Z Skrypty dla studentów Ekonofizyki UPGOW

Histogramy

Ważną umiejętnością jest estymacja funkcji gęstości z pewnej (dużej) liczby danych. Proces taki jest nazywany histogramowaniem.

Histogram jest to sposób przedstawienia częstości występowania pewnej cechy w postaci wykresu słupkowego. Weźmy na przykład ciągłą zmienną losową. Podzielmy przestrzeń wartości przyjmowanych przez tą zmienna na N równych przedziałów. Przypuścmy, że dysponumemy M realizacjami zmiennej losowej. Na histogramie można umieścić liczbę realizacji, które należa do danego przedziału. Co więcej taki wykres bedzie w granicy \(N,M\to \infty\) taki sam jak wykres gęstości prawdopodobieństwa nasze zmiennej losowej. By otrzymać dokładnie gęstość prawdopodobieństwa trzeba przeskalować liczbę zliczeń do gęstości. Niech \(n_i, i=1..N\) będą zliczeniami w kolejnych przedziałach. Gęstość prawdopodobieństwa jest unormowana do jedności (bierzemy zmienną losową przyjmującą wartości między a i b):

\(1=\int_a^b f(x) dx=\sum_{i=1}^N f(x_i) h\)

gdzie h jest szerokością jednego przedziału \(h=(x_i-x_{i-1})/(N-1)\). Wynika z tego, że

\(\sum_{i=1}^N f(x_i) =1/h\),

podczas gdy liczby zliczeń są unormowane do pewnej wartości \(\sum_{i=1}^N n_i \).

Widać z tego, że formuła łącząca liczby zliczeń z wartościami gęstości wewnątrz odcinków wyraża się:

\(f_i=f(x_i)=\frac{1}{h}\frac{n_i}{\sum_{i=1}^N n_i} \).

W systemie GNU Octave wbudowana funkcja hist umożliwia podanie drugiego argumentu, który jest czynnikiem normalizacyjnym sumy wszystkich zliczeń i w rozważanym przypadku powinien od wynosić 1/h.

Histogramy 1D

Jako przykład wykonajmy histogram 10000 liczb o rozkładzie normalnym i porównajmy go ze wzrorem analitycznym na funkcję Gaussa. Najprostszy skrypt w GNU Octave realizujący to zadanie to:

xmax=5;
h=0.1;
mydata=normrnd (0,1,10000,1);
hist(mydata,[-xmax:h:xmax],1/h);

Zauważmy, że:

• nie została zadana liczba przedziałow, ale szerokość. Liczba przedziałow w tym przypadku to

octave:38> length( [xmin:h:xmax] )
ans =  101

• pomimo, ze zmienna losowa przyjmuje wartości na całej osi rzeczywistej, to histogram wykonaliśmy na skończonym przedziale. Wybranie wartości x a przedziału -5..5 jest w przypadku rozkładu Gaussa dobrym wyborem. Zauważmy jest stosunek funkcji gęstości w punktach 0 i 5 wynosi

octave:42> normpdf(0,0,1)/normpdf(5,0,1)
ans =  2.6834e+05

więc dla 10000 punktów możemy się spodziewać, że zaden z nim nie wyjdzie poza przedział -5...5.

Proszę sprawdzić jak będzie wyglądał histogram jeśli weżmiemy xmin=-1 i xmax=1

• funkcja hist została wywołana bez argumentów zwrotnych i zgodnie z dokumentacja narysowała ona wykres. Można postąpić inaczej:

xmax=5;
h=0.1;
mydata=normrnd (0,1,10000,1);
[NN,XX]=hist(mydata,[-xmax:h:xmax],1/h);

Podając argumenty zwrotne funkcja hist zamiast rysować wykres, zwraca wektor liczb zliczeń i wartość zmiennej w przedziałach. Można to wykorzystać:

plot(XX,NN,"-",XX,normpdf(XX,0,1),"r-")
bar(XX,NN)

xmax=5;
xmin=-5;
h=.1;
mydata=normrnd (0,1,10000,1);
[NN,XX]=hist(mydata,[xmin:h:xmax],1/h);
figure(1) 
plot(XX,NN,"-",XX,normpdf(XX,0,1),"r-")
figure(2) 
bar(XX,NN)
size(NN)
#hist(,[-5:0.1:5],1/0.1)
# by hand
NN=zeros(1,101);
for i=1:length(mydata)
	idx=  ceil ( (mydata(i)-xmin)/(xmax-xmin) * length(NN)  ) ;
	if idx>0 && idx<=length(NN)
 		NN(idx)++;
	endif
endfor
 
 
figure(3) 
plot(XX,NN)

Histogramy 2D

Rysunki