Operatory różniczkowe

Z Skrypty dla studentów Ekonofizyki UPGOW

(Różnice między wersjami)
(Utworzył nową stronę „Category:KURS MATEMATYKI == Operator różniczkowy - definicja == Operator określony na przestrzeni funkcji różniczkowalnych wykorzystujący pojęcie pochodnej b...”)
Linia 1: Linia 1:
[[Category:KURS MATEMATYKI]]
[[Category:KURS MATEMATYKI]]
-
== Operator różniczkowy - definicja ==
+
== Operator różniczkowy ==
-
Operator określony na przestrzeni funkcji różniczkowalnych wykorzystujący pojęcie pochodnej bądź różniczki funkcji. Operatory różniczkowe mogą działać zarówno na funkcje jednej jak i wielu zmiennych, na funkcje skalarne i wektorowe.
+
Operatory różniczkowe mogą działać zarówno na funkcje jednej jak i wielu zmiennych, na funkcje skalarne bądź wektorowe. Wprowadzimy teraz cztery podstawowe operatory różniczkowe, które znajdą zastosowanie w kursie fizyki, a ograniczymy się do [[Układy współrzędnych|kartezjańskiego układu współrzędnych]]. Będziemy przy tym wymagać aby rozważane funkcje były różniczkowalne. W tej części kursu, podobnie jak w przypadku omawiania układów współrzędnych, nie pojawią się rozwiązania zadań, ponieważ wiele przykładów zastosowania operatorów różniczkowych zostanie szczegółowo omówionych na kursie fizyki.
-
== Nabla ==
+
-
W rachunku wektorowym konwencja notacyjna ułaskawiając zapis różnorodnych operatorów różniczkowych: gradientu, dywergencji, rotacji i laplasjanu. Oznaczana jako <math>\nabla</math>
+
-
Nablę definiuje się za pomocą pochodnych cząstkowych wzorem (układ współrzędnych kartezjańskich)
+
== Gradient ==
 +
Dla ciągłej, różniczkowalnej funkcji  <math>f(x,y,z)</math> współrzędnych <math>x, y, z</math> można w dowolnym punkcie przestrzeni utworzyć wektor, którego składowe są pochodnymi cząstkowymi w kierunku osi układu współrzędnych :
 +
<math>
 +
\mathrm{grad}\ f = \nabla f = \mathbf{\widehat{x}} \frac{\partial f}{\partial x} + \mathbf{\widehat{y}} \frac{\partial f}{\partial y} + \mathbf{\widehat{z}} \frac{\partial f}{\partial z},
 +
</math>
-
:<math>\nabla = \left(\frac{\partial}{\partial x}, \frac{\partial}{\partial y}, \frac{\partial}{\partial z}\right) = \mathbf i \frac{\partial}{\partial x} + \mathbf j \frac{\partial}{\partial y} + \mathbf k \frac{\partial}{\partial z}, </math>
+
gdzie przez <math>grad</math>, lub <math>\nabla</math> (czytamy nabla) oznaczyliśmy operator różniczkowy gradientu funkcji. Jak widzimy w wyniku działania operatora gradientu na funkcję skalarną <math>f(x,y,z)</math> otrzymujemy wektor. Przypominamy, że pochodna cząstkowa funkcji jest miarą szybkości zmiany funkcji względem zmiennej dla której jest liczona, np. <math>\frac{\partial f}{\partial x}</math> określa szybkość zmiany funkcji wzdłuż osi <math>x</math>. Zatem kierunek wektora gradientu funkcji <math>\nabla f</math> będzie odpowiadał kierunkowi najszybszej zmiany funkcji <math>f(x,y,z)</math> w punkcie, w którym liczymy gradient. Zilustrujemy to na przykładzie funkcji dwóch zmiennych. Wykresem funkcji skalarnej dwóch zmiennych <math>f(x,y)</math> jest powierzchnia w przestrzeni trójwymiarowej, a dobrze znanym przykładem takiej funkcji jest np. ukształtowanie terenu górzystego. Stojąc w takim terenie z łatwością możemy stwierdzić w którym kierunku teren podnosi sie maksymalnie, bądź maksymalnie opada. Operator różniczkowy gradientu funkcji, która opisuje ukształtowanie terenu wskazuje kierunek maksymalnego wzrostu, czyli robiąc krok w tym własnie kierunku znjadziemy się najwyżej.
-
gdzie <math> \scriptstyle \mathbf i,\; \mathbf j,\; \mathbf k </math>oznaczają wektory jednostkowe osi (patrz [[Wektory, działania na wektorach]])
+
Operator <math>\nabla</math> we współrzędnych kartezjańskich jest definiowany nastepująco: 
-
 
+
<math>
-
=== Gradient ===
+
\nabla = \mathbf{\widehat{x}} \frac{\partial }{\partial x} + \mathbf{\widehat{y}} \frac{\partial }{\partial y} + \mathbf{\widehat{z}} \frac{\partial }{\partial z},
-
Jeśli <math>\scriptstyle \varphi\colon \mathbb R^3 \to \mathbb R</math> jest polem skalarnym, to potraktowanie nabli jako funkcji pola skalarnego daje pole wektorowe nazywane gradientem
+
-
:<math>
+
-
\mathrm{grad}\; \varphi = \left(\frac{\partial \varphi}{\partial x}, \frac{\partial \varphi}{\partial y}, \frac{\partial \varphi}{\partial z}\right) = \mathbf i \frac{\partial \varphi}{\partial x} + \mathbf j \frac{\partial \varphi}{\partial y} + \mathbf k \frac{\partial \varphi}{\partial z} = \nabla \varphi;
+
</math>
</math>
 +
gdzie <math>\mathbf{\widehat{x}}, \mathbf{\widehat{y}}, \mathbf{\widehat{z}}</math> oznaczją wersory wzdłuż trzech osi kartezjańskiego układu współrzędnych.
-
Zapis ten można traktować jako mnożenie „wektora nabla” przez „skalar”  dające w wyniku „wektor”.
+
== Dywergencja ==
-
===Dywergencja===
+
Zajmiemy się teraz operatorem dywergencji, przy czym ograniczymy się do rozpatrywania działania tego operatora na funkcję wektorową <math>\mathbf F</math> będącą funkcją trzech współrzędnych kartezjańskich <math>x,y,z</math>. Zatem funkcja wektorowa <math>\mathbf F</math> ma trzy składowe, które są funkcjami skalarnymi <math>F_x(x,y,z)</math>, <math>F_y(x,y,z)</math>, <math>F_z(x,y,z)</math>. Jeżeli funkcje te są różniczkowalne to możemy skonstruować nastepujący operator dywergencji <math>\mathrm{div}</math>  
-
 
+
-
Jeżeli <math>\mathbf f\colon \mathbb R^3 \to \mathbb R^3</math> jest polem wektorowym <math>(f_x, f_y, f_z)</math> zmiennych <math> (x, y, z)</math>, to dywergencję <math>\mathbf f</math> będącą polem skalarnym można wyrazić za pomocą iloczynu skalarnego nabli przez <math>\mathbf f</math>,
+
:<math>
:<math>
-
\mathrm{div}\; \mathbf f = \frac{\partial f_x}{\partial x} + \frac{\partial f_y}{\partial y} + \frac{\partial f_z}{\partial z} = \nabla \cdot \mathbf f;
+
\mathrm{div}\; \mathbf F = \frac{\partial F_x(x,y,z)}{\partial x} + \frac{\partial F_y(x,y,z)}{\partial y} + \frac{\partial F_z(x,y,z)}{\partial z} = \nabla \cdot \mathbf F,
</math>
</math>
-
„Wektor nabla” jest mnożony przez „wektor” dając w wyniku „skalar”.
+
będący iloczynem skalarnym operatora gradientu <math>\nabla</math> i funkcji <math>\mathbf F</math>. W wyniku działania operatora dywergencji na funkcję wektorową otrzymujemy skalar czyli liczbę. Dywergencja jest pewną miarą zmienności funkcji wektorowej w przestrzeni. Przykłady, z których najbardziej typowym jest dywergencja wektora natężenia pola elektrycznego, zostaną omówione na kursie fizyki.
-
===Rotacja===
+
== Rotacja ==
-
Zamiana iloczynu skalarnego na iloczyn wektorowy dla danego pola wektorowego <math>\mathbf f</math> w powyższym przypadku umożliwia zwarty sposób zapisu rotacji:
+
Dla różniczkowalnej funkcji wektorowej <math>\mathbf F(x,y,z)</math> można utworzyć nastepujący operator rotacji
:<math>
:<math>
-
\begin{align} \mathrm{rot}\; \mathbf f & = \left(\frac{\partial f_z}{\partial y} - \frac{\partial f_y}{\partial z},\ \frac{\partial f_x}{\partial z} - \frac{\partial f_z}{\partial x},\ \frac{\partial f_y}{\partial x} - \frac{\partial f_x}{\partial y}\right) = \\ & = \left(\frac{\partial f_z}{\partial y} - \frac{\partial f_y}{\partial z}\right) \mathbf i + \left( \frac{\partial f_x}{\partial z} - \frac{\partial f_z}{\partial x}\right) \mathbf j + \left(\frac{\partial f_y}{\partial x} - \frac{\partial f_x}{\partial y}\right) \mathbf k = \nabla \times \mathbf f;\end{align}
+
\mathrm{rot}\; \mathbf F = \left(\frac{\partial F_z}{\partial y} - \frac{\partial F_y}{\partial z}\right) \mathbf{\widehat{x}} + \left( \frac{\partial F_x}{\partial z} - \frac{\partial F_z}{\partial x}\right) \mathbf{\widehat{y}} + \left(\frac{\partial F_y}{\partial x} - \frac{\partial F_x}{\partial y}\right) \mathbf{\widehat{z}} = \nabla \times \mathbf F
</math>
</math>
-
„Wektor nabla” mnożony wektorowo przez „wektor” daje inny „wektor”.
+
będący iloczynem wektorowym operatora wektorowego <math>\nabla</math> i funkcji wektorowej <math>\mathbf F</math>. Rotację można także obliczyć korzystając z zapisu wyznacznikowego
-
 
+
-
Notacja macierzowa rotacji:
+
:<math>
:<math>
-
\nabla \times \mathbf f = \det \begin{bmatrix} \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ f_x & f_y & f_z \\ \mathbf i & \mathbf j & \mathbf k \end{bmatrix}</math>
+
\nabla \times \mathbf F = \det \begin{bmatrix} \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ F_x & F_y & F_z \\ \mathbf{\widehat{x}} & \mathbf{\widehat{y}} & \mathbf{\widehat{z}} \end{bmatrix}</math>
-
===Laplasjan===
+
Niezerowa wartość rotacji jest ilustracją tego, że w przestrzeni (w fizyce będzie to pole w którym działają siły) opisywanej funkcją wektorową <math>\mathbf F(x,y,z)</math> występują wiry.
-
Operator Laplace'a, jest operatorem skalarnym działającym na pole skalarne danym jako
+
 
 +
== Laplasjan ==
 +
We wspórzędnych kartezjańskich operator Laplace'a, czyli laplasjan <math>\Delta</math>, jest kwadratem operatora nabla <math>\nabla</math>
:<math>
:<math>
\Delta = \frac{\partial^2}{\partial x^2} + \frac{\partial^2}{\partial y^2} + \frac{\partial^2}{\partial z^2} = \nabla \cdot \nabla = \nabla^2
\Delta = \frac{\partial^2}{\partial x^2} + \frac{\partial^2}{\partial y^2} + \frac{\partial^2}{\partial z^2} = \nabla \cdot \nabla = \nabla^2
</math>
</math>
-
 
+
Operator ten działając na funkcję skalarną daje skalar czyli liczbę. Należy zwrócić uwagę, że tak prosta definicja (kwadrat operatora <math>\nabla</math>) jest prawdziwa jedynie w kartezjańskim układzie współrzędnych. W krzywoliniowych układach współrzędnych (np. w układzie współrzędnych sferycznych) trzeba korzystać z ogólniejszej definicji laplasjanu.
-
==Złożenia operatorów różniczkowych ==
+
-
*Trzech operacje na polu wektorowym -> gradient pola skalarnego,
+
-
 
+
-
<math>
+
-
\mathrm{div}\;(\mathrm{grad}\; \varphi) = \nabla \cdot (\nabla \varphi)</math>,
+
-
 
+
-
<math>
+
-
\mathrm{rot}\;(\mathrm{grad}\; \varphi) = \nabla \times (\nabla \varphi)</math>,
+
-
 
+
-
<math>
+
-
\Delta \varphi = \nabla^2 \varphi</math>,
+
-
 
+
-
*Operacje na polu skalarnym -> dywergencja pola wektorowego,
+
-
 
+
-
<math>\mathrm{grad}\;(\mathrm{div}\; \mathbf f) = \nabla (\nabla \cdot \mathbf f)</math>,
+
-
 
+
-
*Dwóch operacji na polu wektorowym -> rotacja pola wektorowego,
+
-
 
+
-
<math>\mathrm{div}\;(\mathrm{rot}\; \mathbf f) = \nabla \cdot (\nabla \times \mathbf f)</math>,
+
-
 
+
-
<math>\mathrm{rot}\;(\mathrm{rot}\; \mathbf f) = \nabla \times (\nabla \times \mathbf f)</math>,
+
-
 
+
-
*Operacja laplasjanu wektorowego,
+
-
 
+
-
<math>\Delta \mathbf f = \nabla^2 \mathbf f</math>,
+
-
 
+
-
=== Związki między operatorami różniczkowymi===
+
-
*<math>\mathrm{div}\;(\mathrm{grad}\; \varphi) = \nabla \cdot (\nabla \varphi) = \nabla^2 \varphi = \Delta \varphi</math>,
+
-
*<math>\mathrm{rot}\;(\mathrm{grad}\; \varphi) = \nabla \times (\nabla \varphi) = 0</math>,
+
-
*<math>\mathrm{div}\;(\mathrm{rot}\; \mathbf f) = \nabla \cdot (\nabla \times \mathbf f) = 0</math>.
+
-
*<math>\nabla \times (\nabla \times \mathbf f) = \nabla (\nabla \cdot \mathbf f) - \nabla^2 \mathbf f</math>,
+

Wersja z 20:03, 6 mar 2014

Spis treści

Operator różniczkowy

Operatory różniczkowe mogą działać zarówno na funkcje jednej jak i wielu zmiennych, na funkcje skalarne bądź wektorowe. Wprowadzimy teraz cztery podstawowe operatory różniczkowe, które znajdą zastosowanie w kursie fizyki, a ograniczymy się do kartezjańskiego układu współrzędnych. Będziemy przy tym wymagać aby rozważane funkcje były różniczkowalne. W tej części kursu, podobnie jak w przypadku omawiania układów współrzędnych, nie pojawią się rozwiązania zadań, ponieważ wiele przykładów zastosowania operatorów różniczkowych zostanie szczegółowo omówionych na kursie fizyki.

Gradient

Dla ciągłej, różniczkowalnej funkcji \(f(x,y,z)\) współrzędnych \(x, y, z\) można w dowolnym punkcie przestrzeni utworzyć wektor, którego składowe są pochodnymi cząstkowymi w kierunku osi układu współrzędnych : \( \mathrm{grad}\ f = \nabla f = \mathbf{\widehat{x}} \frac{\partial f}{\partial x} + \mathbf{\widehat{y}} \frac{\partial f}{\partial y} + \mathbf{\widehat{z}} \frac{\partial f}{\partial z}, \)

gdzie przez \(grad\), lub \(\nabla\) (czytamy nabla) oznaczyliśmy operator różniczkowy gradientu funkcji. Jak widzimy w wyniku działania operatora gradientu na funkcję skalarną \(f(x,y,z)\) otrzymujemy wektor. Przypominamy, że pochodna cząstkowa funkcji jest miarą szybkości zmiany funkcji względem zmiennej dla której jest liczona, np. \(\frac{\partial f}{\partial x}\) określa szybkość zmiany funkcji wzdłuż osi \(x\). Zatem kierunek wektora gradientu funkcji \(\nabla f\) będzie odpowiadał kierunkowi najszybszej zmiany funkcji \(f(x,y,z)\) w punkcie, w którym liczymy gradient. Zilustrujemy to na przykładzie funkcji dwóch zmiennych. Wykresem funkcji skalarnej dwóch zmiennych \(f(x,y)\) jest powierzchnia w przestrzeni trójwymiarowej, a dobrze znanym przykładem takiej funkcji jest np. ukształtowanie terenu górzystego. Stojąc w takim terenie z łatwością możemy stwierdzić w którym kierunku teren podnosi sie maksymalnie, bądź maksymalnie opada. Operator różniczkowy gradientu funkcji, która opisuje ukształtowanie terenu wskazuje kierunek maksymalnego wzrostu, czyli robiąc krok w tym własnie kierunku znjadziemy się najwyżej.

Operator \(\nabla\) we współrzędnych kartezjańskich jest definiowany nastepująco: \( \nabla = \mathbf{\widehat{x}} \frac{\partial }{\partial x} + \mathbf{\widehat{y}} \frac{\partial }{\partial y} + \mathbf{\widehat{z}} \frac{\partial }{\partial z}, \) gdzie \(\mathbf{\widehat{x}}, \mathbf{\widehat{y}}, \mathbf{\widehat{z}}\) oznaczją wersory wzdłuż trzech osi kartezjańskiego układu współrzędnych.

Dywergencja

Zajmiemy się teraz operatorem dywergencji, przy czym ograniczymy się do rozpatrywania działania tego operatora na funkcję wektorową \(\mathbf F\) będącą funkcją trzech współrzędnych kartezjańskich \(x,y,z\). Zatem funkcja wektorowa \(\mathbf F\) ma trzy składowe, które są funkcjami skalarnymi \(F_x(x,y,z)\), \(F_y(x,y,z)\), \(F_z(x,y,z)\). Jeżeli funkcje te są różniczkowalne to możemy skonstruować nastepujący operator dywergencji \(\mathrm{div}\)

\[ \mathrm{div}\; \mathbf F = \frac{\partial F_x(x,y,z)}{\partial x} + \frac{\partial F_y(x,y,z)}{\partial y} + \frac{\partial F_z(x,y,z)}{\partial z} = \nabla \cdot \mathbf F, \]

będący iloczynem skalarnym operatora gradientu \(\nabla\) i funkcji \(\mathbf F\). W wyniku działania operatora dywergencji na funkcję wektorową otrzymujemy skalar czyli liczbę. Dywergencja jest pewną miarą zmienności funkcji wektorowej w przestrzeni. Przykłady, z których najbardziej typowym jest dywergencja wektora natężenia pola elektrycznego, zostaną omówione na kursie fizyki.

Rotacja

Dla różniczkowalnej funkcji wektorowej \(\mathbf F(x,y,z)\) można utworzyć nastepujący operator rotacji \[ \mathrm{rot}\; \mathbf F = \left(\frac{\partial F_z}{\partial y} - \frac{\partial F_y}{\partial z}\right) \mathbf{\widehat{x}} + \left( \frac{\partial F_x}{\partial z} - \frac{\partial F_z}{\partial x}\right) \mathbf{\widehat{y}} + \left(\frac{\partial F_y}{\partial x} - \frac{\partial F_x}{\partial y}\right) \mathbf{\widehat{z}} = \nabla \times \mathbf F \]

będący iloczynem wektorowym operatora wektorowego \(\nabla\) i funkcji wektorowej \(\mathbf F\). Rotację można także obliczyć korzystając z zapisu wyznacznikowego

\[ \nabla \times \mathbf F = \det \begin{bmatrix} \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ F_x & F_y & F_z \\ \mathbf{\widehat{x}} & \mathbf{\widehat{y}} & \mathbf{\widehat{z}} \end{bmatrix}\]

Niezerowa wartość rotacji jest ilustracją tego, że w przestrzeni (w fizyce będzie to pole w którym działają siły) opisywanej funkcją wektorową \(\mathbf F(x,y,z)\) występują wiry.

Laplasjan

We wspórzędnych kartezjańskich operator Laplace'a, czyli laplasjan \(\Delta\), jest kwadratem operatora nabla \(\nabla\) \[ \Delta = \frac{\partial^2}{\partial x^2} + \frac{\partial^2}{\partial y^2} + \frac{\partial^2}{\partial z^2} = \nabla \cdot \nabla = \nabla^2 \] Operator ten działając na funkcję skalarną daje skalar czyli liczbę. Należy zwrócić uwagę, że tak prosta definicja (kwadrat operatora \(\nabla\)) jest prawdziwa jedynie w kartezjańskim układzie współrzędnych. W krzywoliniowych układach współrzędnych (np. w układzie współrzędnych sferycznych) trzeba korzystać z ogólniejszej definicji laplasjanu.

Źródło „http://172.16.3.1/ekonofizyka/index.php/Operatory_r%C3%B3%C5%BCniczkowe”