziej zaskakujący wynik otrzymamy obliczając tę różnicę dla okresu 29.05.07 do 5.06.07. Czas bankowy to (30-29)+5=6 podczas, gdy w rzeczywistości upłynęło 7 dni. Różnica wynosi aż 1/7, czyli około 14,28%!

Różnice obliczone w powyższym przykładzie pokazują, że może ona mieć istotny wpływ na koszty kredytu czy wysokość oprocentowania -- obrazuje to poniższa tabela dla kredytu w wysokości 100000 zł udzielonego na okres od 01.03.07 do 31.05.07 przy rocznej stopie oprocentowania w wysokości 12%. Odsetki I obliczamy według wzoru \(I=100000\cdot 0,12\cdot n_x =12000\cdot n_x,\,\) gdzie \(n_x, x=r \ \text{lub}\ x=b\,\) oznacza współczynnik zamiany dni na lata, \( n_r=\frac{\text{czas w dniach}}{365},\,\) a \(n_b=\frac{\text{czas w dniach}}{360}\,\)

Banki, których podstawową działalnością jest udzielanie kredytów zainteresowane są naliczaniem odsetek według tak zwanej reguły bankowej, naliczaniem dni według czasu rzeczywistego i zamieniana dni na lata według czasu bankowego (prawa, górna kratka w powyższej tabeli).

Drugim ważnym zagadnieniem związanym z czasem jest tak zwany czas wzorcowy. Otóż wiele transakcji i umów zawartych na rynkach lub związanych z nimi zawiera w swojej treści lub istocie odniesienie do czasu. Na przykład, dla każdej transakcji giełdowej określony jest czas zrealizowania tej transakcji. W związku z tym w dokumentach (elektronicznych lub papierowych) wymagany jest tak zwany stempel czasowy określający ten czas. Instytucja pośrednicząca lub dokumentująca takie transakcje jest zobowiązana do pobierania wzorca czasu (tzw. Uniwersalny Czas Koordynowany) z legalnego źródła. W Polsce regulowane to jest Ustawą z dnia 10 grudnia 2003 roku o czasie urzędowym na obszarze Rzeczypospolitej Polskiej^[1]. W obecnie obowiązującej wersji ma ona niestety szereg wad, np. nie określa dokładności wzorca czasu, co szczególnie irytuje np. fizyka. Na stronie internetowej http://vega.cbk.poznan.pl/article/czas\_w\_polsce.html można znaleźć przykładowe źródła czasu w Polsce i ich charakterystyki.

Ogólnie rzecz biorąc, przez inwestycję będziemy rozumieli ciąg wydatków i wpływów w rozpatrywanym okresie czasu, które nazywamy przepływami pieniężnymi. Wydatki i wpływy najwygodniej opisuje się w jednostkach pieniężnych to jest w jednostkach wyróżnionego dobra - pieniądza - funkcjonującego na rynku, które jest swobodnie wymieniane na inne dobra^[2].

Definicja (Przepływ pieniężny, strumień przepływów)

Pojedynczy wpływ netto nazywamy przepływem pieniężnym (cash flow). Może on być dodatni lub ujemny. Ciąg przepływów
pieniężnych w określonych momentach nazywamy strumieniem przepływów pieniężnych (cash flow stream).

Zauważmy, że przepływy pieniężne mogą być dokładnie określone (np. odsetki od lokat) lub niepewne (najczęściej losowe). Dlatego wyróżniamy przepływy deterministyczne i uogólnione (niedeterministyczne). Za pomocą strumieni pieniężnych możemy w miarę jednolity sposób analizować różne klasy problemów dotyczących opisu, oceny i zarządzania inwestycjami. Strumień przepływów pieniężnych najłatwiej opisuje się, gdy poszczególne wpływy są znane. Wtedy, gdy przyjmiemy pewien okres bazowy (np rok), strumień przepływów będziemy zapisywać następująco \((a_0, a_1,\ldots ,a_{n-1}, a_n)\,\), gdzie \(a_0\,\) jest przepływem w chwili początkowej, a \(a_i\) przepływem po upływie \(i\)-tego okresu bazowego. Gdy przepływy nie następują po jednakowych okresach czasu, wygodnie jest przyjąć za okres bazowy taki okres, by wszystkie przepływy następowały po upływie całkowitych wielokrotności okresu bazowego - wtedy możemy zapis uzupełnić zerami w chwilach, gdy nie ma przepływów.

Przykład 

Kupno trzyletniej obligacji Skarbu Państwa o nominale 100 złotych opisuje następujący strumień: \((-100,a_1,\ldots ,a_{11},100+a_{12}),\,\) gdzie \(a_i\,\) to odsetki wypłacane po \(i\)-tym kwartale. Pierwszy przepływ jest ujemny, bo wydaliśmy 100 zł na kupno obligacji; po upływie ostatniego okresu bazowego następuje zwrot wartości nominalnej i wypłata odsetek za ostatni kwartał.

Przypisy

1. ↑ Dziennik Ustaw nr 16 Poz. 144 i 145.
2. ↑ Zauważmy, że nie zawsze musi to być możliwe.

Teoria procentu

W nimiejszym opracowaniu terminu kapitał używamy w stosunkowo ograniczonym sensie:

Definicja (Kapitał) 

Kapitał  to dobro rynkowe, które może być wyrażone w dowolnej chwili w jednostkach innych dóbr, które są na tyle 
płynne  by przelicznik między tymi jednostkami nie budził kontrowersji. Jednostkami mogą być np. uncja złota, baryłka 
ropy  naftowej, pieniądz.

Jak mierzyć zysk? -- to chyba najbardziej fundamentalne pytanie dla teorii inwestycji. Najprostszą stosowaną miara zysku jest podawanie względnego przyrostu wartości kapitału. Zwykle podaje się ją w procentach. Procent oznacza jedną setną i w matematyce finansowej pojęcie to jest powszechnie używane do opisu korzyści płynących z użytkowania kapitału. W związku z tym wprowadza się pojęcie kapitalizacji odsetek, które oznacza powiększenie tegoż kapitału o wygenerowane odsetki.

Stopy procentowe

W paragrafie tym omówimy dwie najważniejsze metody obliczania i kapitalizacji odsetek. Zaczniemy od podania definicji:

Definicja (Okresowa stopa procentowa, okres bazowy) 

Stosunek wypracowanych w danym okresie - zwanym czasem oprocentowania - odsetek do kapitału, który je wygenerował
nazywamy okresową stopą procentową. Okres ten nazywamy okresem bazowym. Wyjściową wartość kapitału nazywamy 
kapitałem początkowym, zaś kapitał początkowy powiększony o odsetki nazywamy kapitałem końcowym.

W większości umów między wierzycielem a dłużnikiem to właśnie stopy procentowe są używane do określenia procentu, przy czym stosuje się dwie reguły postępowania: oprocentowanie proste oraz oprocentowanie składane, które omówimy poniżej. Zauważmy jeszcze, że równolegle funkcjonuje jeszcze termin warunki oprocentowania, który został wprowadzony przez banki by zamieszać w głowach potencjalnych kredytobiorców. Ukrywa on mianowicie wszelkiego rodzaju dodatkowe opłaty mające na celu obejście obowiązującego prawa lub stworzenie pozorów niższej stopy procentowej. Nie wiadomo dlaczego prawodawca pozwala na chwyty - nic nie stoi na przeszkodzie by koszty kredytu opisywać jedynie jednym parametrem: rzeczywistą stopą procentową.

Definicja (Oprocentowanie proste) 

Oprocentowanie proste jest najprostszą[1] zasadą naliczania odsetek. Można ją charakteryzować w następujący sposób: 
W oprocentowaniu prostym odsetki naliczamy proporcjonalnie do długości okresu oprocentowania. Ogólnie możemy zapisać: 
\(V= (1+nr)K,\) gdzie \(V\), \(K\),  \(r\) i \(n\)  oznaczają,
odpowiednio,  kapitał końcowy,  kapitał  początkowy, stopę procentową i liczbę okresów bazowych dla 
stopy r. W sytuacji, kiedy czas  trwania  inwestycji jest krótszy od okresu bazowego, odsetki też 
naliczamy  proporcjonalnie,  tzn. po upływie  \(f\)-tej  części okresu bazowego naliczymy odsetki 
w wysokości \(fr\).

Przykład 

Powyższą definicję łatwo można uogólnić na przypadek, gdy stopa procentowa jest zmienna w czasie. Przyjmijmy, że czas oprocentowania kapitału \(K\) jest równy \(n\) okresom bazowy i tworzy go \(m\) następujących po sobie okresów o długościach \(n_i\), \(i=1, ..., m\), w których obowiązują stopy procentowe \(r_i\). Obliczając odsetki proste dla poszczególnych okresów i dodając je otrzymujemy:

\(V=(1+\sum_{l=1}^{l=m}n_lr_l)K,\)

W przypadku zmiennej stopy procentowej możemy zdefiniować przeciętną stopę procentową \(\bar{r}\):

Definicja (przeciętna stopa procentowa) 

Przeciętną  stopą procentową \(\bar{r}\) nazywa się roczną stopę, przy której kapitał \(K\) generuje w czasie 
\(n\)  odsetki  o takiej samej  wartości, jak przy danej stopie zmiennej obowiązującej w tym czasie.

Z definicyjnej równości \(n\bar{r}K=K\sum_{j=1}^{m}r_jn_j\), przyjmując oznaczenia jak wyżej, natychmiast otrzymujemy formułę pozwalającą obliczyć stopę przeciętna: \(\bar{r}=\frac{1}{n}\sum_{j=1}^{m}r_jn_j\). Zauważmy, że nie zależy ona od wartości kapitału początkowego.

Najczęściej jednak kapitalizuje się odsetki metodą procentu składanego, który zdefiniowany jest następująco:

Definicja (Oprocentowanie składane, okres kapitalizacji) 

W oprocentowaniu składanym odsetki są naliczane po upływie z góry ustalonego okresu zwanego okresem kapitalizacji. 
Wynika stąd, że gdy czas oprocentowania jest dłuższy od okresu kapitalizacji, to odsetki są kapitalizowane wielokrotnie.
Ogólnie możemy to zapisać przy pomocy wzoru:
                                         \(V=(1+r)^nK\), 
gdzie \(V\),  \(K\), \(r\) i n oznaczają, odpowiednio, kapitał końcowy, kapitał 
początkowy,  stopę procentową i liczbę okresów bazowych dla stopy \(r\). W sytuacji, kiedy okres kapitalizacji
jest  krótszy od okresu bazowego, odsetki naliczamy proporcjonalnie, tzn. po upływie \(f\)-tej części okresu 
bazowego naliczymy odsetki w wysokości \(fr\).

Uwaga 

Zauważmy, że różne okresy kapitalizacji mogą utrudnić szybką ocenęwarunków oprocentowania podawanych dla różnych okresów bazowych. Z tego powodu często wprowadza się pojęcie równoważności stóp procentowych, które ułatwia takie oceny i porównywanie ofert:

Definicja (Równoważność stóp procentowych) 

Mówimy, że w oprocentowaniu składanym dwie stopy \(i_1\) 
oraz  \(i_2\) są równoważne jeśli przy każdej z nich odsetki składane po czasie \(t\) są identyczne.

Prosty rachunek przekonuje nas, że pojęcie to jest niezależne od wartości kapitału początkowego ani od czasu oprocentowania. Oznaczając przez \(n_1\) i \(n_2\) ilości okresów bazowych składających się na czas oprocentowania \(t\) otrzymujemy:

           \(V_1=(1+i_1)^{n_1}K=V_2=(1+i_2)^{n_2}K \Rightarrow (1+i_1)^{n_1}=(1+i_2)^{n_2}.\) 

Przy okazji uzyskaliśmy również formułę opisującą równoważność stóp. Często podaje się tzw. nominalną stopę procentową \(r_{nom}\), którą definiuje się jako iloczyn stopy procentowej dla danego okresu bazowego przez liczbę okresów bazowych składających się na 1 rok, \(r_{nom}(i_{k})=ki_{k}\), gdzie \(k\) jest liczbą okresów bazowych składających się na 1 rok. Nie uwzględnia ona okresów kapitalizacji różnych od jednego roku i dlatego może być myląca.

Granicznym przypadkiem oprocentowania składanego jest kapitalizacja ciągła (continuous compunding), która często uważana jest jako odrębna metoda kapitalizacji:

Definicja (Kapitalizacja ciagła) 

Przez kapitalizację ciągłą rozumiemy granicę procesu kapitalizacji składanej, w której długość okresu kapitalizacji 
dąży do zera:  
                       \(\lim _{m\rightarrow\infty}(1+\frac{r}{m})^{m}=e^{r},\) 
gdzie \(e\) oznacza stałą Eulera równą w przybliżeniu \(2,7818\ldots\).

Warunek równoważności stóp procentowych można rozszerzyć, tak by porównywać kapitalizację ciągła i składaną dyskretną: \((1+i)^{n_i}=e^{tr_c}\), gdzie \(n_i\) jest liczbą okresów bazowych składających się na \(t\). Bezsensowne jest analogiczne porównywanie dla kapitalizacji prostej, gdyż, jak łatwo można się przekonać,zależałoby ono od długości okresu oprocentowania.

Przeanalizowaliśmy już krótko ogólne zasady zmiany wartości kapitału w czasie spowodowane dopisywaniem odsetek. Obecnie zajmiemy się procesem odwrotnym, tzn. obliczymy jaką wartość posiada w chwili obecnej wypłata, którą otrzymamy (spodziewamy się otrzymać) w przyszłości. Wielkość tą nazywa się wartością obecną (present value -- PV) a proces dyskontowaniem (discounting).

Omówimy teraz wpływ inflacji na użycie stóp procentowych. Inflację zwykle definiuje się (dosyć nieprecyjnie) jako wzrost ogólnego poziomu cen w danym okresie^[2]. Jakościowo mierzy się ją poprzez obliczanie tzw. stopy inflacji (inflation rate) \(f\). Zwykle nie jest możliwe uwzględnienie cen wszystkich towarów i usług, dlatego wyróżnia się pewien ich podzbiór tzw. koszyk dóbr, dla których obliczamy zmiany cen. Ceny jakie będą obowiązywały po upłynięciu okresu bazowego będą oczywiście równe iloczynowi cen aktualnych i czynnika inflacji \((1+f)\). Zazwyczaj stopy inflacji podaje się wstecz -- wtedy są one wielkościami dokładnymi (ale zależnymi od składu koszyka!). Do działalności gospodarczej niezbędna często jest prognozowana wartość inflacji. Dlatego różne instytucje ogłaszają swoje prognozowane stopy inflacji dla najbliższych okresów bazowych. Jeśli stopa inflacji wynosi \(f\) to wartość nabywcza jednostki pieniężnej po upływie okresu bazowego zmienia się o czynnik \(\frac{1}{1+f}\)^[3] (to znaczy spada razy \((1+f)\)). Stopę inflacji najczęściej podaje się w procentach. Inflacja się kumuluje -- dla jej obliczenia dla kilku okresów bazowych stosujemy zasadę procentu składanego. W analizach wygodne jest operowanie pieniądzem o tej samej sile nabywczej. Umożliwia to zaniedbanie w analizach poziomu inflacji. W takich przypadkach wszystkie przepływy kapitałowe podajemy w tzw. cenach stałych} w stosunku do poziomu cen z wybranego okresu bazowego. Wprowadza sie więc hipotetyczne jednostki pieniężne, np. constant (real) dollar. Odwrotnym procesem jest wyrażanie przepływów kapitałowych w cenach nominalnych zwanych również rzeczywistymi. Wprowadza się również tzw rzeczywistą stopę procentową (real interest rate) zdefiniowana jako stopę, zgodnie z którą wzrasta realna wartość lokaty oprocentowanej według stopy nominalnej -- czyli jest to tempo wzrostu siły nabywczej kapitału zdeponowanego na tej lokacie. Dla realnej stopy procentowej \(r_0\) otrzymujemy więc związek^[4]: \(1+r_0=\frac{1+r}{1+f}\) lub, co równoważne, \(r_0= \frac{r-f}{1+f}\), gdzie \(r\) jest stopą nominalną, a \(f\) stopa inflacji.

Kapitał jako wielkość zmienna w czasie: renty i kredyty

Podsumowując rozważania przeprowadzone w poprzednich paragrafach możemy przedstawić modele zmienności wartości kapitału \(K(t)\) z upływem czasu \(t\). Dla ustalenia uwagi, niech \(t_0\) będzie dowolnym ustalonym momentem (chwilą początkową) a \(r\) roczną stopą procentowa^[5], a upływ czasu \(t\) będzie mierzony w latach. Wtedy dla dowolnego \(t\in \R\)^[6] mamy^[7]:

Oprocentowanie składane - \(K(t)=K(t_0)(1+r)^{t-t_0}\)

Oprocentowanie ciągłe - \(K(t)=K(t_0)\exp (r(t-t_0)) \, \).

Oczywiście, jeśli \( t<t_0\) to formuły te opisują dyskontowanie. Często formułuje się poniższą zasadę równoważności kapitałów:

Definicja (Zasada równoważności kapitałów) 

Mówimy, że dwa kapitały \( K_1\) i \(K_2\) są równoważne, jeśli ich wartości zaktualizowane w dowolnej chwili \(t\in\R\) są równe.

Zauważmy, że równoważność kapitałów zależy od wartości stóp procentowych i sposobu kapitalizacji. Przeanalizujmy zastosowanie powyższych formuł do jednego z klasycznych zagadnień matematyki finansowej - wypłaty renty.

Definicja (Renta, rata, okres bazowy)

Renta to ciąg płatności nazywanych ratami dokonywanych w równych odstępach czasu. Okres pomiędzy dwoma płatnościami nazywamy okresem bazowym.

Z powyższej definicji wynika, że pełna specyfikacja renty musi uwzględniać okres początkowy (data pierwszej płatności), długość okresu bazowego, liczbę, sposób płatności i wysokość rat. Do wyceny renty niezbędna jest więc znajomość stóp procentowych i zasad naliczania odsetek. W związku z tym rozróżniamy następujące typy rent:

• renta prosta -- okres bazowy pokrywa się z okresem kapitalizacji odsetek;
• renta uogólniona -- okres bazowy jest różny od okresu kapitalizacji odsetek;
• renta czasowa -- to renta o skończonej liczbie rat;
• renta wieczysta -- to renta o nieskończonej liczbie rat.

Ponadto, ze względu na termin wypłacania rozróżniamy renty płatne z dołu (zwykłe) - wypłaty następują na koniec okresu bazowego oraz renty płatne z góry, gdy wypłata następuję na początku okresu bazowego. Naszym głównym celem jest wycena renty oraz analiza związanych z rentą płatności, przez co rozumiemy podanie wartości kapitału i przepływów kapitałowych równoważnych danej rencie. W tym celu zdefiniujemy:

Definicja (Wartość początkowa renty, wartość końcowa renty) 

Wartością początkową renty nazywamy sumę zaktualizowanych na chwilę początkową wartości rat. Analogicznie, wartość końcowa renty to suma wartości rat zaktualizowanych na moment końcowy.

Prosty rachunek uwzględniający zmianę wartości kapitału w czasie prowadzi do następującego wyrażenia na wartość początkową \(V\) renty prostej

\(V=\sum_{j=1}^{j=n}R_j \prod _{k=1}^{k=j} (1+i_k)^{-1},\)

gdzie \(V\) to wartość początkowa renty, \(i_j\) stopa procentowa w \(j\)-tym okresie, a \(R_j\) to rata wypłacona na koniec \(j\)-tego okresu. W szczególnym przypadku, gdy\( R_j=R\) i \(i_k=i\) dla \(j,k=1,2\ldots ,n\) otrzymujemy:

\(V=R\sum_{j=1}^{j=n}(1+i)^{-j}.\)

Wtedy wzory można jeszcze bardziej uprościć, gdyż korzystając ze wzoru na sumę wyrazów postępu geometrycznego

\(\sum_{j=0}^{j=n} a_0q^j=a_0\frac{1-q^{n+1}}{1-q}\)

mamy

\(\sum_{j=1}^{j=n}(1+i)^{-j}=(1+i)^{-1}\frac{1-(1+i)^{-n}}{1-(1+i)^{-1}}=\frac{1-(1+i)^{-n}}{i},\)

co, z kolei, prowadzi do formuły:

\(V=\frac{R}{i}[1-\frac{1}{(1+i)^{n}}]\).

W przypadku granicznym \(n\rightarrow\infty\) otrzymujemy wartość renty wieczystej:

\( V_{\infty}=\lim _{n\rightarrow\infty} \frac{R}{i}[1-\frac{1}{(1+i)^{n}}]=\frac{R}{i}.\)

Wartość rat wiąże się następująco z wartością początkową i liczbą rat \(n\):

\(R=\frac{i(1+i)^{n}V}{(1+i)^{n}-1},\) zaś \(n=-\frac{\ln(1-iV/R)}{\ln(1+i)}.\)

Oczywiście wartość końcową renty \(F\) obliczamy mnożąc wartość początkowa przez czynnik \((1+i)^{n}\):

\(F=(1+i)^{n}V =R \frac{(1+i)^{n}-1}{i}.\)

Analogicznie obliczamy wartości początkowe i końcowe rent płatnych z góry (rozpatrujemy tu tylko przypadki o stałej racie i stopie procentowej):

\(V^{+1}= R\sum_{j=0}^{j=n-1}(1+i)^{-j}=R\frac{1+i-(1+i)^{1-n}}{i}\)

oraz

\(F^{+1}=(1+i)^{n}R \sum_{j=0}^{j=n-1}(1+i)^{-j}=R \frac{(1+i)^{n+1}-1-i}{i}.\)

Renty płatne z góry są szczególnym przypadkiem tzw. rent odroczonych. Terminem tym określa się rentę zwykłą, w której płatności są odroczone (opóźnione) o K okresów, gdzie \(K\) jest liczbą całkowitą nazywaną karencją. Łatwo wyprowadzamy formuły na wartość obecną i końcową renty odroczonej o \(K\) okresów tzn. momentem końcowym jest \(t=K+n\):

\(PV^{-K}= R\sum_{j=1}^{j=n}(1+i)^{-K-j}=R(1+i)^{-K}\frac{1-(1+i)^{-n}}{i}\)

\(F^{-K}=R\sum_{j=1}^{j=n}(1+i)^{n-j}=R\frac{(1+i)^{n}-1}{i}=F^{-0}.\)

Formuły dla bardziej skomplikowanych sposobów płatności można łatwo wyprowadzić. W szczególności dla niektórych klas rent uogólnionych można podać proste zasady ich zamiany na renty proste. W przypadku , gdy okres bazowy składa się z \(m\) okresów kapitalizacji odsetek możemy po prostu obliczyć stopę procentową \(\overline{i}\) dla okresu bazowego (oczywiście metodą procentu składanego):

\(\overline{i}= (1+i)^{m}-1\)

Alternatywną metodą prowadzącą do tego celu jest zmiana liczby i wysokości rat. Korzystając z formuł wyprowadzonych wyżej szybko otrzymujemy \(\overline{R}= i\frac{R}{(1+i)^m-1}\) oraz \(\overline{n}=nm.\) Podobnie możemy postąpić w przypadku, gdy okres kapitalizacji składa się z \(l\) okresów bazowych. Wprowadzając stopę procentową \(\underline{i}\) dla okresu bazowego renty \(\underline{i}=(1+i)^{\frac{1}{l}}-1\) definiujemy rentę prostą o tej samej liczbie i wysokości rat, która jest równoważna wyjściowej rencie uogólnionej. Może też rozważać rentę prostą wypłacaną tylko dla każdego okresu kapitalizacji. Wtedy \( \underline{R}= ((1+i)^l-1)\frac{R}{i}\) oraz \(\underline{n}=\frac{n}{l}.\) Uogólnienie powyższych formuł, tak by uwzględniały zmienne stopy procentowe nie nastręcza żadnych trudności. W praktyce można spotkać wiele innych sposobów wypłacania rent, których nie jesteśmy tu w stanie wymienić w tym opracowaniu. Na ogół obliczenie potrzebnych w analizie wielkości nie jest trudne, chociaż wzory mogą być dosyć skomplikowane - zwykle korzysta się w tym celu z programów komputerowych wykonujących błyskawicznie potrzebne obliczenia.

Ratalna spłata kredytu

Innym klasycznym i mającym duże znaczenie praktyczne zagadnieniem jest ratalna spłata kredytu. Ograniczymy się do analizy problemu ratalnej spłaty długu. Udzielenie pożyczki, kredytu itp. jest szczególnym przypadkiem inwestycji: konieczne są wiec metody wyceny takiej inwestycji. Będziemy zakładać, że dług zostaje zaciągnięty w chwili \(t_0\) poprzez przekazanie przez inwestora, zwykle zwanego w tym przypadku wierzycielem kapitału w wysokości \(K_0\) dłużnikowi. Kapitał ten ma być zwrócony wierzycielowi w \(n\) ratach \(R_j, j=1,2\ldots,n-1,n\) płaconych w jednakowych odstępach czasu zwanych o długości zwanej okresem bazowym. Spłata ratalna jest oczywiście szczególnym przypadkiem strumienia przepływów kapitałowych i założenie o równości wszystkich odstępów pomiędzy spłatami nie jest ograniczające -- w praktyce zawsze możemy w obliczeniach zmniejszyć okres bazowy i wprowadzić dodatkowe raty w wysokości 0. Dla uproszczenia założymy, że stopa procentowa uwzględnia wszystkie koszty obsługi spłaty długu^[8]

Zysk i stopy zwrotu z inwestycji

Jednym z głównych celów tego opracowania jest zwięzły opis zysku z inwestycji kapitałowej. Może to być np potrzebne w celu porównania różnych inwestycji. Zauważmy, że bezwzględny przyrost wartości kapitału nie wiele mówi o jakości inwestycji, gdyż intuicja podpowiada nam, że zysk w wysokości 1000 zł może być zadowalający lub nie w zależności od początkowej wartości kapitału, a także czasu trwania inwestycji. Obiektywna miara zysku powinna więc nie zależeć od wyboru umownych jednostek kapitałowych^[9]. W języku matematycznym oznacza to, że powinniśmy podawać iloraz wartości końcowej i początkowej zamiast różnicy tych wartości. Z tego powodu definiuje się stopę zwrotu brutto \(R\) jako \(R_{t,t+\tau}=\frac{K_{t+\tau}}{K_{t}},\) gdzie \(K_{t}\) i \(K_{t+\tau}\) oznaczają wartość kapitału \(K\) w chwilach \(t\) i \(t+\tau\). Najczęściej jednak podaje się stopę zwrotu zdefiniowaną jako: \(r_{t,t+\tau}=\frac{K_{t+\tau}-K_{t}}{K_{t}}.\) Oczywiście obie te wielkości są związane prostą zależnością \(R_{t,t+\tau}=1+r_{t,t+\tau}\). W sytuacjach, gdy okres inwestycji jest jasno określony, wygodne jest opuszczanie wskaźników \(t\) i \({t,t+\tau}\). Stopy procentowe są szczególnym przypadkiem stóp zwrotu podawanych w procentach. Pożądana^[10] byłaby własność by zysk wypracowany w dwóch kolejnych okresach był sumą zysków wypracowanych w tych okresach: \(R_{t,t+\tau +\rho}= R_{t,t+\tau} + R_{t+\tau, t+\tau +\rho}.\) Łatwo zauważyć, że powyższa definicja stopy zwrotu nie posiada tej wygodnej własności. Częściowo można temu zaradzić w następujący sposób. Jeżeli dodatkowo zażądamy by miara zysku była funkcją rosnącą i ciągłą to łatwo można pokazać, że logarytm ze stopy zwrotu brutto posiada te własności: \(\log_a (R_{t,t+\tau +\rho})= \log_a (R_{t,t+\tau}) + \log_a (R_{t +\tau , t +\tau +\rho}),\) gdzie \(a\) jest podstawą logarytmu. Jeśli skorzystamy z rozwinięcia funkcji logarytm w szereg Taylora \(\log_a (1+\epsilon)= \frac{1}{\ln(a)}(\epsilon -\frac{\epsilon ^2}{2} +\frac{\epsilon ^3 }{3} +\ldots )\,\) to dla podstawy \(a=e\), czyli dla \(\ln(a)=1\) mamy \(\ln (R_{t,t+\tau})= 1 +r_{t,t+\tau}\) dla \(r_{t,t+\tau} \rightarrow 0.\) Dlatego często używa się logarytmicznej stopy zwrotu z inwestycji zdefiniowanej następująco.

Definicja (Stopa logarytmiczna, chwilowa stopa zwrotu)

Niech \(t, v_{t},v_{t+\tau}\,\) oznaczają odpowiednio, chwilę początkową, wartość dobra \(v\) w chwilach \(t\) i \(t+\tau\). Logarytmiczną stopą zwrotu z inwestycji nazywamy wielkość \(r_{t,t+\tau}^{ln}=\ln (\frac{v_{t+\tau}}{v_{t}}).\) W granicznym przypadku definiujemy chwilową stopę zwrotu jako \(r(t)=\frac{\partial \ln ( R_{t,t+\tau})}{\partial \tau}\).

Algebraiczne i analityczne własności funkcji logarytm i eksponent powodują, że w większości rozważań teoretycznych zakłada się ciągłą kapitalizację i używa logarytmicznej stopy zwrotu. Wtedy wartość dobra \(v\) zmienia się w przedziale \([t,t+\tau]\) zgodnie ze wzorem: \(v(t+\tau)=v(t)\exp(\int _t^{t+\tau}r(t)dt).\) Czasami używa się również składanej stopy zwrotu, która jest średnią geometryczną stóp \(r_i\) w \(n\) kolejnych okresach bazowych: \(r_c=[(1+r_1)(1+r_2)\cdots (1+r_n)]^{1/n}.\) Uważny czytelnik zapewne zacznie się w tym momencie zastanawiać nad problemem jak porównać inwestycje o np. różnym horyzoncie czasowym. Nie jest to zagadnienie łatwe, chociaż przy pewnych upraszczających założeniach można zaproponować kilka użytecznych metod.

Przypisy

1. ↑ Zasada ta jest najprostsza i w wielu przypadkach nawet narzucona systemem prawnym, który wyróżnia tzw. kapitał odsetkowy Pozwala to na nic niekosztujące odroczenie spłaty. Wady tej nie ma oprocentowanie składane
2. ↑ W przypadku, gdy ten wzrost jest ujemny mówimy o deflacji.
3. ↑ Tak naprawdę, to tylko w odniesieniu do koszyka używanego do definicji stopy inflacji. Zmiana ceny konkretnego dobra na ogól nijak się ma do poziomu inflacji -- wyjątkiem są tu okresy hiperinflacji, kiedy to ogólna tendencja jest szczególnie widoczna.
4. ↑ Wartość lokaty wzrasta nominalnie o czynnik \((1+r)\), ale wartość nabywcza spada w tempie \(\frac{1}{1+f}\) na okres bazowy
5. ↑ Oczywiście wzory nie ulegną zmianie jeśli zmienimy okres bazowy i jednostkę czasu
6. ↑ \R oznacza zbiór liczb rzeczywistych.
7. ↑ Próby podania takich zależności dla oprocentowania prostego, np. \(K(t)=K(t_0)[1+r(t-t_0)]^{\frac{t-t_0}{\mid t-t_0\mid}}\) są niestety ułomne, mimo że dla dwóch ustalonych momentów \(t\) i \(t_0\) wzór ten poprawnie opisuje zmianę wartości kapitału; por. zadanie 2.
8. ↑ Nic nie stoi na przeszkodzie by tak było w praktyce. Banki jednak najczęściej walczą o klienta podając jak najniższe stopy oprocentowania kredytu i ukrywają koszty dodatkowe w nie zawsze uczciwy sposób, np. poprzez wprowadzanie opłaty za rozpatrzenie wniosku kredytowego, "zalecanych" ubezpieczeń, wszelkiego rodzaju opłat manipulacyjne i prowizji, często zmieniając nazwy i sposób pobierania tych opłat, jeśli prawo zabrania takich czy innych czynności.
9. ↑ Na przykład od wartości początkowej kapitału, itp.
10. ↑ Na przykład z powodu łatwiejszej interpretacji.

Instrumenty rynków finansowych

Instrumenty rynku pieniężnego

Przez rynek pieniężny rozumie się te segmenty rynku finansowego, na których przeprowadzane są operacje instrumentami finansowymi o krótkim horyzoncie czasowym. Umownie przyjmuje się, że są to operacje terminie zapadalności poniżej 1 roku. Wynika to z podstawowej roli, jaką spełnia ten sektor: zapewnienie odpowiedniego poziomu płynności uczestnikom rynku. Podmioty mogą na rynku pieniężnym inwestować lub pozyskiwać kapitał na krótki okres. Uczestnikami tego rynku mogą być zarówno osoby prawne jak i osoby fizyczne (dla wielu instrumentów istnieją wartości progowe powyżej których dopiero możliwe jest zaangażowanie) . Do najważniejszych funkcji rynku pieniężnego należy wyrównanie niedoborów lub nadwyżek finansowych różnych instytucji. Rynek pieniężny ma istotny wpływ na wysokość krótko- i średnioterminowych stóp procentowych oraz ułatwia bankowi centralnemu możliwości realizowanie polityki monetarnej. Instrumenty rynku pieniężnego są uważane za najmniej ryzykowne instrumenty finansowe. Charakteryzują się stosunkowo niską rentownością, dużą płynnością oraz nie dłuższym niż rok terminem realizacji praw liczonym od momentu ich wystawienia. Podstawowych instrumenty rynku pieniężnego dzieli się na dwie kategorie:

• instrumenty dochodowe to instrumenty, dochód z których określany jest procentowo od wartości nominalnej i nazywany jest kuponem (stąd częste określenie odsetkowe lub kuponowe)
• instrumenty dyskontowe to instrumenty, których cena sprzedaży jest niższa od ceny nominalnej. Różnica pomiędzy ceną a nominałem to dyskonto. Często nazywane są instrumentami zerokuponowymi.

Do najważniejszych instrumentów rynku pieniężnego należą:

• Bony skarbowe (treasury security) Jest to dyskontowy instrument dłużny, emitowany w Polsce przez Skarb Państwa za pośrednictwem Ministerstwa Finansów. Bony skarbowe w Polsce są emitowane na okres 13 tygodni, 26 tygodni i 52 tygodni. Bony są atrakcyjną formą lokowania oszczędności. Atrakcyjność inwestowania w bony wynika z: małego ryzyka inwestycji, wysokiej płynności oraz zwykle atrakcyjnej stopy zwrotu. Minimalna wartość nominalna bonu skarbowego to 10 tys. złotych. Ponieważ jedyny przychód z tytułu inwestycji w bon skarbowy to wartość nominalna otrzymywana przy wykupie, bony skarbowe sprzedawane są po cenie niższej od wartości nominalnej zwykle poprzez przetargi. Bon skarbowy jest uważany za instrument wolny od dwóch podstawowych rodzajów ryzyka, którymi są: ryzyko niedotrzymania warunków oraz ryzyko ceny. Obrót bonami dokonuje się na rynku pierwotnym i wtórnym. Na rynku pierwotnym mogą być nabywane jedynie przez uczestników przetargu w imieniu własnym i na rachunek własny. Na rynku wtórnym nie ma takich ograniczeń.
• Bony pieniężne to typowo polski instrument emitowane są przez Narodowy Bank Polski od drugiej połowy 1990 roku konstrukcją przypominający bony skarbowe. Odpowiedzialny za operacje związane z emisją i rozliczeniem jest Departament Operacji Krajowych NBP. Wartość nominalna 1 bonu równa jest 10.000 PLN. Terminy wykupu – 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 14, 28, 91, 182, 273 i 364 dni (liczonych od obowiązującego terminu zapłaty za bony). Aktualnie dominują bony emitowane na 14 dni (jako podstawowe narzędzie operacji otwartego rynku). Na rynku pierwotnym mogą być nabywane jedynie przez banki będące dealerami rynku pieniężnego oraz przez Bankowy Fundusz Gwarancyjny natomiast na rynku wtórnym mogą być nabywane przez podmioty występujące na rynku pierwotnym oraz pozostałe banki. Obrót bonami pieniężnymi NBP jest zdematerializowany. Rejestracja obrotu i zmian stanu posiadania bonów skarbowych odbywa się na rachunkach bonów i kontach depozytowych bonów w NBP (http://www.nbp.pl/home.aspx?f=%2fakty_prawne%2fregulacje_prawne%2fregulamin_rpw.html)
• Krótkoterminowe papiery dłużne to papiery potwierdzające zadłużenie ich emitenta wobec nabywcy (inwestora). Wyróżniamy wśród nich papiery skarbowe (bony skarbowe) i papiery pozaskarbowe (papiery komercyjne, bony pieniężne NBP, krótkoterminowe papiery wartościowe jednostek samorządu terytorialnego, certyfikaty depozytowe. Papiery te są w głównej mierze papierami emitowanymi na okaziciela, co ułatwia obrót nimi, jednak na życzenie emitenta papiery te mogą być papierami imiennymi. Do ważniejszych należą
  • Krótkoterminowe papiery dłużne przedsiębiorstw to instrumenty finansowe emitowane przez osoby prawne lub fizyczne prowadzące działalność gospodarczą a następnie sprzedawane za pośrednictwem agenta w celu finansowania bieżącej działalności emitenta o wysokiej wiarygodności kredytowej. Krótkoterminowe papiery dłużne mogą przybierać formę zarówno dyskontowych, jak i kuponowych instrumentów finansowych.
• Certyfikat depozytowy to instrument dłużny emitowany przez bank, różni się od zwykłego depozytu bankowego tym, że wystawiane przez bank na okaziciela. Powoduje to, że można nim obracać na rynku, w szczególności można go odsprzedać temu samemu bankowi, w którym został kupiony. Certyfikaty depozytowe to dokumenty potwierdzające złożenie depozytu o określonej wielkości i na określony czas w banku. Po tym czasie właściciel certyfikatu otrzymuje kwotę na jaką opiewa certyfikat z należnymi mu odsetkami. Zwykle mają też określony termin ważności, po przekroczeniu którego nie można już żądać zwrotu depozytu. Na emisję certyfikatów depozytowych bank musi otrzymać zezwolenie banku centralnego. Forma ta jest bardzo wygodna dla inwestora gdyż może on w każdej chwili upłynnić certyfikat na rynku wtórnym.
• Weksel to papier wartościowy, który ma dokładnie określoną przez prawo wekslowe formę, charakteryzują się tym, że złożenie na nim podpisu stanowi podstawę i przyczynę zobowiązania wekslowego podpisującego. Weksel jest dokumentem zobowiązującym wystawcę lub wskazaną przez niego osobę do bezwarunkowego zapłacenia określonej kwoty w ustalonym terminie. Wystawiany jest z reguły na krótkie terminy (nie dłuższe niż 1 rok) i wykupywany przez wystawcę po cenie zazwyczaj równej nominałowi (kwocie wypisanej na wekslu). Używana jest również forma weksla in blanco, czyli weksel celowo niekompletny w chwili wystawienia. Tym brakującym elementem, który zwykle jest nie określony w chwili wystawienia weksla jest suma wekslowa. Zobowiązanie z weksla in blanco jest związane z dodatkową umową między wystawcą weksla a remitentem - tzw. porozumieniem lub deklaracją wekslową, gdzie strony uzgadniają w jaki sposób weksel in blanco powinien być wypełniony w brakujące elementy w momencie emisji weksla (musi to być jednoznaczne i stanowcze określenie). Wyróżniamy następujące rodzaje weksli:
• weksel własny – papier wartościowy zawierający bezwarunkowe przyrzeczenie wystawcy zapłacenia określonej sumy pieniężnej we wskazanym miejscu i czasie stwarzający bezwarunkową odpowiedzialność osób na nim podpisanych
• weksel trasowany – papier wartościowy zawierający skierowane do oznaczonej osoby bezwarunkowe polecenie zapłacenia określonej sumy pieniężnej we wskazanym miejscu i czasie i stwarzający bezwarunkową odpowiedzialność osób na nim podpisanych.

Weksel może pełnić funkcję kredytową, płatniczą i gwarancyjną. Pełniąc funkcje płatniczą weksel może być wykorzystywany jako forma zapłaty, zwłaszcza w transakcjach kupna-sprzedaży, gdy nabywca reguluje należność z opóźnieniem, korzystając z kredytu kupieckiego. Sprzedający może z kolei użyć otrzymanego weksla do zapłaty swemu dostawcy, spłacenia swojego zobowiązania lub zdyskontować weksel w banku, zamieniając go na pieniądze itd.

• Czek (check) to pisemne zlecenie bezwzględnego wypłacenia określonej kwoty, wydane bankowi przez posiadacza rachunku bankowego. W zależności od sposobu zapłaty wyróżnia się czeki: kasowe (gotówkowe), zlecające bankowi wypłatę gotówki oraz rozrachunkowe, służące wyłącznie do rozliczeń bezgotówkowych. Czek musi zawierać w swojej treści: słowo "czek", bezwarunkowe polecenie wypłaty oznaczonej kwoty pieniężnej, pełną nazwę banku, który ma wypłacić kwotę czekową, , miejsce i datę wystawienia czeku oznaczenie miejsca płatności oraz podpis wystawcy. Czek może być wystawiony na zlecenie własne, osoby trzeciej lub na okaziciela.

• Akcept bankowy (banker's acceptance) to papier wartościowy, który powstaje w momencie, gdy bank gwarantuje pożyczkobiorcy spłatę pożyczki. Jest to forma zabezpieczenia dla inwestora przed ryzykiem niedotrzymania zobowiązań. Bank zobowiązuje się do jego wykupu w terminie płatności lub przed tym terminem z zastosowaniem dyskonta. Akcept bankowy to w zasadzie weksel z podpisem banku, który zobowiązuje się wykupić go w określonym terminie. Z chwilą upływu terminu płatności po akcepcie (brak odpowiedzi traktuje się jako akcept milczący), bank uiszcza należność z rachunku dłużnika. Akcepty bankowe są zwykle poprzedzane pisemną obietnicą dzielenia przez bank pożyczki. Bank udzielający pożyczki wystawia gwarancję dopiero w momencie, gdy pożyczkobiorca wykorzysta pożyczkę. Jeżeli w późniejszym okresie bank chce wycofać udzieloną pożyczkę przed terminem jej spłaty, sprzedaje akcept bankowy innemu inwestorowi. Przed spłatą pożyczki akcepty bankowe mogą zmieniać właścicieli dowolną liczbę razy. Handluje się nimi na rynku wtórnym. Inwestor nabywający akcept bankowy może liczyć na spłatę pożyczki w wyznaczonym dniu. Akcept dłużnika może mieć formę pisemną na zadaniu zapłaty (tzw. akcept wyraźny) lub milczącą, gdy dłużnik upoważni bank do automatycznego regulowania zobowiązań, co do których nie złoży odmowy akceptu^[1]. Akcepty są często używane w międzynarodowym obrocie handlowym.

• Depozyt międzybankowy to podstawowym instrument zarządzania płynnością w bankach. Banki pożyczają sobie wzajemnie płynne rezerwy (środki pieniężne, które posiadają na rachunkach bieżących w NBP). Depozyty nie są zabezpieczone innymi aktywami lub zabezpieczeniem udzielonym przez stronę trzecią, dlatego banki mają ustalone limity operacji depozytowych z innymi bankami. Transakcje zawierane są tylko pomiędzy bankami mającymi rachunki bieżące w NBP. Minimalna wielkość transakcji jest równa 1 mln złotych.

Przypisy

1. ↑ Brak protestu w określonym terminie. Milczenie dłużnika jest równoznaczne z wyrażeniem zgody na dokonanie przez bank zapłaty z rachunku dłużnika na rachunek wierzyciela.

Obligacje

Definicja (Obligacja, wartość nominalna, termin wykupu) 

Obligacja (bond) to papier wartościowy, w którym emitent potwierdza swoje zobowiązanie finansowe w stosunku do jej nabywcy (stąd nazwa). Obligacje są zwykle emitowane w seriach o tej samej wartości nominalnej (face value, par value) - czyli kwotą jaką emitent zobowiązuje się wypłacić posiadaczowi po upływie terminu wykupu (maturity). W Polsce obligacje mają najczęściej wartość nominalną 100 lub 1000 złotych. W przypadku obligacji notowanych na giełdach ich wartość bieżącą podaje się w procentach wartości nominalnej (oczywiście dla obligacji o nominale 100 nie ma to znaczenia).

Obecnie większość obligacji jest rejestrowana elektronicznie na nazwisko właściciela, a należne zobowiązania są przelewane bezpośrednio na jego rachunek. Najczęściej emitowane typy obligacji to:

• [Obligacje kuponowe,] zwane też zwykłymi lub stałokuponowymi -- to obligacje o stałym oprocentowaniu, które jest wypłacane w regularnych odstępach. Nazwa bierze się z tradycyjnej ich postaci: papierowa postać posiadała odrywane kupony będące podstawą do wypłaty odsetek.
• [Obligacje zerokuponowe,] zwane też dyskontowymi -- to obligacje od których nie są wypłacane odsetki, gdyż po upływie terminu wykupu właściciel dostaje tylko wartość nominalną, a jego zysk jest różnicą między ceną zakupu, a wartością nominalną.
• [Obligacje o zmiennym oprocentowaniu (floating rate bonds) -- to obligacje, których oprocentowanie może się zmieniać częściej niż raz w roku. Określane są również jako zmiennokuponowe. Sposób naliczania odsetek może być powiązany z oprocentowaniem innych instrumentów finansowych (np. bonów skarbowych), wzrostem cen niektórych dóbr (np. ropy naftowej) poziomu inflacji itp. Z tego powodu często są one nazywane obligacjami indeksowanymi (index-linked bond). Najważniejszą klasą takich obligacji są obligacje skarbowe (tresury bonds), gdyż ich oprocentowanie jest używane jako różnego typu standardy (np. tzw. bezpieczna stopa procentowa). Emitentem tych obligacji jest Skarb Państwa lub jego odpowiednik. Najpopularniejsze są krótkoterminowe (do jednego roku) obligacje skarbowe zwane w Polsce bonami skarbowymi (treasury bills). Bony skarbowe są sprzedawane z dyskontem - są to więc obligacje zerokuponowe. mają one nominał 10000 złotych i nie są dostępne dla drobnych inwestorów, gdyż ustalany jest dosyć wysoki próg wielkości zakupu pozwalający na udział w przetargu.

Na rynkach finansowych funkcjonuje dosyć rozbudowany system oceniania wiarygodności dłużników (credit rating), w tym emitentów obligacji. Najpopularniejsze oceny wydawane są przez Fitch Group, Moody's oraz Standards & Poor's. Oceny te są wydawane dla poszczególnych inwestycji, instytucji a nawet państwom szczegóły można znaleźć w Wikipedii pod adresem http://en.wikipedia.org/wiki/Bond_credit_rating

wycena obligacji

dochodowość

krzywa dochodowości

średni okres do zapadalności

convexity

stałe a zmienne oprocentowanie

Akcje

Akcja (share), to dokument stwierdzający prawo jej właściciela zwanego akcjonariuszem do udziału w części majątku spółki akcyjnej. Może ona dawać, w zależności od statutu^[1] i rodzaju akcji, między innymi prawo do uczestniczenia w podziale zysków, zarządzaniu spółką i podziale majątku w przypadku jej likwidacji. Tradycyjnie akcje drukuje się na zabezpieczonym przed fałszerstwem papierze - stąd nazwa papiery wartościowe. W celu uniknięcia kłopotów związanych z kradzieżą, zniszczeniem itp, w większości krajów stworzono system depozytowy, który zajmuje się przechowywaniem akcji - właściciel posługuje się tylko pokwitowaniem złożenia akcji do depozytu. W Polsce rolę tę pełni Krajowy Depozyt Papierów Wartościowych (KDPW), a akcjonariusz uzyskuje tzw. świadectwo depozytowe stwierdzające jego prawo do określonej liczby akcji. Do obowiązków Krajowego Depozytu Papierów Wartościowych należy również rejestracja i rozliczanie wszystkich transakcji oraz kontrola ewidencji prowadzonych przez biura maklerskie. Przy obecnym stanie rozwoju technologicznym coraz więcej papierów wartościowych istnieje tyko w postaci zapisu elektronicznego. Dotyczy to szczególnie papierów spółek dopuszczonych do obrotu publicznego. Akcja zazwyczaj daje jej właścicielowi prawo do dywidendy (dividend), czyli części zysku spółki przeznaczonej do podziału, prawo do głosu na walnym zebraniu akcjonariuszy oraz prawa poboru, gdy spółka emituje nowe akcje przeznaczone tylko do aktualnych współwłaścicieli (akcjonariuszy). Spółka może emitować akcje różnego dwóch typów:

• akcje zwykłe
• akcje uprzywilejowane.

Uprzywilejowanie może dotyczyć liczby głosów na zebraniu akcjonariuszy, pierwszeństwa w wypłacaniu lub rodzaju dywidendy, pierwszeństwa przy podziale majątku spółki w przypadku likwidacji itp. W celu zabezpieczenia przed spekulacyjnym przejęciem kontrolnego pakietu akcji, w niektórych krajach spółki mogą emitować tzw. złotą akcję, która daje jej właścicielowi coś w rodzaju prawa veta oraz akcje bez prawa głosu na zebraniach akcjonariuszy. Spółka może emitować akcje tylko o jednakowej wartości zwanej wartością nominalną (face value). Czasami zachodzi konieczność podziału akcji na równe części w pewnym stosunku (split), np. 1:10. Zdarza się też operacja odwrotna - połączenie kilku akcji w jedną (reverse split), gdy na przykład ich cena jest za niska.

Przypisy

1. ↑ W Polsce regulacje prawne są zawarte w Kodeksie Handlowym.

struktura finansowa spółki

fundamentalna wycena akcjii

wycena przychodów firmy

Forex - czyli wymiana walutowa

kontrakty forward i futures

opcje- wycena

istota kontraktów opcyjnych

opcyjne kontrakty finansowe

wycena opcji

instrumety złożone

swapy

FRA

kilka słów o innych jeszcze

=

Fundusze inwestycyjne

Fundusz inwestycyjny (mutual fund) to działalność finansowa polegająca na przyjmowaniu depozytów od indywidualnych inwestorów i inwestowaniu ich w różne instrumenty finansowe i inne dobra (np.nieruchomości) dostępne na rynku -- zwykle zakres takiej działalności są określone w statucie (regulaminie) funduszu. Rozróżniamy dwa podstawowe typy funduszy inwestycyjnych:

• Fundusz inwestycyjny otwarty (open-end fund, unit trust) - to fundusz, który ma zmienną liczbę uczestników i wielkość powierzonego kapitału. Udziały (jednostki uczestnictwa) mogą być nabywane i umarzane praktycznie w dowolnym momencie. Wartość jednostki uczestnictwa jest liczona według prostego wzoru:

\(\frac{\text{warto\'s\'c aktyw\'ow netto}}{\text{liczba jednostek uczestnictwa}}\).

• Fundusz inwestycyjny zamknięty (closed-end fund, investment fund) - to w zasadzie spółka akcyjna zajmująca się inwestowaniem powierzonego kapitału na rynkach finansowych. Liczba udziałowców jest stała, udziały są często notowane na giełdzie. Udziałowcy zyskują na wzroście wartości kapitału spółki (wartości jednostki udziału/akcji), a w niektórych przypadkach także dzięki wypłacanym dywidendom.

Nazwa funduszu zwykle odzwierciedla stopień i formę zaangażowania w poszczególne instrumenty finansowe lub strategię inwestycyjną. Do najważniejszych typów funduszy należą:

• fundusze hedgingowe^[1],
• indeksowe oraz
• parasolowe.

Celem funduszy hedgingowych jest osiąganie zysku nie tylko na wzrostach ale i na spadkach rynku, co jest uzyskiwane przez przesunięcie akcentu z inwestycji w akcje na inwestycje w instrumenty pochodne oraz na inne, niekonwencjonalne strategie inwestycyjne, oparte m.in. na zautomatyzowanych systemach inwestycyjnych. Fundusz indeksowy to fundusz inwestycyjny utrzymujący skład swojego portfela zgodny ze składem wybranego indeksu giełdowego. Fundusze parasolowe to specyficzna odmiana funduszy inwestycyjnych, której podstawową cechą charakterystyczną jest posiadanie kilku odrębnych "kieszeni" (tzw. subfunduszy), które są zarządzane według całkowicie odrębnych strategii inwestycyjnych. Z punktu widzenia uczestnika, ważne jest to, zamiana z jednego subfunduszu (np. akcji) do innego subfunduszu (np. obligacji) jest wykonywana w ramach tego samego funduszu - można więc uniknąć w ten sposób płacenia podatku dochodowego^[2]. Niektóre fundusze otwarte inwestujące na rynkach zagranicznych prowadzą dwa typy jednostek, które są wyceniane w walucie krajowej lub obcej.

Przypisy

1. ↑ Hedging to strategia zabezpieczająca posiadane w portfelu aktywa, polegająca na zajęciu przeciwstawnej, w stosunku do aktualnie posiadanej, pozycji na rynku terminowym.
2. ↑ W tradycyjnych funduszach proces taki polega na umorzeniu jednostek uczestnictwa w pierwszym funduszu i zakup jednostek w drugim. Jeśli pierwsza inwestycja była zyskowna to po umorzeniu płaci się podatek dochodowy.

Instrumenty pochodne

Przypisy

rynek i zarzadzanie portfelem instrumentów finansowych

hipoteza rynku efektywnego

analiza portfela i wycena aktywów

zarzadzanie porfelem instrumentów finansowych

ocena efektywności zarządzania

ryzyko- zabezpieczenie przed ryzykiem rynkowym, wybrane obszary

Procent złożony

\[ FV = PV ( 1+i )^n\, \] \[ PV = \frac {FV} {\left( 1+i \right)^n}\,\] \[ i = \left( \frac {FV} {PV} \right)^\frac {1} {n}- 1\] \[ n = \frac {\log(FV) - \log(PV)} {\log(1 + i)}\]

Klinij tutaj aby zrobić kopię zapasową strony (bez ilustracji)