Z Skrypty dla studentów Ekonofizyki UPGOW

Proces Wienera

Proces Wienera jest rozwiązaniem następującego stochastycznego równania różniczkowego:

\(dX(t)= \sqrt{2 D} dW(t)\;\).

Jego realizacja jest funkcją ciągłą, ale jednocześnie nigdzie nie jest różniczkowalna.

Proces Wienera

Stosując schemat Eulera można wygenerować pojedyńczą trajektorię takiego procesu:

h=0.01;
N=400;
x(1)=0;
D=1;
for i=2:N
  x(i)=x(i-1)+ sqrt(2*D*h)* normrnd (0,1,1,1);
endfor
 
plot((1:N)*h,x,'-')

Jest to trajektoria, która w granicy \(h\to\infty\) jest funkcją nigdzie nie różniczkowalną. Numerycznie przejawia się to w tym, że niezależnie od tego jak małe h weźmiemy do symulacji, wykres procesu Wienera zawsze będzie wyglądał na "zaszumiony". Można też korzystając z techniki Mostu Browna z danego przybliżenia procesu Wienera dla pewnego h wysymulowac przybliżenie dla h/2. Również wtedy można stwierdzić, że wykres nigdy nie będzie wizualnie "gładki", co w tym przypadku oznacza matematycznie nieciągłość w każdym punkcie.

Proces Wienera: rozkład P(x,t)

Proces Wienera (symetryczny) spełnia, jak wiadomo równanie dyfuzji:

\(\frac{\partial P(x, t)}{\partial t} = D \frac{\partial^2 P(x, t)}{\partial x^2} \)

Rozważmy przypadek w którym cząstka staruje w punkcie \(x=0\) w czasie \(t=0\). W języku gęstości prawdopodobieństwa oznacza to

\(P(x, 0) = \delta(x)\;\)

Jego rozwiązaniem na równania dyfuzji prostej z takim warunkiem początkowym jest rozkład Gaussa:

\(P(x, t) = \frac{1}{\sqrt{4\pi D t} }\; \exp \left[ - \frac{x^2}{4Dt}\right]\)

w którym odchylenie standardowe jest proporcjonalne do czasu. Zweryfikujmy ten fakt numerycznie. W tym celu wysymulujemy trajektorie 20000 procesów Wienera, dla 100 kroków. Poprzedni program łatwo można zmodyfikować by obliczenia były przeprowadzone dnie dla skalara x(1),x(2),... ale dla wektorów x(:,1),x(:,2),... Jeśli zastosujemy wbudowany generator normalnych liczb losowych normrnd to możemy także skorzystać z możliwości wygenerowania wielu liczb za jednym wywolaniem np. normrnd (0,1,M,1). Postępując w ten sposób linijka:

x(:,i)=x(:,i-1) + sqrt(2*D*h)* normrnd (0,1,M,1);

przedstawia wekrorowy zapis jednego kroku całkowania M stoschastychnych równań różniczkowych. Nie tylko upraszcza to zapis, ale także przyśpiesza obliczenia w przypadku stosowania interpretowanego języka jakim jest GNU Octave lub Matlab.

Proces Wienera

Cały program może wyglądać tak:

clear all
close all
N=100;
M=20000;
T=4;
h=T/N;
clear x
x=zeros(M,N);
D=.81;
for i=2:N
  x(:,i)=x(:,i-1) + sqrt(2*D*h)* normrnd (0,1,M,1);
endfor

a procedura rysująca wykres histogramu położeń M cząstek po czasie t i porównująca ja z odpowiednim rozkładem Gaussa:

n=10
t=n/N*T
xmax=4;
h1=.2;
hist(x(:,n),[-xmax:h1:xmax],1/h1)
hold on
fplot(@(xx) normpdf(xx,0,sqrt(2*D*t)),[-xmax,xmax],200,'ro-')
hold off

Czyli w czasie funkcja rozkładu jest rozpływającym się po całej prostej rozkładem Gaussa. Poniższa procedura rysuje rozkłady w czterech momentach czasu:

Rozkład P(x,t) dla Procesu Wienera w czterech następujących po sobie chwilach. Widać rozwywanie się piku Gaussowskiego.

for idx=1:4
  n=5+(idx-1)*20
  t=n/N*T
  subplot(2,2,idx)
  xmax=10;
  h1=.2;
  hist(x(:,n),[-xmax:h1:xmax],1/h1)
  hold on
  fplot(@(xx) normpdf(xx,0,sqrt(2*D*t)),[-24,24],200,'ro-')
  hold off
  legend ( sprintf("t=%2.0f",t) )
endfor

Niesymetryczny Proces Wienera: dyfuzja ze stałym dryftem

Dyfuzja z dryfem jest granicznym przypadkiem niesymetryczngo błądzenia przypadkowego.

Równanie dyfuzji z dryfem ma postać:

\(\frac{\partial P(x, t)}{\partial t} = -V \frac{\partial P(x, t)}{\partial x} + D \frac{\partial^2 P(x, t)}{\partial x^2} \)

i jest ono równoważne stochstycznemu równaniu różniczkowemu: \(dX(t)= Vdt +\sqrt{2 D} dW(t)\;\).

Łatwo możemy zmodyfikować program symulujący proces symmetryczny na niesymetryczny:

Niesymetryczny proces Wienera:dyfuzja z dryfem. Zielonym kolorem jest zaznaczona prosta x=Vt, która jest dryfem procesu

close all
clear all
h=0.01;
N=1200;
x(1)=0;
D=0.9;
V=1.2;
for i=2:N
  x(i)=x(i-1)+ V*h +sqrt(2*D*h)* normrnd (0,1,1,1);
endfor
plot((1:N)*h,x,'-',(1:N)*h,(1:N)*h*V,'-')

Dyfuzja z dryftem: rozkład P(x,t)

Rozkład P(x,t) dla Procesu Wienera w czterech następujących po sobie chwilach t = 0.2,1,1.8,2.6. Widać rozmywanie się piku Gaussowskiego.

Podobnie jak w przypadku symetrycznego procesu Wienera rozważmy cząstkę starującą w punkcie \(x=0\) w czasie \(t=0\). W języku gęstości prawdopodobieństwa oznacza to

\(P(x, 0) = \delta(x)\;\)

Jego rozwiązaniem na równania dyfuzji z dryfem prostej z takim warunkiem początkowym jest rozkład Gaussa:

\(P(x, t) = \frac{1}{\sqrt{4\pi D t} }\; \exp \left[ - \frac{(x-Vt)^2}{4Dt}\right],\) który ma zależne od czasu odchylenie standardowe jak i wartość średnią.

clear all
close all
N=100;
M=20000;
T=4;
h=T/N;
clear x
x=zeros(M,N);
D=.81;
V=5.0
for i=2:N
  x(:,i)=x(:,i-1) + V*h + sqrt(2*D*h)* normrnd (0,1,M,1);
endfor
hold on
for idx=1:4
  n=5+(idx-1)*20
  t=n/N*T
  xmax=20;
  h1=.2;
  hist(x(:,n),[-2:h1:xmax],1/h1)
  fplot(@(xx) normpdf(xx,V*t,sqrt(2*D*t)),[-2,xmax],200,'ro-')
endfor
hold off

Proces Ornsteina Uhlenbecka

Jest to proces który spełnia równanie stochastyczne:

Dwadzieścia trajektorii procesu Ornsteina Uhlenbecka dla parametrów D=.01,k=1.0 i \(\mu=1.0\). Dla czasów 0..2 widoczna jest relaksacja do stanu stacjonarnego, dla większych czasów fluktuacje wokół tego stanu.

\(dX(t)= -k ( X(t)-\mu ) dt + \sqrt{2 D } dW(t)\;\).

Jest to proces z linowym dryfem. Posiada on stan stacjonarny (w przeciwieństwie do procesu Wienera). Jest modelem ciała zawieszonego sprężyście poddanego równowagowym fluktuacjom termicznym. Parametr \(\mu\) reprezentuje równowagową (stacjonarną) wartośc średnią procesu a k jest szybkością relaksacji do stanu równowagi.

clear all
close all
N=500;
M=20;
T=14;
h=T/N;
clear x
x=zeros(M,N);
D=.01;
k=1.0;
mu=1.0;
for i=2:N
  x(:,i)=x(:,i-1) - k*(x(:,i-1)-mu)* h + sqrt(2*D*h)* normrnd (0,1,M,1);
endfor
plot((1:N)*h,x,'r-')