Z Skrypty dla studentów Ekonofizyki UPGOW
Generowanie liczb losowych
Symulacje procesów losowych dyskretnych i ciągłych
Szum dychotomiczny
Proces Poissona
Proces Wienera
Definicja
Proces stochastyczny \(\left\{W_{t}\right\}_{t \geqslant 0}\) nazywamy procesem Wienera (standardowym procesem Wienera), gdy spełnia następujące warunki:
- \(W_{0}=0\) z prawdopodobieństwem równym jeden,
- \(W\) ma przyrosty niezależne,
- \(\forall_{0 \leqslant s \leqslant t} ~ W_{t}-W_{s} \sim \mathcal{N}(0,t-s)\),
- trajektorie procesu \(W\) są ciągłe prawie na pewno (z prawdopodobieństwem 1).
Własności
Proces Wienera jest jednym z najlepiej zbadanych procesów stochastycznych. Oto niektóre z jego własności:
- Cechy trajektorii - pomimo że zgodnie z założeniem definicji trajektorie procesu Wienera są ciągłe, to nie przejawiają innych regularności. Dowodzi się, że prawie każda trajektoria ma wahanie nieskończone, co implikuje, że jest nieróżniczkowalna (w każdym punkcie czasu).
- Proces Wienera posiada mocną własność Markowa.
- Prawo odbicia - po dojściu do pewnego poziomu trajektoria procesu Wienera z równym prawdopodobieństwem może pójść w dół, jak i do góry. Ściśle, prawo odbicia wyraża się wzorem \(\mathbb{P}(\sup_{0\leqslant s \leqslant t}W_s >a) = 2 \mathbb{P}(W_t >a) \)
- Inwersja - jeśli \(W_t\) jest procesem Wienera, to proces \(V_t = tW_{1/t} \forall_{t>0}\) i \(V_0=0\) też jest procesem Wienera.
- Prawo iterowanego logarytmu - opisuje asymptotyczne zachowanie się trajektorii (dzięki zastosowaniu inwersji możemy też badać trajektorie w otoczeniu 0). \(\mathbb{P}(\lim_{t\rightarrow +\infty}\sup\frac{W_t}{\sqrt{2t \log \log t}}=1)=1\)
Konstrukcja procesu Wienera
Nie jest rzeczą oczywistą, że istnieje proces spełniający warunki podane w definicji. Istnieje kilka dowodów tego faktu. Przedstawiony poniżej najbardziej odpowiada intuicyjnemu rozumieniu procesu jako modelu ruchu Browna. Rozpatrzmy cząstkę poruszającą się w jednym wymiarze. W każdej jednostce czasu cząstka przemieszcza się o jednostkę odległości albo w lewo albo w prawo z prawdopodobieństwem 1/2. Kierunek poruszania nie zależy od poprzedniego przebiegu ruchu. Odpowiada to sytuacji patrzenia na cząsteczkę w wielkim zbliżeniu i przy zwolnionym czasie. Zmniejszając odpowiednio jednostkę odległości i przyspieszając czas uzyskujemy obraz cząstki wykonującej ruch chaotyczny. Innymi słowy proces Wienera jest "procesem granicznym" dla błądzenia losowego, przy zmniejszaniu skali czasowej i przestrzennej. W sposób ścisły powyższe rozumowanie ujmuje twierdzenie Donskera.
Proces wielowymiarowy
Standardowy proces Wienera opisany powyżej opisuje błądzenie cząstki, której ruch ograniczony jest do prostej. Proces n-wymiarowy definiujemy następująco: \(W=(W_1,W_2,\ldots,W_n)\), gdzie \(W_i\) to niezależne od siebie jednowymiarowe procesy Wienera. Warto wspomnieć, że w przypadku jednowymiarowym prawie każda trajektoria przechodzi przez każdy punkt prostej. Dla procesu dwuwymiarowego prawie każda trajektoria jest gęsta na płaszczyźnie, natomiast dla procesów w przestrzeniach o większej liczbie wymiarów, każda trajektoria jest zbiorem nigdzie gęstym.
Ruchy Browna
Ruchy Browna to chaotyczne ruchy cząstek w płynie (cieczy lub gazie), wywołane zderzeniami zawiesiny z cząsteczkami płynu.
W 1827 roku brytyjski biolog Robert Brown obserwując przez mikroskop pyłki kwiatowe w zawiesinie wodnej dostrzegł, iż znajdują się one w nieustannym, chaotycznym ruchu.
Ruchy Browna obserwuje się dla mikroskopijnych, mniejszych niż mikrometr, cząstek zawiesiny bez względu na ich rodzaj. Cząsteczki poruszają się ciągle a ich ruch nie słabnie. Prędkość ruchu jest większa dla mniejszych cząstek i wyższej temperatury.
Opis ruchów Browna
Autorami teorii ruchów Browna byli niezależnie Albert Einstein (w 1905 roku) i Marian Smoluchowski(w 1906). Obaj naukowcy zauważyli, że przypadkowe błądzenie pyłków jest wywołane bombardowaniem ich przez cząsteczki wody. Cząsteczki wody są dużo mniejsze, jest ich wiele oraz poruszają się bardzo szybko. Różnice w prędkości ruchu oraz liczby uderzających cząsteczek z poszczególnych stron są przyczyną ruchów drobin pyłku w cieczy. Smoluchowski stwierdził jednak, że za przesunięcia cząsteczek odpowiedzialne jest nie tyle bombardowanie, ile raczej fluktuacje ich gęstości w bezpośrednim sąsiedztwie zawiesiny. Na tej drodze Paul Langevin rozwinął dynamikę stochastyczną.
Matematycznym modelem fizycznego zjawiska ruchów Browna jest proces Wienera, który może być zastosowany do modelowania również w innych dziedzinach wiedzy, np. ekonomii.
Przykłady ruchów Browna
- cząsteczki tłuszczu na mleku
- pyłek kwiatowy na wodzie
- mgła
- rozpylone w powietrzu perfumy
- krople tuszu na wodzie
Procesy stabilne
Symulacje skończenie wymiarowych układów dynamicznych
Symulacje równań i układów równań stochastycznych
dyskretyzacja czasu
stochastyczne rozwinięcie Taylora
aproksymacja słaba i mocna
metody bezpośrednie
pośrednie.
Numeryczne badanie równań „Master”
Zastosowania
w modelowaniu zjawisk fizyki
w modelowaniu zjawisk biofizyki
w modelowaniu zjawisk socjofizyki
Przykładowe zastosowania w modelowaniu dynamiki instrumentów pochodnych stóp procentowych.
Wizualizacja rozwiązań.
Literatura
- A. Janicki, A. Izydorczyk “Komputerowe metody w modelowaniu stochastycznym” WNT
- P.L. Kloeden, E. Platen “Numerical solutions of stochastic differential equations” Springer
Modelowanie Komputerowe Zjawisk Rynkowych
tutaj procesy losowe
Procesy losowe
tutaj procesy losowe
Metody numeryczne
\(\sin x \) sdf afs
asf \(\sin x \)
\(\displaystyle\int_0^\infty \sin x dx = 2 \cos x\)
Marcin 18:30, 28 wrz 2009 (UTC)