Z Skrypty dla studentów Ekonofizyki UPGOW
Instrumenty rynków finansowych
Część pierwsza
Wstęp
Kilka słów o rynkach finansowych
W przeciągu ostatniego półwiecza matematyka finanasowa przerodziła się z rachunków rzadko wykraczających poza oprocentowanie i dyskontowanie bazujące na ciągach arytmetycznych i geometrycznych w samodzielną dyscyplinę nauki wykorzystującą zaawansowany formalizm matematyki, teorii prawdopodobieństwa, teorii informacji, fizyki statystycznej, a ostatnio nawet mechniki kwantowej. Zmiany te sa wynikiem niezwykle intensywnego rozwoju rynków i instytucji finansowych spowodowanych globalizacją i informatyzacją. Inwestycja finansowa jest tu rozumiana w bardzo szerokim sensie, a celem wykładu jest przedstawienie podstaw zmiany wartości kapitału w czasie, metod wyceny (modelowania wartości) strumieni (przepływów) kapitałowych, instrumentów pochodnych oraz portfeli inwestycyjnych. Do zrozumienia materiału wystarczy znajomość matematyki uzyskana w czasie pierwszych dwóch lat studiów (ekonofizyka). Ze względu na informacyjno-wprowadzający charakter wykładu omawiane są najważniejsze i najbardziej reprezentatywne instrumenty i narzędzia. Główny akcent jest położony na praktyczne aspekty dyskutowanych problemów.
Rynkowe stopy procentowe - cena czasu i ryzyko
arytmetyka finansowa
Z wyjątkiem okresów hiperinflacji, w życiu codziennym rzadko musimy uwzględniać zmienność wartosci pieniądza w czasie. Jednak planując poważniejsze inwestycje (np kupno domu) musimy już tę zmienność uwzględniać. W matematyce finansowej analiza zjawiska zmiany wartości pieniądza jest jednym z najważniejszych problemów, a przyjęte założenia i ich konsekwencje mają istotny wpływ na wnioski dotyczące szerokiej klasy zagadnień ekonomicznych. Problem ten komplikuje dodatkowo fakt, że wiekszość instytucji finansowych operuje tzw. czasem bankowym, który często różni się od czasu rzeczywistego zwanego również czasem kalendarzowym. Nietrywialne jest też często uwzględnienie okresów, gdy pewne instytucje są nieczynne lub czynności niemożliwe (np w nocy). W tym paragrafie omówimy pojęcie czasu bankowego, które ma istotny wpływ na proces kapilalizacji odsetek. Zgodnie z obowiązującym w Polsce prawem bankowym, rok bankowy ma 360 dni i dzieli się na 12 miesięcy bankowych, o długości 30 dni każdy.
Przykład
Obliczmy różnicę między czasem bankowym a rzeczywistym w okresie od 01.03.07 do 31.05.07. Według czasu bankowego upłynęły 3 miesiące, czyli 90 dni. W rzeczywistości upłynęło 31+30+31=92 dni. Bardziej zaskakujący wynik otrzymamy obliczając tę różnicę dla okresu 29.05.07 do 5.06.07. Czas bankowy to (30-29)+5=6 podczas, gdy w rzeczwistości upłynęło 7 dni. Różnica wynosi aż 1/7, czyli około 14,28%!
Różnice obliczone w powyższym przykładzie pokazują, że może ona mieć istotny wpływ na koszty kredytu czy wysokość oprocentowania -- obrazuje to poniższa tabela dla kredytu w wysokości 100000 zł udzielenego na okres od 01.03.07 do 31.05.07 przy rocznej stopie oprocentowania w wysokości 12%. Odsetki I obliczamy według wzoru \(I=100000\cdot 0,12\cdot n_x =12000\cdot n_x,\) gdzie \(n_x, x=r \ \text{lub}\ x=b\) oznacza współczynnik zamiany dni na lata, \( n_r=\frac{\text{czas w dniach}}{365},\) a \(n_b=\frac{\text{czas w dniach}}{360}\)
| wysokość odsetek | nr | nb |
|---|---|---|
| czas rzeczywisty | 3024,66 zł | 3066,67 zł |
| czas bankowy | 2958,90 zł | 3000,00 zł |
Banki, których podstawową działalnością jest udzielanie kredytów zainteresowane są naliczaniem odsetek według tak zwanej reguły bankowej, naliczaniem dni według czasu rzeczywistego i zamaniana dni na lata według czasu bankowego (prawa, górna kratka w powyższej tabeli).
Drugim ważnym zagadniem związanym z czasem jest tak zwany czas wzorcowy. Otóż wiele transakcji i umów
zawartych na rynkach lub związanych z nimi zawiera w swojej treści
lub istocie odniesienie do czasu. Na przykład, dla każdej
transakcji giełdowej określony jest czas zrealizowania tej
transakcji. W związku z tym w edokumentach (elektronicznych lub
papierowych) wymagany jest tak zwany stempel czasowy określający ten czas. Instytucja pośrednicząca lub
dokumentująca takie transakcje jest zobowiązana do pobierania
wzorca czasu (tzw. Uniwersalny Czas Koordynowany) z legalnego żródła. W
Polsce regulowane to jest Ustawą z dnia 10 grudnia 2003 roku o
czasie urzędowym na obszarze Rzeczypospolitej
Polskiej
Ogólnie rzecz biorąc, przez inwestycję będziemy rozumieli ciąg wydatków i wpływów w
rozpatrywanym okresie czasu, które nazywamy przepływami pieniężnymi. Wydatki i wpływy najwygodniej opisuje
się w jednostkach pieniężnych to jest w jednostkach wyróżnionego
dobra - pieniądza - funkcjonującego na rynku, które
jest swobodnie wymieniane na inne dobra
Definicja Pojedynczy wpływ netto nazywamy przepływem pieniężnym (cash flow). Może on być dodatni lub ujemny. Ciąg przepływów pieniężnych w określonych momentach nazywamy strumieniem przepływów pienieżnych (cash flow stream).
Zauważmy, że przepływy pieniężne mogą być dokładnie określone (np. odestki od lokat) lub niepewne (najczęściej losowe). Dlatego wyróżniamy przepływy deterministyczne i uogólnione (niedetrministyczne). Za pomocą strumieni pienieżnych możemy w wmiare jednolity sposób analizować różne klasy problemów dotyczących opisu, oceny i zarządznia inwestycjami. Strumień przepływów pieniężnych najłatwiej opisuje się, gdy poszczególne wpływy są znane. Wtedy, gdy przyjmniemy pewien okres bazowy (np rok), strumień przepływów będziemy zapisywać następująco \((a_0, a_1,\ldots ,a_{n-1}, a_n)\), gdzie \(a_0\) jest przepływem w chwili początkowej, a $a_i$ przepływem po upływie $i$-tego okresu bazowego. Gdy przepływy nie następują po jednakowych okresach czasu, wygodnie jest przyjąć za okres bazowy\index{okres bazowy} taki okres, by wszystkie przepływy następowały po upływie całkowitych wielokrotności okresu bazowego -- wtedy możemy zapis uzupełnić zerami w chwilach, gdy nie ma przepływów. \begin{przyklad}Kupno trzyletniej obligacji Skarbu Państwa o nominale 100 złotych opisuje następujący strumień: $$(-100,a_1,\ldots ,a_11,100+a_{12}), $$\tag{1} gdzie $a_i$ to odsetki wypłacane po $i-$tym kwartale. Pierwszy przepływ jest ujemny, bo wydaliśmy 100 zł na kupno obligacji; po upływie ostatniego okresu bazowego nastepuje zwrot warości nominalnej i wypłata odsetek za ostani kwartał. \end{przyklad}
teoria procentu
W nimniejszym opracowaniu terminu kapitał używamy w stosunkowo ograniczonym sensie:
Definicja Kapitał to dobro rynkowe, które może być wyrażone w dowolnej chwili w jednostakch innych dóbr, które są na tyle płynne by przelicznik między tymi jednostkami nie budził kontrowersji. Jednostkami mogą być np. uncja złota, baryłka ropy naftowej, pieniądz.
Jak mierzyć zysk? -- to chyba najbardziej fundamentalne pytanie dla teorii inwestycji. Najprostszą stosowaną miara zysku jest podawanie względnego przyrostu wartości kapitału. Zwykle podaje się ją w procentach. Procent oznacza jedną setną i w matematyce finansowej pojęcie to jest powszechnie używane do opisu korzyści płynących z użytkowania kapitału. W związku z tym wprowadza się pojęcie kapitalizacji odsetek, które oznacza powiększenie tegoż kapitału o wygenerowane odsetki.
Stopy procentowe
W paragrafie tym omówimy dwie metody obliczania i kapitalizacji odsetek. Zaczniemy od podania definicji:
Okresowa stopa procentowa
Stosunek wypracowanych w danym okresie - zwanym czasem oprocentowania - odsetek do kapitału, który je wygenerował nazywamy okresową stopą procentową. Okres ten nazywamy okresem bazowym. Wyjściową wartość kapitału nazywamy kapitałem początkowym, zaś kapitał początkowy powiększony o odestki nazywamy kapitałem końcowym.
W większości umów między wierzycielem a dłużnikiem to właśnie stopy procentowe są używane do określenia procentu, przy czym stosuje się dwie reguły postępowania: oprocentowanie proste oraz oprocentowanie składane, które omówimy poniżej. Zauważmy jeszcze, że równolegle funkcjonuje jeszcze termin warunki oprocentowania, który został wprowadzony przez banki by zamieszać w głowach potencjalnych kredytobiorców. Ukrywa on mianowicie wszelkiego rodzaju dodatkowe opłaty mające na celu obejście obowiązującego prawa lub stworzenie pozorów niższej stopy procentowej. Nie wiadomo dlaczego prawodawca pozwala na chwyty -- nic nie stoi na przeszkodzie by koszty kredytu opisywać jednym parametrem. \subsection{Oprocentowanie proste}\index{oprocentowanie proste} Oprocentowanie proste jest najprostszą\footnote{Zasada ta jest najprostsza i w wielu przypadkach nawet narzucona systemem prawnym, który wyróżnia tzw. kapitał odsetkowy\index{kapitał!odsetkowy}. Pozwala to na nic niekosztujące odroczenie spłaty. Wady tej nie ma oprocentowanie skladane.} zasadą nalicznia odsetek. Moża ją charakteryzować w następujący sposób. \begin{definicja} \tag{2} W oprocentowaniu prostym odsteki naliczamy proporcjonalnie do długości okresu oprocentowania. Ogólnie możemy zapisac: $$V=(1+nr)K, $$ gdzie $V, K, r$ i $n$ oznaczają, odpowiednio, kapitał końcowy, kapitał początkowy, stopę procentową i liczbę okresów bazowych dla stopy $r$. W sytuacji, kiedy czas trwania inwestycji jest krótszy od okresu bazowego, odsetki też naliczamy proporcjonalnie, tzn. po upływie $f$-tej części okresu bazowego naliczymy odsetki w wysokości $fr$. \end{definicja} \begin{przyklad} \tag{3} \end{przyklad} Definicję (2) łatwo można uogólnić na przypadek, gdy stopa procentowa jest zmienna w czasie. Przyjmijmy, że czas oprocentowania kapitału $K$ wynosi $n$ okresów bazowych i tworzy go $m$ następujących po sobie okresów o długościach $n_i$, $i=1,\ldots ,m$, w których obowiązują stopy procentowe $r_i$. Obliczając odsetki proste dla poszczególnych okresów i dodając je otrzymujemy: $$V=(1+\sum_{l=1}^{l=m}n_lr_l)K, $$ \begin{przyklad} \tag{4} \end{przyklad} W przypadku zmiennej stopy procentowej możemy zdefiniować przecietną stope procentową\index{stopa procentowa!przeciętna} $\bar{r}$: \begin{definicja} \tag{5}Przeciętną stopą prcentową nazywa się roczną stopę, przy której kapitał $K$ generuje w czasie $n$ odsetki o takiej samej wartości, jak przy danej stopie zmiennej obowiązującej w tym czasie. \end{definicja} Z definicyjnej równośći, przyjmując oznaczenia jak wyżej, $$n\bar{r}K=K\sum_{j=1}^{m}r_jn_j$$ natychmiast otrzymujemy formułę pozwalającą obliczyć stopę przeciętna: $$\bar{r}=\frac{1}{n}\sum_{j=1}^{m}r_jn_j.$$ Zauważmy, że nie zależy ona ok wartości kapitału początkowego. \subsection{Oprocentowanie składane}\index{oprocentowanie składane} \begin{definicja} \tag{6} W oprocentowaniu składanym odsteki są naliczane po upływie z góry ustalonego okresu zwanego okresem kapitalizacji\index{okres kapitalizacji}. Wynika stąd, że gdy czas oprocentowania jest dłuższy od okresu kapitalizacji, to odsetki są kapitalizowane wielokrotnie: Ogólnie możemy zapisac: $$V=(1+r)^nK, $$ gdzie $V, K, r$ i $n$ oznaczają, odpowiednio, kapitał końcowy, kapitał początkowy, stopę procentową i liczbę okresów bazowych dla stopy $r$. W sytuacji, kiedy okres kapitalizacji jest krótszy od okresu bazowego, odsetki naliczamy proporcjonalnie, tzn. po upływie $f$-tej części okresu bazowego naliczymy odsetki w wysokości $fr$. \end{definicja} \begin{przyklad} \tag{7} \end{przyklad} Zauważmy, że rożne okresy kapitalizacji mogą utrudnić szybką ocenę warunków oprocentowania podawanych dla różnych okresów bazowych. Z tego powodu często wprowadza sie pojęcie ronoważności stóp procentowych: \begin{definicja} \tag{8}\index{stopa procentowa!równoważność} Mówimy, że w oprocentowaniu składanym dwie stopy $i_1$ oraz $i_2$ są rownoważne jeśli przy każdej z nich odsetki składane po czasie $t$ są identyczne. \end{definicja} Prosty rachunek przekonuje nas, że pojęcie to jest niezależne od wartości kapitału początkowego ani od czasu oprocentowania. Oznaczając przez $n_1$ i $n_2$ ilości okresów bazowych składających się na czas oprocentowania $t$ otrzymujemy: $$V_1=(1+i_1)^{n_1}K=V_2=(1+i_2)^{n_2}K \Rightarrow (1+i_1)^{n_1}=(1+i_2)^{n_2}.$$ Przy okazji uzyskaliśmy równięż formułę opisującą równoważność stóp. Często podaje się tzw. nominalną stopę procentową $r_{nom}$, \index{stopa procentowa!nominalna} którą definiuje się jako iloczyn stopy procentowej dla danego okresu bazowego przez liczbę okresów bazowych składających się na 1 rok, $r_{nom}(i_{k})=ki_{k},$ gdzie $k$ jest liczbą okresów bazowych składających się na 1 rok. Nie uwzględnia ona okresów kapitalizacji różnych od jednego roku i dlatego może być myląca.
Granicznym przypadkiem oprocentowania
składanego jest kapitalizacja ciągła (continuous compunding)\index{kapitalizacja ciągła}: \begin{definicja} \tag{9} Przez kapitalizację ciągłą rozumiemy granicę procesu kapitalizacji składanej, w której długośc okresu kapitalizacji dąży do zera: $$ \lim _{m\rightarrow \infty}(1+\frac{r}{m})^{m}=e^{r},$$ gdzie $e$ oznacza stałaą Eulera równą w przybliżeniu $2,7818\ldots $. \end{definicja} Warunek równoważności stóp procentowych można rozszerzyć, tak by porównywać kapitalizację ciągła i składaną dyskretną: $$(1+i)^{n_i}=e^{tr_c},$$ gdzie $n_i$ jest liczbą okresów bazowych składających się na $t$. Bezsensowne jest analogiczne porównywanie dla kapitalizacji prostej, gyż, jak łatwo się przekonac, zależałoby ono od długości okresu oprocentowania. \section{Dyskonto}\index{dyskonto}Przeanalizowaliś już ogólne zasady zmiany wartości kapitału w czasie spowodowane dopisywaniem odsetek. Obecnie zajmniemy się procesem odwrotnym, tzn. obliczymy jaką warość posiada w chwili obecnej wypłata, którą otrzymamy (spodziewamy sie otrzymać) w przyszłości. Wielkość tą nazywa się wartością obecna (present value -- PV) a proces dyskontowaniem (discounting).\index{wartość obecna}\index{dyskontowanie} \section{Inflacja i realne stopy procentowe}\index{stopa procentowa!realna} Inflację zwykle definiuje się (dosy\'c nieprecyjnie) jako wzrost ogólnego poziomu cen w danym okresie\footnote{W przypadku, gdy ten wzrost jest ujemny mówimy o deflacji.}.\index{okres bazowy} Jakościowo mierzy sie ją poprzez obliczanie tzw. stopy inflacji (inflation rate) $f$. Zwykle nie jest możliwe uwzględnienie cen wszystkich towarów i usług, dlatego wyróżnia się pewien koszyk dóbr dla których obliczamy zmiany cen. Ceny jakie będą obowiązywały po upłynięciu okresu bazowego będą więc równe iloczynowi cen aktualnych i czynnika inflacji $(1+f)$.\index{czynnik inflacji} Zazwyczaj stopy inflacji podaje się wstecz -- wtedy są one wielkościmi dokładnymi (ale zależnymi od składu koszyka!). Do działalności gospodarczej niezbędna często jest prognozowana wartość inflacji. Dlatego różne instytucje ogłaszją prognozowane stopy inflacji dla najbliższych okresów bazowych. Jeśli stopa inflacji wynosi $f$ to wartość nabywcza jednostki pieniężnej po upływie okresu bazowego zmienia ię o czynnik $\frac{1}{1+f}$\footnote{Tak naprawdę, to tylko w odniesieniu do koszyka używanego do definicji stopy inflacji. Zmiana ceny konkretnego dobra na ogól nijak się ma do poziomu inflacji -- wyjątkiem są tu okresy hiperinlacji, kiedy to ogólna tendecja jest szególnie widoczna.} (spada razy $(1+f)$). Stopę inflacji najczęściej podaje się w procentach. Inflacja się kumuluje -- dla jej obliczenia dla kilku okresów bazowych stosujemy zasadę procentu składanego. W analizach wygodne jest operowanie pieniądzem o tej samej sile nabywczej. Umożliwia to zaniedbanie w analizach poziomu inflacji. W takich przypadkach wszystkie przepływy kapitałowe podajemy w tzw. cenach stałych\index{cena!stała} w stosunku do poziomu cen z wybranego okresu bazowego. Wprowadza sie więc hipotetyczne jednoski pieniężne, np. constant (real) dollar. Odwrotnym procesem jest jest wyrażanie przepływów kapitałowych w cenach nominalnych zwanych również rzeczywistymi. \index{cena!nominalna} \index{cena!rzeczywista} Wprowadza się również tzw rzeczywistą stopę procentową (real interest rate),\index{stopa procentowa!rzeczywista} zdefiniowana jako stopę, zgodnie z którą wzrasta realna wartość lokaty oprocentowanej według stopy nominalnej -- czyli jest totempo wzrostu siły nabywczej kapitału zdeponowanego na tej lokacie. Dla realnej stopy procentowej $r_0$ otrzymujemy więc związek\footnote{Wartość lokaty wzrasta nominalnie o czynnik $(1+r)$, ale wartość nabywcza spada w tempie $\frac{1}{1+f}$ na okres bazowy.}: $$ 1+r_0=\frac{1+r}{1+f}$$ lub $$ r_0= \frac{r-f}{1+f},$$gdzie $r$ jest stopą nominalną, a $f$ stopa inflacji.
instrumenty rynku pieniężnego
instrumenty dochodowe
instrumenty dyskontowe
Obligacje
typy obligacji
wycena obligacji
dochodowość
krzywa dochodowości
średni okres do zapadalności
convexity
stałe a zmienne oprocentowanie
Akcje
struktura finansowa spółki
fundamentalna wycena akcjii
wycena przychodów firmy
Forex - czyli wymiana walutowa
kontrakty forward i futures
opcje- wycena
istota kontraktów opcyjnych
opcyjne kontrakty finansowe
wycena opcji
instrumety złożone
swapy
FRA
kilka słów o innych jeszcze
=
rynek i zarzadzanie portfelem instrumentów finansowych
hipoteza rynku efektywnego
analiza portfela i wycena aktywów
zarzadzanie porfelem instrumentów finansowych
ocena efektywności zarządzania
ryzyko- zabezpieczenie przed ryzykiem rynkowym, wybrane obszary
Procent złożony
\[ FV = PV ( 1+i )^n\, \] \[ PV = \frac {FV} {\left( 1+i \right)^n}\,\] \[ i = \left( \frac {FV} {PV} \right)^\frac {1} {n}- 1\] \[ n = \frac {\log(FV) - \log(PV)} {\log(1 + i)}\]
Klinij tutaj aby zrobić kopię zapasową strony (bez ilustracji)
Błąd rozszerzenia cite: Istnieje znacznik
<ref>, ale nie odnaleziono znacznika <references/>