Liczby

Z Skrypty dla studentów Ekonofizyki UPGOW

Spis treści

Liczby naturalne

Zbiór liczb naturalnych N tworzą liczby 0,1,2,3,...

\[N = \{0,1,2,3,\ldots \}\]

Nie ma największej liczby naturalnej, czyli innymi słowy dla każdej liczby naturalnej można znaleźć liczbę większą. Matematycy czasami przyjmują, że najmniejszą liczbą naturalną jest 1, a czasami że 0. My przyjmiemy, że 0 jest najmniejszą liczbą naturalną.

Liczby całkowite

Zbiór liczb całkowitych C tworzą liczby ...,-3,-2,-1,0,1,2,3,...

\[C = \{\ldots,-3,-2,-1,0,1,2,3,\ldots \}\]

Nie ma najmniejszej ani największej liczby całkowitej, a zbiór liczb naturalnych zawiera się w zbiorze liczb całkowitych

\[N \subset C\]

Liczby wymierne

Zbiór liczb wymiernych W tworzą liczby postaci \(\frac{m}{n}\), gdzie \(m,n \in C \) oraz \( n \neq 0\)

\[W = \{\frac{m}{n}, m,n \in C \wedge n \neq 0\}\]

Nie ma najmniejszej ani największej liczby wymiernej, a zbiór liczb całkowitych zawiera się w zbiorze liczb wymiernych

\[C \subset W\]

Liczby niewymierne

Zbiór liczb niewymiernych IW tworzą liczby, których nie można przedstawić w postaci \(\frac{m}{n}\), gdzie \(m,n \in C\), oraz \(n \neq 0\), czyli nie można przedstawić w postaci ułamka. Przykładami liczb niewymiernych są \(\sqrt{2}\), \(\pi\), \(\sqrt{13}\), liczba \(e\) i nieskończenie wiele innych. Z podanej definicji zbioru IW wynika, że zbiory liczb wymiernych i niewymiernych są rozłączne, czyli nie posiadają elementów wspólnych

\[W \cap IW = \emptyset\]

Liczby rzeczywiste

Zbiór liczb rzeczywistych R tworzy suma zbioru liczb wymiernych W i zbioru liczb niewymiernych IW (zbiory W i IW są rozłączne)

\[R = W \cup IW\]

Oczywiście nie ma najmniejszej ani największej liczby rzeczywistej, a pomiędzy dwie dowolne liczby rzeczywiste można włożyć nieskończenie wiele liczb rzeczywistych.

Liczby zespolone

Zbiór liczb zespolonych Z tworzą liczby postaci \(\it z = a + ib\), gdzie \(\it a,b \in R\), a \( \it i\) jest tzw. jednostką urojoną, czyli rozwiązaniem równania \(\it i^{2} = -1\).

\[Z = \{ \it z = a + ib, \it a,b \in R, \it i^{2} = -1\}\]

Liczby zespolone przedstawia się zwykle na tzw. płaszczyźnie zespolonej, która jest podzielona na cztery części dwoma osiami: rzeczywistą \(\Re\) i urojoną \(\Im\). Własności i działania na liczbach zespolonych zostaną omówione w dalszej części kursu.

W świetle powyższych definicji, oczywista jest następująca zależność zawierania się zbiorów liczbowych:
\[N \subset C \subset W \subset R \subset Z\]