Liczby

Z Skrypty dla studentów Ekonofizyki UPGOW

(Różnice między wersjami)
 
(Nie pokazano 3 wersji pomiędzy niniejszymi.)
Linia 1: Linia 1:
[[Category:KURS MATEMATYKI]]
[[Category:KURS MATEMATYKI]]
 +
Podamy poniżej intuicyjne określenia zbiorów liczbowych, które są w zupełności wystarczające dla celów niniejszego skryptu. Nie są to w żadnym przypadku ścisłe definicje, które są bardzo rozbudowane.
 +
== Liczby naturalne ==
== Liczby naturalne ==
-
Zbiór liczb naturalnych N tworzą liczby 0,1,2,3,...
+
Zbiór liczb naturalnych <math>\mathbb{N}</math> tworzą liczby <math>1,2,3,\ldots</math>
-
:<math>N = \{0,1,2,3,\ldots \}</math>
+
:<math>\mathbb{N} = \{1,2,3,\ldots \}</math>
-
Nie ma największej liczby naturalnej, czyli innymi słowy dla każdej liczby naturalnej mozna znaleźć liczbę większą. (ex. sage) Najmniejszą liczbą naturalną jest 0, przy czym uwaga - niektóre podręczniki definiują zbiór liczb naturalnych jako zbiór {1,2,3,...}. W tym przypadku 0 nie jest liczbą naturalną.
+
Nie ma największej liczby naturalnej, czyli innymi słowy dla każdej liczby naturalnej można znaleźć liczbę większą. Matematycy czasami przyjmują, że najmniejszą liczbą naturalną jest 1, a czasami że 0. My przyjmiemy, że 1 jest najmniejszą liczbą naturalną.
== Liczby całkowite ==
== Liczby całkowite ==
-
Zbiór liczb całkowitych C tworzą liczby ...,-3,-2,-1,-,1,2,3,...
+
Zbiór liczb całkowitych <math>\mathbb{C}</math> tworzą liczby <math>\ldots,-3,-2,-1,0,1,2,3,\ldots</math>
-
:<math>C = \{\ldots,-3,-2,-1,0,1,2,3,\ldots \}</math>
+
:<math>\mathbb{C} = \{\ldots,-3,-2,-1,0,1,2,3,\ldots \}</math>
-
Nie ma najmniejszej ani największej liczby całkowitej, a zbiór liczb naturalnych zawiera się w zbiorze liczb całkowitych
+
Nie ma najmniejszej ani największej liczby całkowitej, a zbiór liczb naturalnych zawiera się w zbiorze liczb całkowitych:
-
:<math>N \subset C</math>
+
:<math>\mathbb{N} \subset \mathbb{C}</math>
==Liczby wymierne==
==Liczby wymierne==
-
Zbiór liczb wymiernych W tworzą liczby postaci <math>\frac{m}{n}</math>, gdzie <math>m,n \in C </math> oraz <math> n \neq 0</math>
+
Zbiór liczb wymiernych <math>\mathbb{W}</math> tworzą liczby postaci <math>\frac{m}{n}</math>, gdzie <math>m,n \in \mathbb{C} </math> oraz <math> n \neq 0</math>
-
:<math>W = \{\frac{m}{n}, m,n \in C \wedge n \neq 0\}</math>
+
:<math>\mathbb{W} = \{\frac{m}{n}: m,n \in \mathbb{C} \wedge n \neq 0\}</math>
-
Nie ma najmniejszej ani największej liczby wymiernej, a zbiór liczb całkowitych zawiera się w zbiorze liczb wymiernych
+
Nie ma najmniejszej ani największej liczby wymiernej, a zbiór liczb całkowitych zawiera się w zbiorze liczb wymiernych:
-
:<math>C \subset W</math>
+
:<math>\mathbb{C} \subset \mathbb{W}</math>
== Liczby niewymierne ==
== Liczby niewymierne ==
-
Zbiór liczb niewymiernych IW tworzą liczby, których nie można przedstawić w postaci <math>\frac{m}{n}</math>, gdzie <math>m,n \in C</math>, oraz <math>n \neq 0</math>, czyli nie można przedstawić w postaci ułamka. Przykładami liczb niewymiernych są <math>\sqrt{2}</math>, <math>\pi</math>, <math>\sqrt{13}</math>, liczba <math>e</math> i nieskończenie wiele innych. Z podanej definicji zbioru IW wynika, że zbiory liczb wymiernych i niewymiernych są rozłączne, czyli nie posiadają elementów wspólnych
+
Zbiór liczb niewymiernych <math>\mathbb{IW}</math> tworzą liczby, których nie można przedstawić w postaci <math>\frac{m}{n}</math>, gdzie <math>m,n \in \mathbb{C}</math>, oraz <math>n \neq 0</math>, czyli nie można przedstawić w postaci ułamka. Przykładami liczb niewymiernych są <math>\sqrt{2}</math>, <math>\pi</math>, <math>\sqrt{13}</math>, liczba <math>e</math> i nieskończenie wiele innych. Z podanego określenia zbioru <math>\mathbb{IW}</math> wynika, że zbiory liczb wymiernych i niewymiernych są rozłączne, czyli nie posiadają elementów wspólnych:
-
:<math>W \cap IW = \emptyset</math>
+
:<math>\mathbb{W} \cap \mathbb{IW} = \emptyset</math>
== Liczby rzeczywiste ==
== Liczby rzeczywiste ==
-
Zbiór liczb rzeczywistych R tworzy suma zbioru liczb wymiernych W i zbioru liczb niewymiernych IW (zbiory W i IW są rozłączne)
+
Zbiór liczb rzeczywistych <math>\mathbb{R}</math> tworzy suma zbioru liczb wymiernych <math>\mathbb{W}</math> i zbioru liczb niewymiernych <math>\mathbb{IW}</math> (zbiory <math>\mathbb{W}</math> i <math>\mathbb{IW}</math> są rozłączne):
-
:<math>R = W \cup IW</math>
+
:<math>\mathbb{R} = \mathbb{W} \cup \mathbb{IW}</math>
-
Oczywiście nie ma najmniejszej ani największej liczby rzeczywistej, a pomiędzy dwie dowolne liczby rzeczywiste można włożyć nieskończenie wiele liczb rzeczywistych. Przykład w sage. Mówiąc obrazowo liczby rzeczywiste to <math>\it wszystkie</math> liczby i tymi liczbami będziemy się posługiwać na zajęciach z analizy matematycznej.   
+
Oczywiście nie ma najmniejszej ani największej liczby rzeczywistej, a pomiędzy dwie dowolne liczby rzeczywiste można włożyć nieskończenie wiele liczb rzeczywistych.
== Liczby zespolone ==
== Liczby zespolone ==
-
Zbiór liczb zespolonych Z tworzą liczby postaci <math>\it z = a + ib</math>, gdzie <math>\it a,b \in R</math>, <math>a \it i</math> jest tzw. jednostką urojoną, czyli rozwiązaniem równania <math>\it i^{2} = -1</math>.
+
Zbiór liczb zespolonych <math>\mathbb{Z}</math> tworzą liczby postaci <math> z = a + i\,b </math>, gdzie <math> a,b \in \mathbb{R} </math>, a <math> i </math> jest tzw. jednostką urojoną, czyli rozwiązaniem równania <math> i^{2} = -1 </math>.
-
:<math>Z =  \{ \it z = a + ib, \it a,b \in R, \it i^{2} = -1\}</math>
+
:<math>\mathbb{Z} =  \{ z = a + i\,b:\ a,b \in \mathbb{R},\ i^{2} = -1\} </math>
-
Liczby zespolone przedstawia się zwykle na tzw. płaszczyźnie zespolonej, która jest podzielona na cztery części dwoma osiami: rzeczywistą <math>\Re</math> i urojoną <math>\Im</math>. Własności i działania na liczbach zespolonych są omawiane na zajęciach z algebry.
+
Liczby zespolone przedstawia się zwykle na tzw. płaszczyźnie zespolonej, która jest podzielona na cztery części dwoma osiami: rzeczywistą i urojoną. Własności i działania na liczbach zespolonych zostaną omówione w dalszej części kursu.
-
W świetle powyższych definicji, oczywista jest następująca zależność zawierania się zbiorów liczbowych:
+
W świetle powyższych określeń, oczywista jest następująca zależność zawierania się zbiorów liczbowych:
<br>
<br>
-
:<math>N \subset C \subset W \subset R \subset Z</math>
+
:<math>\mathbb{N} \subset \mathbb{C} \subset \mathbb{W} \subset \mathbb{R} \subset \mathbb{Z}</math>
 +
 
 +
W literaturze można spotkać inne oznaczenia zbiorów liczbowych<math>: \mathbb{Z}</math> - zbiór liczb całkowitych, <math> \mathbb{Q}</math> - zbiór liczb wymiernych, <math>\mathbb{C}</math> - zbiór liczb zespolonych.

Aktualna wersja na dzień 08:53, 31 mar 2015

Podamy poniżej intuicyjne określenia zbiorów liczbowych, które są w zupełności wystarczające dla celów niniejszego skryptu. Nie są to w żadnym przypadku ścisłe definicje, które są bardzo rozbudowane.

Spis treści

Liczby naturalne

Zbiór liczb naturalnych \(\mathbb{N}\) tworzą liczby \(1,2,3,\ldots\)

\[\mathbb{N} = \{1,2,3,\ldots \}\]

Nie ma największej liczby naturalnej, czyli innymi słowy dla każdej liczby naturalnej można znaleźć liczbę większą. Matematycy czasami przyjmują, że najmniejszą liczbą naturalną jest 1, a czasami że 0. My przyjmiemy, że 1 jest najmniejszą liczbą naturalną.

Liczby całkowite

Zbiór liczb całkowitych \(\mathbb{C}\) tworzą liczby \(\ldots,-3,-2,-1,0,1,2,3,\ldots\)

\[\mathbb{C} = \{\ldots,-3,-2,-1,0,1,2,3,\ldots \}\]

Nie ma najmniejszej ani największej liczby całkowitej, a zbiór liczb naturalnych zawiera się w zbiorze liczb całkowitych:

\[\mathbb{N} \subset \mathbb{C}\]

Liczby wymierne

Zbiór liczb wymiernych \(\mathbb{W}\) tworzą liczby postaci \(\frac{m}{n}\), gdzie \(m,n \in \mathbb{C} \) oraz \( n \neq 0\)

\[\mathbb{W} = \{\frac{m}{n}: m,n \in \mathbb{C} \wedge n \neq 0\}\]

Nie ma najmniejszej ani największej liczby wymiernej, a zbiór liczb całkowitych zawiera się w zbiorze liczb wymiernych:

\[\mathbb{C} \subset \mathbb{W}\]

Liczby niewymierne

Zbiór liczb niewymiernych \(\mathbb{IW}\) tworzą liczby, których nie można przedstawić w postaci \(\frac{m}{n}\), gdzie \(m,n \in \mathbb{C}\), oraz \(n \neq 0\), czyli nie można przedstawić w postaci ułamka. Przykładami liczb niewymiernych są \(\sqrt{2}\), \(\pi\), \(\sqrt{13}\), liczba \(e\) i nieskończenie wiele innych. Z podanego określenia zbioru \(\mathbb{IW}\) wynika, że zbiory liczb wymiernych i niewymiernych są rozłączne, czyli nie posiadają elementów wspólnych:

\[\mathbb{W} \cap \mathbb{IW} = \emptyset\]

Liczby rzeczywiste

Zbiór liczb rzeczywistych \(\mathbb{R}\) tworzy suma zbioru liczb wymiernych \(\mathbb{W}\) i zbioru liczb niewymiernych \(\mathbb{IW}\) (zbiory \(\mathbb{W}\) i \(\mathbb{IW}\) są rozłączne):

\[\mathbb{R} = \mathbb{W} \cup \mathbb{IW}\]

Oczywiście nie ma najmniejszej ani największej liczby rzeczywistej, a pomiędzy dwie dowolne liczby rzeczywiste można włożyć nieskończenie wiele liczb rzeczywistych.

Liczby zespolone

Zbiór liczb zespolonych \(\mathbb{Z}\) tworzą liczby postaci \( z = a + i\,b \), gdzie \( a,b \in \mathbb{R} \), a \( i \) jest tzw. jednostką urojoną, czyli rozwiązaniem równania \( i^{2} = -1 \).

\[\mathbb{Z} = \{ z = a + i\,b:\ a,b \in \mathbb{R},\ i^{2} = -1\} \]

Liczby zespolone przedstawia się zwykle na tzw. płaszczyźnie zespolonej, która jest podzielona na cztery części dwoma osiami: rzeczywistą i urojoną. Własności i działania na liczbach zespolonych zostaną omówione w dalszej części kursu.

W świetle powyższych określeń, oczywista jest następująca zależność zawierania się zbiorów liczbowych:
\[\mathbb{N} \subset \mathbb{C} \subset \mathbb{W} \subset \mathbb{R} \subset \mathbb{Z}\]

W literaturze można spotkać inne oznaczenia zbiorów liczbowych\(: \mathbb{Z}\) - zbiór liczb całkowitych, \( \mathbb{Q}\) - zbiór liczb wymiernych, \(\mathbb{C}\) - zbiór liczb zespolonych.